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15 如图①，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
a. 如图②，作直径AF；
b. 以F为圆心，FO为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M、N；
c. 连接AM、MN、NA。
（1）求$∠ ABC$的度数。
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由。
（3）从点A开始，以DN长为边长，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些点，得到正$n$边形，求$n$的值。
a. 如图②，作直径AF；
b. 以F为圆心，FO为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M、N；
c. 连接AM、MN、NA。
（1）求$∠ ABC$的度数。
（2）$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由。
（3）从点A开始，以DN长为边长，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些点，得到正$n$边形，求$n$的值。
答案
15. (1) 因为五边形ABCDE是正五边形,所以$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$,即$∠ ABC=108°$。
(2) $△ AMN$是正三角形,理由:连接ON、NF。由题意可得$FN=ON=OF$,所以$△ FON$是等边三角形,所以$∠ NFA=60°$,所以$∠ NMA=60°$。同理可得$∠ ANM=60°$,所以$∠ MAN=60°$,所以$△ MAN$是正三角形。
(3) 如图,连接OD。因为$∠ AMN=60°$,所以$∠ AON=120°$。因为$∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$,所以$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$。所以$n=\frac{360°}{24°}=15$。
解析
【分析】
（1）求正五边形的内角，可利用多边形内角和公式计算正五边形总内角和，再结合正多边形各内角相等的性质，将总内角和除以边数即可得到∠ABC的度数。
（2）判断△AMN是否为正三角形，需证明其三个内角均为60°。根据作图条件可得FN=OF=ON，可先证△FON为等边三角形得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等推导△AMN的内角度数即可。
（3）求正n边形的n值，需先求出DN对应的圆心角度数，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，用360°除以DN对应的圆心角度数即可得到n。先计算正五边形的中心角得到∠AOD的度数，再结合正三角形对应的圆心角∠AON的度数，二者作差得到DN的圆心角，即可计算n。
【解析】
(1) 因为五边形ABCDE是正五边形，n边形内角和为$(n-2)×180°$，且正五边形每个内角相等，因此：
$∠ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接ON、NF。由作图过程可知$FN=FO$，又ON、OF都是$\odot O$的半径，因此$ON=OF$，可得$FN=ON=OF$，即$△ FON$是等边三角形，所以$∠NFA=60°$。
根据同弧所对的圆周角相等，$∠NMA$和$∠NFA$均对应弧AN，故$∠NMA=∠NFA=60°$，同理可得$∠ANM=60°$。
在$△ AMN$中，$∠MAN=180°-60°-60°=60°$，因此$△ AMN$三个内角均为60°，故$△ MAN$是正三角形。
(3) 连接OD：
因为$△ AMN$是正三角形，所以弧AN对应的圆心角$∠AON=2∠AMN=2×60°=120°$。
正五边形ABCDE的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，$∠ AOD$对应2个正五边形中心角，因此$∠ AOD=2×72°=144°$。
可得$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，即弦DN对应的中心角为24°，因此：
$n=\frac{360°}{24°}=15$
【答案】
(1) $∠ABC=108°$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析
(3) $n=15$
【知识点】
正多边形内角计算；圆周角定理；正多边形与圆的性质
【点评】
本题结合作图操作考查正多边形与圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式、圆周角与圆心角的关系、正多边形中心角的计算方法，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
（1）求正五边形的内角，可利用多边形内角和公式计算正五边形总内角和，再结合正多边形各内角相等的性质，将总内角和除以边数即可得到∠ABC的度数。
（2）判断△AMN是否为正三角形，需证明其三个内角均为60°。根据作图条件可得FN=OF=ON，可先证△FON为等边三角形得到60°角，再利用同弧所对圆周角相等推导△AMN的内角度数即可。
（3）求正n边形的n值，需先求出DN对应的圆心角度数，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，用360°除以DN对应的圆心角度数即可得到n。先计算正五边形的中心角得到∠AOD的度数，再结合正三角形对应的圆心角∠AON的度数，二者作差得到DN的圆心角，即可计算n。
【解析】
(1) 因为五边形ABCDE是正五边形，n边形内角和为$(n-2)×180°$，且正五边形每个内角相等，因此：
