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12. (2025·泸州)若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为α,β,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
12. 10
解析
【分析】
本题要求含方程两根的代数式的值，可按三步思路求解：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到关于2α²的等式，对所求代数式中的高次项降次；第二步，化简降次后的代数式，整理为含两根和α+β的形式；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出α+β的值，整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α+1 -3α +3β\\&=3α+3β +1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$，
∴ 原式$=3×3 +1=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入计算，无需直接求解方程的根，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
本题要求含方程两根的代数式的值，可按三步思路求解：第一步，利用一元二次方程根的定义，将根α代入原方程，得到关于2α²的等式，对所求代数式中的高次项降次；第二步，化简降次后的代数式，整理为含两根和α+β的形式；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出α+β的值，整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，即$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α+1 -3α +3β\\&=3α+3β +1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
又
∵ α、β是方程$2x^2 -6x -1=0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{2}=3$，
∴ 原式$=3×3 +1=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，解题核心是通过根的定义实现降次，再结合根与系数的关系整体代入计算，无需直接求解方程的根，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2$，且$x_1 + x_2 + x_1 · x_2 = 2$，则实数$m =$
3
。答案
13. 3
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，因此首先利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围，这一步是避免后续出现增解的关键；其次，根据韦达定理（根与系数的关系），分别写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1·x_2$关于m的表达式；最后将两个表达式代入已知条件$x_1+x_2+x_1·x_2=2$，求解出m的可能值，再结合第一步得到的m的取值范围，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0$
展开化简得：$4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 ＞ 0$
即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$
根据根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2m}{1} = -2m$
$x_1 · x_2 = \frac{m^2 - m + 2}{1} = m^2 - m + 2$
已知$x_1 + x_2 + x_1 · x_2 = 2$，代入上述表达式得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得：$m^2 - 3m = 0$
因式分解得：$m(m - 3) = 0$
解得：$m = 0$或$m = 3$
结合之前得到的$m ＞ 2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去
∴ 实数$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，解题核心是先利用判别式确定参数的取值范围，再结合韦达定理列方程求解，易错点是求出参数的解后忽略判别式的限制，导致出现增解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，题目给出一元二次方程有两个不相等的实数根，因此首先利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围，这一步是避免后续出现增解的关键；其次，根据韦达定理（根与系数的关系），分别写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1·x_2$关于m的表达式；最后将两个表达式代入已知条件$x_1+x_2+x_1·x_2=2$，求解出m的可能值，再结合第一步得到的m的取值范围，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = (2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0$
展开化简得：$4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 ＞ 0$
即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$
根据根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{2m}{1} = -2m$
$x_1 · x_2 = \frac{m^2 - m + 2}{1} = m^2 - m + 2$
已知$x_1 + x_2 + x_1 · x_2 = 2$，代入上述表达式得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得：$m^2 - 3m = 0$
因式分解得：$m(m - 3) = 0$
解得：$m = 0$或$m = 3$
结合之前得到的$m ＞ 2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去
∴ 实数$m = 3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，解题核心是先利用判别式确定参数的取值范围，再结合韦达定理列方程求解，易错点是求出参数的解后忽略判别式的限制，导致出现增解。
【难度系数】
0.7
14. (2024·南京)已知$4-\sqrt{15}$是关于$x$的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$($a,b,c$是有理数，$a≠0$)的一个根，则该方程的另外两个根分别是
$2,4+\sqrt{15}$
.答案
