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1. 一元二次方程$x^2=2x$的根为 （
A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x=0$或$x=2$
D.$x=0$或$x=-2$
C
）A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x=0$或$x=2$
D.$x=0$或$x=-2$
答案
1. C
解析
【分析】
解这道题首先要明确一元二次方程的求解注意事项，切忌直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将所有项移到等号左侧，再通过提取公因式的方法进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 - 2x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$，即方程的根为$x=0$或$x=2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意求解时不要漏根即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要明确一元二次方程的求解注意事项，切忌直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将所有项移到等号左侧，再通过提取公因式的方法进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 - 2x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$，即方程的根为$x=0$或$x=2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以x导致漏解，熟练掌握因式分解法解方程的步骤，注意求解时不要漏根即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 已知关于$x$的方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根为$x=1$，则实数$m$的值为 （
A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$
B
）A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路如下：首先明确“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根”，因此已知的根x=1一定满足原方程；接下来将x=1代入原方程，就可以得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx + 3 = 0$的根，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入方程得：
$1^2 + m×1 + 3 = 0$
化简得：$1 + m + 3 = 0$
即$m + 4 = 0$
解得$m = -4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题关键是掌握根代入原方程等式成立的性质，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路如下：首先明确“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根”，因此已知的根x=1一定满足原方程；接下来将x=1代入原方程，就可以得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx + 3 = 0$的根，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入方程得：
$1^2 + m×1 + 3 = 0$
化简得：$1 + m + 3 = 0$
即$m + 4 = 0$
解得$m = -4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题关键是掌握根代入原方程等式成立的性质，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
3. (2025·广西)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 -20x -25=0$的两个实数根，则$x_1+x_2=$（
A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
C
）A.$-25$
B.$-20$
C.$20$
D.$25$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根和公式：若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；接下来对应题目给出的方程，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得两根之和为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-20$。
将系数代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，直接考查韦达定理的简单应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其需要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根和公式：若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；接下来对应题目给出的方程，确定二次项系数$a$、一次项系数$b$的取值，代入公式计算即可，计算时要注意一次项系数的符号，避免出错。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根$x_1,x_2$，根据根与系数的关系可得两根之和为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中给出的方程为$x^2 -20x -25=0$，对比一般形式可知：$a=1$，$b=-20$。
将系数代入公式计算：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，直接考查韦达定理的简单应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其需要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.85
4. (2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意可列方程 (
A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
A
)A.$x(24-2x)=40$
B.$x(24-x)=40$
C.$2x(24-2x)=40$
D.$2x(24-x)=40$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先明确围栏的构成：因为借助了一面足够长的墙，所以围栏仅需要围矩形的3条边，即2条垂直于墙的宽、1条平行于墙的长。我们首先根据围栏总长度表示出矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，即可列出对应方程。
【解析】
设矩形垂直于墙的宽为$ x \, \mathrm{m} $，由于围栏总长为24m，且仅需要围2条宽和1条长，因此平行于墙的矩形长为$ (24 - 2x) \, \mathrm{m} $。
已知矩形场地面积为$ 40 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入可得方程：
$ x(24 - 2x) = 40 $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确理解围栏的围建方式，正确表示出矩形的长，再结合面积公式列方程即可，避免误将平行于墙的长表示为$ 24 - x $。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确围栏的构成：因为借助了一面足够长的墙，所以围栏仅需要围矩形的3条边，即2条垂直于墙的宽、1条平行于墙的长。我们首先根据围栏总长度表示出矩形的长，再结合矩形面积=长×宽的公式，即可列出对应方程。
【解析】
设矩形垂直于墙的宽为$ x \, \mathrm{m} $，由于围栏总长为24m，且仅需要围2条宽和1条长，因此平行于墙的矩形长为$ (24 - 2x) \, \mathrm{m} $。
已知矩形场地面积为$ 40 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，代入可得方程：
$ x(24 - 2x) = 40 $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是准确理解围栏的围建方式，正确表示出矩形的长，再结合面积公式列方程即可，避免误将平行于墙的长表示为$ 24 - x $。
【难度系数】
0.8
5. (2024·日照)已知,实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$,则$k$的值为 （
A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
B
）A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
5. B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确方程有两个不等实根，需满足判别式Δ＞0且二次项系数k≠0；其次将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$的形式；再用韦达定理写出两根之和、两根之积与k的关系式，代入已知等式求解k；最后验证所得k是否满足判别式要求，排除不符合的解即可。