$∠ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接ON、NF。由作图过程可知$FN=FO$，又ON、OF都是$\odot O$的半径，因此$ON=OF$，可得$FN=ON=OF$，即$△ FON$是等边三角形，所以$∠NFA=60°$。
根据同弧所对的圆周角相等，$∠NMA$和$∠NFA$均对应弧AN，故$∠NMA=∠NFA=60°$，同理可得$∠ANM=60°$。
在$△ AMN$中，$∠MAN=180°-60°-60°=60°$，因此$△ AMN$三个内角均为60°，故$△ MAN$是正三角形。
(3) 连接OD：
因为$△ AMN$是正三角形，所以弧AN对应的圆心角$∠AON=2∠AMN=2×60°=120°$。
正五边形ABCDE的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，$∠ AOD$对应2个正五边形中心角，因此$∠ AOD=2×72°=144°$。
可得$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，即弦DN对应的中心角为24°，因此：
$n=\frac{360°}{24°}=15$
【答案】
(1) $∠ABC=108°$
(2) $△ AMN$是正三角形，理由见解析
(3) $n=15$
【知识点】
正多边形内角计算；圆周角定理；正多边形与圆的性质
【点评】
本题结合作图操作考查正多边形与圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式、圆周角与圆心角的关系、正多边形中心角的计算方法，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
16 如图,在四边形 ABCD 中,$AD // BC(AD ＜ BC)$,$∠ A = 90°$,$BC = CD = 6$。将四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转,使点B与点D重合,此时点A、D的对应点分别是点E、F。
(1) 当点F正好落在AD的延长线上时,求$∠ BCD$的度数。
(2) 连接AE,设$AD = x$,$AE = y$。
① 求$y$关于$x$的函数表达式。
② 定义:同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形,设$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,连接BD,请说明以线段BD、AE为边的两个正多边形能否为双同正多边形?若能,请说明理由,并求出当这两个正多边形的面积比是$4:5$时,该正多边形的边数。
(1) 当点F正好落在AD的延长线上时,求$∠ BCD$的度数。
(2) 连接AE,设$AD = x$,$AE = y$。
① 求$y$关于$x$的函数表达式。
② 定义:同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形,设$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,连接BD,请说明以线段BD、AE为边的两个正多边形能否为双同正多边形?若能,请说明理由,并求出当这两个正多边形的面积比是$4:5$时,该正多边形的边数。
答案
16. (1) 因为$CD=CF$,所以$∠ CDF=∠ CFD$。由旋转,得$∠ BCD=∠ DCF$。因为$AD // BC$,点F在AD的延长线上,所以$DF // BC$,所以$∠ BCD=∠ CDF$,所以$∠ DFC=∠ CDF=∠ DCF$,所以$△ CDF$为等边三角形,所以$∠ BCD=60°$。
(2) ① 分别连接AC、EC、BD,过点D作$DP ⊥ BC$,垂足为点P。则四边形ABPD为矩形,所以$BP=AD=x$,$PC=6-x$。在$\mathrm{Rt}△ DPC$中,由勾股定理,得$DP=\sqrt{12x-x^2}$,所以$AB=\sqrt{12x-x^2}$。在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{12x}$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$AC=\sqrt{12x-x^2+36}$。因为四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得四边形EDCF,所以$∠ ACE=∠ BCD$,$AC=EC$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$,所以$△ BCD ∽ △ ACE$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{\sqrt{12x}}{y}$,所以$y=\frac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}$。
② 因为$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,且$∠ BCF=2∠ BCD$,所以$∠ BCD$也是一个正多边形的中心角。因为$CB=CD$,所以点C在线段BD的中垂线上。同理可得点C在线段AE的中垂线上。由两条不同的中垂线相交于点C,可知点C同时为以线段BD、AE为边的正多边形的中心。因为$∠ ACE=∠ BCD$,所以边数也相同,所以以线段BD、AE为边的正多边形有相同的中心C,且边数也相同,即它们是双同正多边形。因为两个正多边形的面积比是$4:5$,所以$△ BCD$与$△ ACE$的面积比是$4:5$。相似比是$2:\sqrt{5}$,即$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,解得$x=6\pm3\sqrt{3}$。因为$AD＜BC$,所以$x=6-3\sqrt{3}$。此时$CD=6$,$CP=6-x=3\sqrt{3}$,所以$\cos∠ BCD=\frac{CP}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠ BCD=30°$,所以该双同正多边形的边数为12。