14. $2,4+\sqrt{15}$
解析
【分析】
首先观察方程的结构，左边是两个因式相乘等于0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可将原方程拆分为一次方程x-2=0和二次方程ax²+bx+c=0，因此x=2是原方程的一个确定根。已知根4-√15不等于2，因此它是二次方程ax²+bx+c=0的根。又因为二次方程的系数a、b、c都是有理数，根据有理系数一元二次方程的无理根特征：若无理数p-√q（p、q为有理数，√q为无理数）是方程的根，则其共轭无理数p+√q也一定是方程的根，由此可推出二次方程的另一个根为4+√15，即可得到原方程的另外两个根。
【解析】
解：对于方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$，
由乘积为0的性质可得：$x-2=0$ 或 $ax^2+bx+c=0$，
因此$x=2$是原方程的一个根。
已知$4-\sqrt{15}$是原方程的根，且$4-\sqrt{15}≠2$，故$4-\sqrt{15}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
因为$a、b、c$均为有理数，有理系数一元二次方程的无理根共轭成对出现，所以$4+\sqrt{15}$也是$ax^2+bx+c=0$的根。
综上，原方程的另外两个根为$2$和$4+\sqrt{15}$。
【答案】
$2,4+\sqrt{15}$
【知识点】
1. 因式分解法解方程 2. 有理系数方程无理根特征
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先通过因式分解拆分方程得到确定的一个根，再利用有理系数方程的无理根共轭性质推导剩余的根，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察方程的结构，左边是两个因式相乘等于0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可将原方程拆分为一次方程x-2=0和二次方程ax²+bx+c=0，因此x=2是原方程的一个确定根。已知根4-√15不等于2，因此它是二次方程ax²+bx+c=0的根。又因为二次方程的系数a、b、c都是有理数，根据有理系数一元二次方程的无理根特征：若无理数p-√q（p、q为有理数，√q为无理数）是方程的根，则其共轭无理数p+√q也一定是方程的根，由此可推出二次方程的另一个根为4+√15，即可得到原方程的另外两个根。
【解析】
解：对于方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$，
由乘积为0的性质可得：$x-2=0$ 或 $ax^2+bx+c=0$，
因此$x=2$是原方程的一个根。
已知$4-\sqrt{15}$是原方程的根，且$4-\sqrt{15}≠2$，故$4-\sqrt{15}$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
因为$a、b、c$均为有理数，有理系数一元二次方程的无理根共轭成对出现，所以$4+\sqrt{15}$也是$ax^2+bx+c=0$的根。
综上，原方程的另外两个根为$2$和$4+\sqrt{15}$。
【答案】
$2,4+\sqrt{15}$
【知识点】
1. 因式分解法解方程 2. 有理系数方程无理根特征
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先通过因式分解拆分方程得到确定的一个根，再利用有理系数方程的无理根共轭性质推导剩余的根，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15. 某班级QQ群里的同学开展了互赠明信片活动，要求每两个人之间都要赠送一张明信片.若这个群一共赠送了1560张明信片，则这个QQ群里一共有
40
名同学.答案
15. 40
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确互赠明信片的计数规则：每名同学不需要给自己赠送明信片，因此每名同学会向其余所有同学各赠送1张明信片。我们可以先设QQ群的总人数为未知数，再根据“总赠送明信片数量=人数×每人赠送的明信片数量”这一等量关系列方程，最后解方程并结合实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个QQ群里一共有$ x $名同学。
每名同学需要给除自己之外的$ (x-1) $名同学各赠送1张明信片，因此总赠送明信片的数量为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程：
$ x(x-1)=1560 $
整理得：
$ x^2 - x - 1560 = 0 $
因式分解得：
$ (x-40)(x+39)=0 $
解得：$ x_1=40 $，$ x_2=-39 $
因为人数不能为负数，所以舍去$ x_2=-39 $，即$ x=40 $。
【答案】
40
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，核心是准确理解互赠规则下的数量关系，正确列出方程，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，对求解得到的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确互赠明信片的计数规则：每名同学不需要给自己赠送明信片，因此每名同学会向其余所有同学各赠送1张明信片。我们可以先设QQ群的总人数为未知数，再根据“总赠送明信片数量=人数×每人赠送的明信片数量”这一等量关系列方程，最后解方程并结合实际意义取舍根即可得到答案。
【解析】
设这个QQ群里一共有$ x $名同学。
每名同学需要给除自己之外的$ (x-1) $名同学各赠送1张明信片，因此总赠送明信片的数量为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程：
$ x(x-1)=1560 $
整理得：
$ x^2 - x - 1560 = 0 $
因式分解得：
$ (x-40)(x+39)=0 $
解得：$ x_1=40 $，$ x_2=-39 $
因为人数不能为负数，所以舍去$ x_2=-39 $，即$ x=40 $。
【答案】
40
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的解法；实际问题的根检验
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，核心是准确理解互赠规则下的数量关系，正确列出方程，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，对求解得到的根进行合理取舍。
【难度系数】
0.7
16. 如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为78 m²，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为x m，由题意可列得方程
$(30-2x)(20-x)=78×6$
。答案
16. $(30-2x)(20-x)=78×6$
解析
【分析】
解决这类通道面积问题，我们可以采用平移法简化计算：首先将所有花草区域平移拼接，会得到一个规则的长方形。首先判断通道方向：与AB平行的通道是竖直方向，共2条，每条宽x，因此拼接后长方形的长为原长方形的长减去2个通道宽度；与AD平行的通道是水平方向，共1条，宽x，因此拼接后长方形的宽为原长方形的宽减去1个通道宽度。拼接后长方形的面积等于6块花草的总面积，据此即可列出方程。