【解析】
解：
∵实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根
∴判别式$\Delta=(2k)^2 - 4× k×1＞0$，即$4k(k-1)＞0$，解得$k＞1$或$k＜0$
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分整理得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=\frac{1}{k}$、$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$代入上式得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得$-2k=2$，解得$k=-1$
验证：$k=-1$满足$k＜0$，符合判别式要求，是有效解。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏方程有两个不等实根的前提条件，解出参数后要验证是否符合判别式要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先明确方程有两个不等实根，需满足判别式Δ＞0且二次项系数k≠0；其次将所求的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$的形式；再用韦达定理写出两根之和、两根之积与k的关系式，代入已知等式求解k；最后验证所得k是否满足判别式要求，排除不符合的解即可。
【解析】
解：
∵实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根
∴判别式$\Delta=(2k)^2 - 4× k×1＞0$，即$4k(k-1)＞0$，解得$k＞1$或$k＜0$
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分整理得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-2$、$x_1x_2=\frac{1}{k}$、$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$代入上式得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得$-2k=2$，解得$k=-1$
验证：$k=-1$满足$k＜0$，符合判别式要求，是有效解。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，分式化简，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏方程有两个不等实根的前提条件，解出参数后要验证是否符合判别式要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
6. (2025·滨州)某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展.截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为 (
A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
B
)A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
答案
6. B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确初始量、增长周期、最终量三个核心要素。第一步先确定增长的时间跨度：从2023年初到2025年初，一共经过了2次年增长，增长周期数为2；第二步回忆平均增长率的通用公式：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为$a(1+x)^n$；第三步将题目给出的数值代入公式，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先计算增长周期：$2025-2023=2$，即从2023年初到2025年初共经过2次年增长。
已知初始量（2023年初充电桩数量）为10万个，年平均增长率为x：
2024年初的充电桩数量为$10(1+x)$万个；
2025年初的充电桩数量为$10(1+x)×(1+x)=10(1+x)^2$万个。
结合题意2025年初充电桩数量为16.9万个，因此可列方程$10(1+x)^2=16.9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查平均增长率公式的应用，解题关键是准确计算增长的周期数，避免多算或少算增长次数，是方程实际应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确初始量、增长周期、最终量三个核心要素。第一步先确定增长的时间跨度：从2023年初到2025年初，一共经过了2次年增长，增长周期数为2；第二步回忆平均增长率的通用公式：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为$a(1+x)^n$；第三步将题目给出的数值代入公式，匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先计算增长周期：$2025-2023=2$，即从2023年初到2025年初共经过2次年增长。
已知初始量（2023年初充电桩数量）为10万个，年平均增长率为x：
2024年初的充电桩数量为$10(1+x)$万个；
2025年初的充电桩数量为$10(1+x)×(1+x)=10(1+x)^2$万个。
结合题意2025年初充电桩数量为16.9万个，因此可列方程$10(1+x)^2=16.9$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查平均增长率公式的应用，解题关键是准确计算增长的周期数，避免多算或少算增长次数，是方程实际应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.8
7. (2024·宿迁)规定:对于任意实数$a,b,c$,有【$a,b$】★$c=ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【$2,3$】★$1=2×1+3=5$.若关于$x$的方程【$x,x+1$】★$(mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为（
A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
D
）A.$m＜\frac{1}{4}$
B.$m＞\frac{1}{4}$
C.$m＞\frac{1}{4}$且$m≠0$
D.$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先要读懂新定义的★运算规则，将题中含新运算的方程转化为常规代数方程；其次，方程有两个不相等的实数根说明该方程为一元二次方程，需先满足二次项系数不为0的条件，再结合一元二次方程根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义规则【$a,b$】★$c=ac+b$，可得：
【$x,x+1$】★$(mx)=x· mx + (x+1)=mx^2+x+1$
因此原方程转化为：$mx^2+x+1=0$
∵该方程有两个不相等的实数根
∴方程为一元二次方程，且根的判别式大于0
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta = 1^2 - 4× m×1 ＞ 0$，即$1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
综上，$m$的取值范围为$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程知识结合，解题核心是先正确转化新运算得到常规方程，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
解题时首先要读懂新定义的★运算规则，将题中含新运算的方程转化为常规代数方程；其次，方程有两个不相等的实数根说明该方程为一元二次方程，需先满足二次项系数不为0的条件，再结合一元二次方程根的判别式Δ＞0，联立两个条件即可求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义规则【$a,b$】★$c=ac+b$，可得：
【$x,x+1$】★$(mx)=x· mx + (x+1)=mx^2+x+1$
因此原方程转化为：$mx^2+x+1=0$
∵该方程有两个不相等的实数根
∴方程为一元二次方程，且根的判别式大于0
1. 二次项系数不为0：$m≠0$
2. 判别式$\Delta = 1^2 - 4× m×1 ＞ 0$，即$1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
综上，$m$的取值范围为$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程知识结合，解题核心是先正确转化新运算得到常规方程，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
答案
8. C
解析
【分析】
解决本题需要依次结合菱形的性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理推导计算：第一步先根据菱形面积公式求出两条对角线的乘积；第二步利用韦达定理得到两条对角线的和；第三步根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理变形边长表达式，用整体代入的方法计算边长即可，无需单独求解两条对角线的具体长度。
【解析】