(2) ① 分别连接AC、EC、BD,过点D作$DP ⊥ BC$,垂足为点P。则四边形ABPD为矩形,所以$BP=AD=x$,$PC=6-x$。在$\mathrm{Rt}△ DPC$中,由勾股定理,得$DP=\sqrt{12x-x^2}$,所以$AB=\sqrt{12x-x^2}$。在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,由勾股定理,得$BD=\sqrt{12x}$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理得$AC=\sqrt{12x-x^2+36}$。因为四边形ABCD绕点C按顺时针方向旋转得四边形EDCF,所以$∠ ACE=∠ BCD$,$AC=EC$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$,所以$△ BCD ∽ △ ACE$,所以$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{\sqrt{12x}}{y}$,所以$y=\frac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}$。
② 因为$∠ BCF$是一个正多边形的中心角,且$∠ BCF=2∠ BCD$,所以$∠ BCD$也是一个正多边形的中心角。因为$CB=CD$,所以点C在线段BD的中垂线上。同理可得点C在线段AE的中垂线上。由两条不同的中垂线相交于点C,可知点C同时为以线段BD、AE为边的正多边形的中心。因为$∠ ACE=∠ BCD$,所以边数也相同,所以以线段BD、AE为边的正多边形有相同的中心C,且边数也相同,即它们是双同正多边形。因为两个正多边形的面积比是$4:5$,所以$△ BCD$与$△ ACE$的面积比是$4:5$。相似比是$2:\sqrt{5}$,即$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,所以$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$,解得$x=6\pm3\sqrt{3}$。因为$AD＜BC$,所以$x=6-3\sqrt{3}$。此时$CD=6$,$CP=6-x=3\sqrt{3}$,所以$\cos∠ BCD=\frac{CP}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以$∠ BCD=30°$,所以该双同正多边形的边数为12。
解析
【分析】
(1) 先结合旋转性质得到$CD=CF$、$∠BCD=∠DCF$，再利用$AD// BC$的平行线性质得到内错角相等，推导$△ CDF$三个内角相等，判定其为等边三角形即可求出$∠BCD$的度数。
(2) ① 先作$DP⊥ BC$构造矩形$ABPD$，结合勾股定理求出$AB$、$BD$、$AC$的长度，再根据旋转性质证明$△ BCD∽△ ACE$，利用相似三角形对应边成比例即可推导$y$关于$x$的函数表达式。
② 先结合双同正多边形的定义，证明以$BD$、$AE$为边的正多边形中心都是$C$、中心角相等即边数相同，判定二者为双同正多边形；再根据正多边形面积比等于对应相似三角形的面积比，求出相似比后列方程求解$∠BCD$的度数，最后利用正多边形中心角与边数的关系计算边数即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知$CD=CF$，$∠BCD=∠DCF$，因此$∠CDF=∠CFD$。
因为$AD// BC$，点$F$在$AD$的延长线上，所以$DF// BC$，根据平行线内错角相等可得$∠BCD=∠CDF$，因此$∠DFC=∠CDF=∠DCF$，即$△ CDF$为等边三角形，所以$∠BCD=60°$。
(2) ① 分别连接$AC$、$EC$、$BD$，过点$D$作$DP ⊥ BC$，垂足为点$P$。
因为$AD// BC$，$∠A=90°$，$DP⊥ BC$，所以四边形$ABPD$为矩形，因此$BP=AD=x$，$PC=BC-BP=6-x$。
在$\mathrm{Rt}△ DPC$中，由勾股定理得$DP=\sqrt{CD^2-PC^2}=\sqrt{6^2-(6-x)^2}=\sqrt{12x-x^2}$，所以$AB=DP=\sqrt{12x-x^2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{x^2+12x-x^2}=\sqrt{12x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12x-x^2+36}$。
因为四边形$ABCD$绕点$C$顺时针旋转得到四边形$EDCF$，所以$∠ACE=∠BCD$，$AC=EC$，因此$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$，可得$△ BCD ∽ △ ACE$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$，代入得$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{\sqrt{12x}}{y}$，整理得$y=\frac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}$。
② 能为双同正多边形，理由如下：
因为$∠BCF$是正多边形的中心角，且$∠BCF=∠BCD+∠DCF=2∠BCD$，所以$∠BCD$也是正多边形的中心角。
因为$CB=CD$，所以点$C$在线段$BD$的垂直平分线上；同理$CA=CE$，点$C$在线段$AE$的垂直平分线上，因此点$C$同时为以线段$BD$、$AE$为边的两个正多边形的中心。
又因为$∠ACE=∠BCD$，即两个正多边形的中心角相等，所以它们的边数相同，符合双同正多边形的定义。
已知两个正多边形的面积比为$4:5$，则相似比为$2:\sqrt{5}$，即$△ BCD$与$△ ACE$的相似比$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，代入得$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得$x=6\pm3\sqrt{3}$。
