7 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ ADC=150°$，弦$AC=2$，则$\odot O$的半径等于。

7. 2

【分析】
解题可按三步思考：第一步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的∠ADC的度数，求出它的对角∠ABC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；第三步，因为OA、OC都是圆的半径，二者相等，结合求出的∠AOC的度数，可判断△AOC的形状，进而得到半径的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ $∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形对角互补）
∵ $∠ ADC=150°$
∴ $∠ ABC=180° - 150° = 30°$
∵ 弧AC所对的圆周角为$∠ ABC$，所对的圆心角为$∠ AOC$
∴ $∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$（圆周角定理）
又
∵ $OA=OC$（$\odot O$的半径相等）
∴ $△ AOC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
∴ $OA=OC=AC=2$，即$\odot O$的半径为2
【答案】
2
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；等边三角形的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形性质和圆周角定理，通过角度推导判断出等边三角形即可求出半径，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

8 已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为$12\sqrt{3}$，则⊙O的半径为。

8. 4

【分析】
解题首先利用正六边形的性质：内接于圆的正六边形边长等于圆的半径，且每个内角为120°。观察阴影部分为△FBD，先通过正六边形边长相等、内角为120°的特点，推导△FBD是等边三角形，再用圆的半径表示出该等边三角形的边长，结合等边三角形面积公式列方程，即可求出半径。
【解析】
设⊙O的半径为$ r $。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 正六边形的边长等于圆的半径$ r $，且每个内角为120°。
过点A作$ AG ⊥ FB $于点G，
在△FAB中，$ AF=AB=r $，$ ∠ FAB=120° $，由等腰三角形三线合一得$ ∠ FAG=60° $，
∴ $ FG=AF· \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r $，则$ FB=2FG=\sqrt{3}r $。
同理可证$ BD=DF=\sqrt{3}r $，即△FBD是边长为$ \sqrt{3}r $的等边三角形。
根据等边三角形面积公式$ S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $（$ a $为边长），可得：
$ S_{\mathrm{阴影}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}r)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 $
已知阴影部分面积为$ 12\sqrt{3} $，列方程：
$ \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2=12\sqrt{3} $
两边同时除以$ \sqrt{3} $得：$ \frac{3}{4}r^2=12 $
解得$ r^2=16 $，$ r=4 $（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
4
【知识点】
正多边形和圆，等边三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用正六边形边长与外接圆半径相等的性质，推导阴影三角形的边长和半径的关系，结合面积公式求解，是正多边形与圆结合的典型计算题。
【难度系数】
0.7

9 如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是$\odot O$的内接正多边形,则$∠ BOM$的度数为________。

9. $48°$

【分析】
要计算∠BOM的度数，首先明确圆内接正n边形的中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$，观察图形可知，∠BOM等于正三角形AMN的中心角∠AOM减去正五边形ABCDE的中心角∠AOB，因此先分别求出两个正多边形的中心角，再作差即可得到结果。
【解析】
解：
∵正五边形ABCDE是$\odot O$的内接正多边形，
∴正五边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{5}=72°$。
∵正三角形AMN是$\odot O$的内接正多边形，
∴正三角形的中心角$∠ AOM=\frac{360°}{3}=120°$。
∴$∠ BOM=∠ AOM - ∠ AOB=120° - 72°=48°$。
【答案】
$48°$
【知识点】
正多边形中心角计算；圆内接正多边形性质
【点评】
本题考查圆内接正多边形相关计算，解题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式，结合图形找准所求角与已知中心角的和差关系，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7

10 如图，四边形 BCDE 内接于$\odot O$，AB 是$\odot O$的直径，且 $AB ⊥ CD$ 于点 F，连接 AE、BD。若 $∠ ABC = ∠ DBE$，$CF = 2AF = 4$，则点 E 到线段 AB 的距离为 。
第 10 题图
第 11 题图

10. $\frac{24}{5}$ [提示:连接OC,过点E作$ER ⊥ AB$于点R。设$OA=OC=r$,则$OF=r-2$。在$\mathrm{Rt}△ OFC$中,由勾股定理得$r=5$,所以$AB=10$。因为$AB ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$,$∠ CBA = ∠ DBA$。因为$∠ ABC = ∠ DBE$,所以$∠ CBA = ∠ DBA = ∠ DBE$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$,所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}$,所以$CD=AE=8$。因为AB是直径,所以$∠ AEB=90°$,所以$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=6$。因为$ER ⊥ AB$,所以$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· AB · ER=\frac{1}{2}· AE · BE$,所以$ER=\frac{24}{5}$。]

【分析】
要计算点E到线段AB的距离，可按如下思路推导：首先借助已知的CF、AF长度，连接OC后利用勾股定理求出圆的半径，得到直径AB的长度；再利用垂径定理和角相等的条件推导弧的等量关系，得到AE的长度；接着利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理求出BE的长度；最后利用直角三角形面积的两种计算方式，用面积法求出ER，即点E到AB的距离。
【解析】
连接OC，过点E作$ER ⊥ AB$于点R，如图所示。
设$\odot O$的半径$OA=OC=r$，由$CF = 2AF = 4$可得$AF=2$，$OF = r-2$。
∵$AB⊥CD$，由垂径定理得$CF=FD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，根据勾股定理有：
$OC^2 = OF^2 + CF^2$，代入得$r^2=(r-2)^2 + 4^2$，
展开计算得$r^2=r^2-4r+4+16$，解得$r=5$，故直径$AB=10$。
∵$AB⊥CD$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，对应圆周角$∠CBA=∠DBA$。
又
∵$∠ABC=∠DBE$，
∴$∠CBA=∠DBA=∠DBE$，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
则$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}$，等弧对等弦，故$AE=CD=CF+FD=8$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠AEB=90°$，$△ ABE$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
∵$ER⊥AB$，ER是$△ ABE$斜边AB上的高，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}·AB·ER=\frac{1}{2}·AE·BE$，
代入数值得$\frac{1}{2}×10×ER=\frac{1}{2}×8×6$，解得$ER=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质，解题核心是通过圆周角与弧的对应关系得到线段AE的长度，再结合面积法求解点到直线的距离，能较好地考查学生对圆的性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

