15 如图①，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
a. 如图②，作直径AF；
b. 以F为圆心，FO为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M、N；
c. 连接AM、MN、NA。
（1）求$∠ ABC$的度数。
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由。
（3）从点A开始，以DN长为边长，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些点，得到正$n$边形，求$n$的值。

15. (1) 因为五边形ABCDE是正五边形,所以$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$,即$∠ ABC=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形,理由:连接ON、NF。由题意可得$FN=ON=OF$,所以$△ FON$是等边三角形,所以$∠ NFA=60°$,所以$∠ NMA=60°$。同理可得$∠ ANM=60°$,所以$∠ MAN=60°$,所以$△ MAN$是正三角形。
(3) 如图,连接OD。因为$∠ AMN=60°$,所以$∠ AON=120°$。因为$∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$,所以$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$。所以$n=\frac{360°}{24°}=15$。

16 如图,在四边形 ABCD 中,$AD // BC(AD ＜ BC)$,$∠ A = 90°$,$BC = CD = 6$。将四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转,使点B与点D重合,此时点A、D的对应点分别是点E、F。
(1) 当点F正好落在AD的延长线上时,求$∠ BCD$的度数。
(2) 连接AE,设$AD = x$,$AE = y$。
① 求$y$关于$x$的函数表达式。
② 定义:同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形,设$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,连接BD,请说明以线段BD、AE为边的两个正多边形能否为双同正多边形?若能,请说明理由,并求出当这两个正多边形的面积比是$4:5$时,该正多边形的边数。

16. (1) 因为$CD=CF$,所以$∠ CDF=∠ CFD$。由旋转,得$∠ BCD=∠ DCF$。因为$AD // BC$,点F在AD的延长线上,所以$DF // BC$,所以$∠ BCD=∠ CDF$,所以$∠ DFC=∠ CDF=∠ DCF$,所以$△ CDF$为等边三角形,所以$∠ BCD=60°$。
(2) ① 分别连接AC、EC、BD,过点D作$DP ⊥ BC$,垂足为点P。则四边形ABPD为矩形,所以$BP=AD=x$,$PC=6-x$。在$\mathrm{Rt}△ DPC$中,由勾股定理,得$DP=\sqrt{12x-x^2}$,所以$AB=\sqrt{12x-x^2}$。在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{12x}$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$AC=\sqrt{12x-x^2+36}$。因为四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得四边形EDCF,所以$∠ ACE=∠ BCD$,$AC=EC$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$,所以$△ BCD ∽ △ ACE$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{\sqrt{12x}}{y}$,所以$y=\frac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}$。
② 因为$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,且$∠ BCF=2∠ BCD$,所以$∠ BCD$也是一个正多边形的中心角。因为$CB=CD$,所以点C在线段BD的中垂线上。同理可得点C在线段AE的中垂线上。由两条不同的中垂线相交于点C,可知点C同时为以线段BD、AE为边的正多边形的中心。因为$∠ ACE=∠ BCD$,所以边数也相同,所以以线段BD、AE为边的正多边形有相同的中心C,且边数也相同,即它们是双同正多边形。因为两个正多边形的面积比是$4:5$,所以$△ BCD$与$△ ACE$的面积比是$4:5$。相似比是$2:\sqrt{5}$,即$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,解得$x=6\pm3\sqrt{3}$。因为$AD＜BC$,所以$x=6-3\sqrt{3}$。此时$CD=6$,$CP=6-x=3\sqrt{3}$,所以$\cos∠ BCD=\frac{CP}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠ BCD=30°$,所以该双同正多边形的边数为12。