【解析】
设通道的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 平移6块花草区域，得到的新长方形的长为：$ 30 - 2x \, (\mathrm{m}) $（减去2条竖直通道的宽度）
2. 新长方形的宽为：$ 20 - x \, (\mathrm{m}) $（减去1条水平通道的宽度）
3. 花草的总面积为：$ 78 × 6 \, (\mathrm{m}^2) $
4. 新长方形面积等于花草总面积，因此列方程得：
$ (30-2x)(20-x)=78 × 6 $
【答案】
$ (30-2x)(20-x)=78×6 $
【知识点】
一元二次方程应用、图形平移、面积计算
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，核心方法是通过平移将分散的不规则区域转化为规则的长方形，大幅降低计算复杂度，解题时要注意通道的数量和方向，避免多减或者少减通道宽度。
【难度系数】
0.7
解决这类通道面积问题，我们可以采用平移法简化计算：首先将所有花草区域平移拼接，会得到一个规则的长方形。首先判断通道方向：与AB平行的通道是竖直方向，共2条，每条宽x，因此拼接后长方形的长为原长方形的长减去2个通道宽度；与AD平行的通道是水平方向，共1条，宽x，因此拼接后长方形的宽为原长方形的宽减去1个通道宽度。拼接后长方形的面积等于6块花草的总面积，据此即可列出方程。
【解析】
设通道的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
1. 平移6块花草区域，得到的新长方形的长为：$ 30 - 2x \, (\mathrm{m}) $（减去2条竖直通道的宽度）
2. 新长方形的宽为：$ 20 - x \, (\mathrm{m}) $（减去1条水平通道的宽度）
3. 花草的总面积为：$ 78 × 6 \, (\mathrm{m}^2) $
4. 新长方形面积等于花草总面积，因此列方程得：
$ (30-2x)(20-x)=78 × 6 $
【答案】
$ (30-2x)(20-x)=78×6 $
【知识点】
一元二次方程应用、图形平移、面积计算
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，核心方法是通过平移将分散的不规则区域转化为规则的长方形，大幅降低计算复杂度，解题时要注意通道的数量和方向，避免多减或者少减通道宽度。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 解下列方程：
(1) $(x-2)^2=5(x-2)$；
(2) $(2x-1)^2=x(3x+2)-7$。
17. 解下列方程：
(1) $(x-2)^2=5(x-2)$；
(2) $(2x-1)^2=x(3x+2)-7$。
答案
17. (1) $x_1=2,x_2=7$ (2) $x_1=2,x_2=4$
解析
【分析】
（1）观察方程左右两边都含有公因式$(x-2)$，若直接两边除以$(x-2)$会漏掉$x=2$的根，因此采用移项、提取公因式的因式分解法求解，将方程转化为两个一次方程求解即可。
（2）该方程左右两边均为整式，需先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则展开两边，再通过移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可。
【解析】
(1) 移项，得：$(x-2)^2 - 5(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：$(x-2)(x-2 - 5) = 0$
化简，得：$(x-2)(x-7) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-7=0$
解得：$x_1=2, x_2=7$
(2) 先展开方程左右两边：
左边：$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
右边：$x(3x+2)-7 = 3x^2 + 2x -7$
移项，得：$4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 - 2x + 7 = 0$
合并同类项，得：$x^2 - 6x + 8 = 0$
因式分解，得：$(x-2)(x-4) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=2, x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=7$；(2) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 整式化简运算
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意避免直接约去含未知数的公因式导致丢根，整理方程时要注意符号运算，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
（1）观察方程左右两边都含有公因式$(x-2)$，若直接两边除以$(x-2)$会漏掉$x=2$的根，因此采用移项、提取公因式的因式分解法求解，将方程转化为两个一次方程求解即可。
（2）该方程左右两边均为整式，需先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则展开两边，再通过移项、合并同类项整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可。
【解析】
(1) 移项，得：$(x-2)^2 - 5(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：$(x-2)(x-2 - 5) = 0$
化简，得：$(x-2)(x-7) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-7=0$
解得：$x_1=2, x_2=7$
(2) 先展开方程左右两边：
左边：$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$
右边：$x(3x+2)-7 = 3x^2 + 2x -7$
移项，得：$4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 - 2x + 7 = 0$
合并同类项，得：$x^2 - 6x + 8 = 0$
因式分解，得：$(x-2)(x-4) = 0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=2, x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=7$；(2) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 整式化简运算
【点评】
这两道题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意避免直接约去含未知数的公因式导致丢根，整理方程时要注意符号运算，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
18. 先化简,再求值:$(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-1)$,其中$x$为方程$x^2+3x+2=0$的根.