11 如图，圆内接四边形ABCD中，$∠ BCD=90°$，$AB=AD$，点E在CD的延长线上，且$DE=BC$，连接AE，若$AE=4$，则四边形ABCD的面积为。

11. 8 [提示:连接AC、BD。易证$△ ABC ≌ △ ADE$(SAS),所以$∠ BAC = ∠ DAE$,$AC=AE=4$,$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$,所以$∠ CAE = ∠ BAD = 90°$,$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。]

【分析】
本题要求圆内接四边形ABCD的面积，可通过转化思想将不规则四边形面积转化为规则三角形面积求解。首先由∠BCD=90°结合圆周角定理可得BD是直径，推出∠BAD=90°；再利用圆内接四边形对角互补得到相等角，结合已知AB=AD、DE=BC，可证△ABC≌△ADE，将四边形面积转化为△ACE的面积，最后计算等腰直角△ACE的面积即可得到结果。
【解析】
连接AC、BD，
1.
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，∠BCD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得BD是圆的直径，
∴ ∠BAD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2.
∵ 圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°，又
∵ ∠ADE + ∠ADC = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠ABC = ∠ADE。
3. 在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l} AB=AD(已知)\\ ∠ABC=∠ADE(已证)\\ BC=DE(已知)\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）。
4. 由全等性质可得：AC=AE=4，$S_{△ABC}=S_{△ADE}$，∠BAC=∠DAE。
5.
∴ ∠CAE = ∠CAD + ∠DAE = ∠CAD + ∠BAC = ∠BAD = 90°，即△ACE是等腰直角三角形。
6.
∴ $S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=S_{△ADE}+S_{△ACD}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}×AC×AE=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题将圆的性质与全等三角形相结合，解题的关键是通过构造全等三角形实现不规则图形面积到规则图形面积的转化，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

12 如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC。
（1）求证：DE平分∠CDF。
（2）求证：∠ACD=∠AEB。

12. (1) 因为四边形ABCD内接于圆,所以可证$∠ CDE = ∠ ABC$。由圆周角定理,得$∠ ACB = ∠ ADB$。因为$∠ ADB = ∠ FDE$,所以$∠ ACB = ∠ FDE$。因为$AB=AC$,所以$∠ ACB = ∠ ABC$,所以$∠ FDE = ∠ CDE$,即DE平分$∠ CDF$。
(2) 因为$∠ ACB = ∠ ABC$,所以$∠ CAE + ∠ E = ∠ ABD + ∠ DBC$。由圆周角定理,得$∠ CAE = ∠ DBC$,所以$∠ AEB = ∠ ABD$,所以$∠ ACD = ∠ AEB$。

【分析】
（1）要证DE平分∠CDF，只需证明∠FDE=∠CDE。首先利用圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠CDE=∠ABC；再结合圆周角定理得同弧所对的∠ACB=∠ADB，结合对顶角相等得∠ADB=∠FDE，可推出∠ACB=∠FDE；最后利用AB=AC的等腰三角形性质得∠ACB=∠ABC，等量代换即可得证。
（2）要证∠ACD=∠AEB，首先由圆周角定理得同弧所对的∠ACD=∠ABD，因此只需证明∠AEB=∠ABD。利用三角形外角性质，得∠ACB=∠CAE+∠AEB、∠ABC=∠ABD+∠DBC；再由圆周角定理得∠CAE=∠DBC，结合AB=AC得∠ACB=∠ABC，消去等角即可推得∠AEB=∠ABD，进而得证结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，圆内接四边形的外角等于它的内对角，
∴ ∠CDE = ∠ABC。
由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠ACB = ∠ADB。
∵ ∠ADB与∠FDE是对顶角，
∴ ∠ADB = ∠FDE，
∴ ∠ACB = ∠FDE。
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，
∴ ∠ACB = ∠ABC，
∴ ∠FDE = ∠CDE，即DE平分∠CDF。
(2) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ACB = ∠ABC。
由三角形外角性质，∠ACB是△ACE的外角，故∠ACB = ∠CAE + ∠AEB，
又∠ABC = ∠ABD + ∠DBC，
∴ ∠CAE + ∠AEB = ∠ABD + ∠DBC。
由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠CAE = ∠DBC，
等式两边同时减去相等的角，得∠AEB = ∠ABD。
又同弧AD所对的圆周角∠ACD = ∠ABD，
∴ ∠ACD = ∠AEB。
【答案】
(1) DE平分∠CDF，证明成立；
(2) ∠ACD=∠AEB，证明成立。
【知识点】
圆内接四边形性质，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规证明题，核心考察角的等量代换能力，解题关键是熟练掌握圆相关的角的性质和三角形角的性质，能快速找到相等角建立关联，对提升几何逻辑推理能力有帮助。
【难度系数】
0.6