因为$AD＜BC=6$，所以$x=6-3\sqrt{3}$，此时$CP=6-x=3\sqrt{3}$，在$\mathrm{Rt}△ DPC$中，$\cos∠BCD=\frac{CP}{CD}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠BCD=30°$。
正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}=30°$，解得$n=12$，即该正多边形的边数为12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) ① $\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}}$；② 能为双同正多边形，边数为$\boldsymbol{12}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正多边形的性质
【点评】
本题综合考查几何变换、相似三角形、正多边形相关知识，需要熟练掌握各几何性质的综合运用，同时具备函数、方程的运算能力，对逻辑推理和综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 先结合旋转性质得到$CD=CF$、$∠BCD=∠DCF$，再利用$AD// BC$的平行线性质得到内错角相等，推导$△ CDF$三个内角相等，判定其为等边三角形即可求出$∠BCD$的度数。
(2) ① 先作$DP⊥ BC$构造矩形$ABPD$，结合勾股定理求出$AB$、$BD$、$AC$的长度，再根据旋转性质证明$△ BCD∽△ ACE$，利用相似三角形对应边成比例即可推导$y$关于$x$的函数表达式。
② 先结合双同正多边形的定义，证明以$BD$、$AE$为边的正多边形中心都是$C$、中心角相等即边数相同，判定二者为双同正多边形；再根据正多边形面积比等于对应相似三角形的面积比，求出相似比后列方程求解$∠BCD$的度数，最后利用正多边形中心角与边数的关系计算边数即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质可知$CD=CF$，$∠BCD=∠DCF$，因此$∠CDF=∠CFD$。
因为$AD// BC$，点$F$在$AD$的延长线上，所以$DF// BC$，根据平行线内错角相等可得$∠BCD=∠CDF$，因此$∠DFC=∠CDF=∠DCF$，即$△ CDF$为等边三角形，所以$∠BCD=60°$。
(2) ① 分别连接$AC$、$EC$、$BD$，过点$D$作$DP ⊥ BC$，垂足为点$P$。
因为$AD// BC$，$∠A=90°$，$DP⊥ BC$，所以四边形$ABPD$为矩形，因此$BP=AD=x$，$PC=BC-BP=6-x$。
在$\mathrm{Rt}△ DPC$中，由勾股定理得$DP=\sqrt{CD^2-PC^2}=\sqrt{6^2-(6-x)^2}=\sqrt{12x-x^2}$，所以$AB=DP=\sqrt{12x-x^2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{x^2+12x-x^2}=\sqrt{12x}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12x-x^2+36}$。
因为四边形$ABCD$绕点$C$顺时针旋转得到四边形$EDCF$，所以$∠ACE=∠BCD$，$AC=EC$，因此$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}$，可得$△ BCD ∽ △ ACE$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$，代入得$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{\sqrt{12x}}{y}$，整理得$y=\frac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}$。
② 能为双同正多边形，理由如下：
因为$∠BCF$是正多边形的中心角，且$∠BCF=∠BCD+∠DCF=2∠BCD$，所以$∠BCD$也是正多边形的中心角。
因为$CB=CD$，所以点$C$在线段$BD$的垂直平分线上；同理$CA=CE$，点$C$在线段$AE$的垂直平分线上，因此点$C$同时为以线段$BD$、$AE$为边的两个正多边形的中心。
又因为$∠ACE=∠BCD$，即两个正多边形的中心角相等，所以它们的边数相同，符合双同正多边形的定义。
已知两个正多边形的面积比为$4:5$，则相似比为$2:\sqrt{5}$，即$△ BCD$与$△ ACE$的相似比$\frac{BC}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，代入得$\frac{6}{\sqrt{12x-x^2+36}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，解得$x=6\pm3\sqrt{3}$。
因为$AD＜BC=6$，所以$x=6-3\sqrt{3}$，此时$CP=6-x=3\sqrt{3}$，在$\mathrm{Rt}△ DPC$中，$\cos∠BCD=\frac{CP}{CD}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠BCD=30°$。
正多边形的中心角公式为$\frac{360°}{n}=30°$，解得$n=12$，即该正多边形的边数为12。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$
(2) ① $\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{36x^2-3x^3+108x}}{3}}$；② 能为双同正多边形，边数为$\boldsymbol{12}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正多边形的性质
【点评】
本题综合考查几何变换、相似三角形、正多边形相关知识，需要熟练掌握各几何性质的综合运用，同时具备函数、方程的运算能力，对逻辑推理和综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