答案
18. 解方程,得$x_1=-2,x_2=-1$(不合题意,舍去),化得原式得$-x-1$,代入$x=-2$得1.
解析
【分析】
本题为分式化简求值结合一元二次方程求解的综合题，解题思路如下：第一步先化简分式：先对除数中的异分母分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简结果；第二步解一元二次方程得到x的所有可能取值；第三步根据分式有意义的条件（分母不能为0）排除不符合要求的x值，最后将有效x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-1)\\=&(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1})\\=&(x-1)÷\dfrac{2-(x+1)}{x+1}\\=&(x-1)÷\dfrac{1-x}{x+1}\\=&(x-1)×\dfrac{x+1}{1-x}\\=&(x-1)×\dfrac{x+1}{-(x-1)}\\=&-x-1\end{aligned}$
2. 解方程$x^2+3x+2=0$：
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$。
3. 筛选有效x值并代入：
原式为分式，分母$x+1≠0$，即$x≠-1$，故舍去$x=-1$，取$x=-2$。
代入最简式得：$-(-2)-1=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值、一元二次方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式与方程结合的常规运算题，先化简后代入求值可大幅简化计算，解题时需注意不要遗漏分式分母不为0的限制条件，避免代入增根得到错误结果。
【难度系数】
0.7
本题为分式化简求值结合一元二次方程求解的综合题，解题思路如下：第一步先化简分式：先对除数中的异分母分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过约分得到最简结果；第二步解一元二次方程得到x的所有可能取值；第三步根据分式有意义的条件（分母不能为0）排除不符合要求的x值，最后将有效x值代入最简式计算结果即可。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-1)\\=&(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1})\\=&(x-1)÷\dfrac{2-(x+1)}{x+1}\\=&(x-1)÷\dfrac{1-x}{x+1}\\=&(x-1)×\dfrac{x+1}{1-x}\\=&(x-1)×\dfrac{x+1}{-(x-1)}\\=&-x-1\end{aligned}$
2. 解方程$x^2+3x+2=0$：
因式分解得$(x+1)(x+2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-2$。
3. 筛选有效x值并代入：
原式为分式，分母$x+1≠0$，即$x≠-1$，故舍去$x=-1$，取$x=-2$。
代入最简式得：$-(-2)-1=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值、一元二次方程的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式与方程结合的常规运算题，先化简后代入求值可大幅简化计算，解题时需注意不要遗漏分式分母不为0的限制条件，避免代入增根得到错误结果。
【难度系数】
0.7
19. 用配方法解关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0.$
答案
19. $\because a≠0,\therefore x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2,\therefore (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$, 当$b^2-4ac≥0$,$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$\therefore x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,当$b^2-4ac＜0$,方程无实根.