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，已知面积为11，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$a+b=10$。
3. 菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理，菱形边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$
利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$、$ab=22$得：
$a^2+b^2=10^2-2×22=100-44=56$
因此边长为$\frac{1}{2}\sqrt{56}=\frac{1}{2}×2\sqrt{14}=\sqrt{14}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，核心解题技巧是用整体代换的思想计算对角线的平方和，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题需要依次结合菱形的性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理推导计算：第一步先根据菱形面积公式求出两条对角线的乘积；第二步利用韦达定理得到两条对角线的和；第三步根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理变形边长表达式，用整体代入的方法计算边长即可，无需单独求解两条对角线的具体长度。
【解析】
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，已知面积为11，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，根据韦达定理，两根之和为：
$a+b=10$。
3. 菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理，菱形边长为：
$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$
利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$、$ab=22$得：
$a^2+b^2=10^2-2×22=100-44=56$
因此边长为$\frac{1}{2}\sqrt{56}=\frac{1}{2}×2\sqrt{14}=\sqrt{14}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，根与系数的关系，勾股定理
【点评】
本题是几何与代数的综合基础题，核心解题技巧是用整体代换的思想计算对角线的平方和，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9. 关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-1=0$的两根之和为
-2
。答案
9. -2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和的计算公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；接下来从给定的方程中找到对应系数$a$、$b$的值，代入公式计算即可得到结果，无需解方程求出两根再求和，可简化计算步骤。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2+2x-1=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对根与系数关系公式的记忆与直接应用，只要能准确识别一元二次方程的各项系数，代入公式即可快速得出答案，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其两根之和的计算公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；接下来从给定的方程中找到对应系数$a$、$b$的值，代入公式计算即可得到结果，无需解方程求出两根再求和，可简化计算步骤。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2+2x-1=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，代入公式可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对根与系数关系公式的记忆与直接应用，只要能准确识别一元二次方程的各项系数，代入公式即可快速得出答案，是考试中常见的基础得分题。
【难度系数】
0.9
10. (2025·上海)一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根，那么m的取值范围是
$m＞\frac{1}{8}$
。答案
10. $m＞\frac{1}{8}$
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程没有实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。接下来我们只需要先确定题目方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＜0$得到关于$m$的一元一次不等式，解不等式就能得到$m$的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
在方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，代入判别式不等式得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
计算化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，解题时要准确代入系数计算判别式，解不等式时注意不等号方向的变化，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程没有实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的相关性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$决定，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。接下来我们只需要先确定题目方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＜0$得到关于$m$的一元一次不等式，解不等式就能得到$m$的取值范围，注意解不等式时两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$2x^2 + x + m = 0$没有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$
在方程$2x^2 + x + m = 0$中，$a=2$，$b=1$，$c=m$，代入判别式不等式得：
$1^2 - 4×2× m ＜ 0$
计算化简得：$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
不等式两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得：
$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】
$m＞\frac{1}{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数和判别式的对应关系，解题时要准确代入系数计算判别式，解不等式时注意不等号方向的变化，是对基础知识点应用的常规考查。
【难度系数】
0.8
11. (2025·苏州)已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
-3
。答案
11. -3
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和与已知根计算出另一个根，第二种方法更为简便，无需计算参数。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，其中$a=1,b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法2（代入求参法）：
因为$x_1=1$是方程$x^2+2x-m=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2+2×1 -m=0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解法均是常用解题方法，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和与已知根计算出另一个根，第二种方法更为简便，无需计算参数。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+2x-m=0$，其中$a=1,b=2$，因此$x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$。
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，解得$x_2=-3$。
方法2（代入求参法）：
因为$x_1=1$是方程$x^2+2x-m=0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2+2×1 -m=0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=1,x_2=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解法均是常用解题方法，熟练掌握韦达定理可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