解析
【分析】
要使用配方法解该一元二次方程，首先需明确一元二次方程二次项系数不为0，即a≠0，再按配方法的固定逻辑推导：第一步将二次项系数化为1，第二步移项把常数项移到等号右侧，第三步给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，第四步根据平方根的性质，只有等号右侧的代数式非负时才能开平方求解，因此需分$b^2-4ac≥0$和$b^2-4ac＜0$两种情况讨论，最终得到方程的解或判断无实根。
【解析】
∵该方程是一元二次方程，
∴$a≠0$，
将方程两边同时除以a，得：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，
移项得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，
配方，给两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，
左侧写成完全平方式，右侧通分合并得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，
当$b^2-4ac≥0$时，右侧为非负数，开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
移项解得：$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
当$b^2-4ac＜0$时，右侧为负数，实数范围内负数没有平方根，因此方程无实根。
【答案】
当$b^2-4ac≥0$时，$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当$b^2-4ac＜0$时，方程无实根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，根的判别式，平方根的性质
【点评】
本题是配方法的经典应用，通过推导一元二次方程的求根公式，考查了配方法的操作步骤，同时渗透了分类讨论的数学思想，是需要牢固掌握的核心基础题。
【难度系数】
0.7
要使用配方法解该一元二次方程，首先需明确一元二次方程二次项系数不为0，即a≠0，再按配方法的固定逻辑推导：第一步将二次项系数化为1，第二步移项把常数项移到等号右侧，第三步给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，第四步根据平方根的性质，只有等号右侧的代数式非负时才能开平方求解，因此需分$b^2-4ac≥0$和$b^2-4ac＜0$两种情况讨论，最终得到方程的解或判断无实根。
【解析】
∵该方程是一元二次方程，
∴$a≠0$，
将方程两边同时除以a，得：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$，
移项得：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$，
配方，给两边同时加上$(\frac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$，
左侧写成完全平方式，右侧通分合并得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$，
当$b^2-4ac≥0$时，右侧为非负数，开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，
移项解得：$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
当$b^2-4ac＜0$时，右侧为负数，实数范围内负数没有平方根，因此方程无实根。
【答案】
当$b^2-4ac≥0$时，$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当$b^2-4ac＜0$时，方程无实根。
【知识点】
配方法解一元二次方程，根的判别式，平方根的性质
【点评】
本题是配方法的经典应用，通过推导一元二次方程的求根公式，考查了配方法的操作步骤，同时渗透了分类讨论的数学思想，是需要牢固掌握的核心基础题。
【难度系数】
0.7
20. (2024·内江)已知关于x的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空：$x_1 + x_2 =$
(2)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，求$p$的值.
(1)填空：$x_1 + x_2 =$
$p$
，$x_1x_2 =$$1$
；(2)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，求$p$的值.
答案
20. (1) $p$，$1$；(2) 由根与系数的关系得:$x_1+x_2=p$,$x_1x_2=1$,$\because x_1^2+x_2^2=2p+1$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,$\therefore p^2-2=2p+1$,解得:$p_1=3$,$p_2=-1$,当$p=3$时,$\Delta=p^2-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$\Delta=p^2-4=-3＜0$;$\therefore p=3$.
解析
【分析】
（1）第一问考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，直接代入对应系数即可求解。
（2）第二问先利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$p$的一元二次方程，求解后结合题目中“方程有两个不相等的实数根”的条件，利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$检验所得的$p$值，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-p}{1}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
(2) 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，
根据完全平方公式变形可得$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理得$p^2-2p-3=0$，
解得：$p_1=3$，$p_2=-1$，
已知方程有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=3^2-4=5＞0$，符合条件；
当$p=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4=-3＜0$，不符合条件，舍去；
$\therefore p=3$。
【答案】
(1) $p$，$1$；(2) $3$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的常见变形，尤其要注意在求解参数后，需结合方程根的情况利用判别式验证参数的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，直接代入对应系数即可求解。
（2）第二问先利用完全平方公式的变形，将$x_1^2+x_2^2$转化为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，代入韦达定理的结果得到关于$p$的一元二次方程，求解后结合题目中“方程有两个不相等的实数根”的条件，利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$检验所得的$p$值，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-p}{1}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$。
(2) 由根与系数的关系得：$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
$\because x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$，
根据完全平方公式变形可得$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理得$p^2-2p-3=0$，
解得：$p_1=3$，$p_2=-1$，
已知方程有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=3^2-4=5＞0$，符合条件；
当$p=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4=-3＜0$，不符合条件，舍去；
$\therefore p=3$。
【答案】
(1) $p$，$1$；(2) $3$
【知识点】
韦达定理，完全平方公式变形，根的判别式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是熟练掌握韦达定理的应用，以及完全平方公式的常见变形，尤其要注意在求解参数后，需结合方程根的情况利用判别式验证参数的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
