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21. 将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm²,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm²吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
(1) 要使这两个正方形的面积之和等于 17 cm²,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2) 两个正方形的面积之和可能等于 12 cm²吗? 若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
答案
21. (1) 4 cm,16 cm (2) 不能,理由略.
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：
（1）首先设其中一段铁丝的长度为未知数，用总长表示另一段的长度；再根据正方形周长与边长的关系，分别表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积；最后根据“两个正方形面积之和为17cm²”的等量关系列方程求解即可。
（2）先假设两个正方形面积之和能等于12cm²，按照（1）的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实根，若判别式小于0则不存在符合条件的情况，反之则存在。
【解析】
(1) 设剪成两段后其中一段的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段的长度为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意，两个正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $，面积之和为17cm²，可列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 17$
整理方程：
$\frac{x^2 + (400 - 40x + x^2)}{16} = 17 \\2x^2 - 40x + 400 = 272 \x^2 - 20x + 64 = 0$
因式分解得：$ (x - 4)(x - 16) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 16 $
当$ x = 4 $时，另一段长为$ 20 - 4 = 16 \, \mathrm{cm} $；当$ x = 16 $时，另一段长为$ 20 - 16 = 4 \, \mathrm{cm} $。
(2) 假设两个正方形的面积之和能等于$ 12 \, \mathrm{cm}^2 $，同理可列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 12$
整理方程：
$2x^2 - 40x + 400 = 192 \x^2 - 20x + 104 = 0$
计算根的判别式：
$\Delta = (-20)^2 - 4 × 1 × 104 = 400 - 416 = -16 ＜ 0$
所以该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的两段铁丝长度，因此两个正方形的面积之和不可能等于$ 12 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 4 cm，16 cm；(2) 不能
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程判别式，正方形周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确抓住面积和的等量关系列方程，第二问通过判别式判断方程解的情况即可得出结论，能有效考查方程建模能力和一元二次方程相关性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：
（1）首先设其中一段铁丝的长度为未知数，用总长表示另一段的长度；再根据正方形周长与边长的关系，分别表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积；最后根据“两个正方形面积之和为17cm²”的等量关系列方程求解即可。
（2）先假设两个正方形面积之和能等于12cm²，按照（1）的等量关系列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实根，若判别式小于0则不存在符合条件的情况，反之则存在。
【解析】
(1) 设剪成两段后其中一段的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段的长度为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
根据题意，两个正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $，面积之和为17cm²，可列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 17$
整理方程：
$\frac{x^2 + (400 - 40x + x^2)}{16} = 17 \\2x^2 - 40x + 400 = 272 \x^2 - 20x + 64 = 0$
因式分解得：$ (x - 4)(x - 16) = 0 $
解得：$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 16 $
当$ x = 4 $时，另一段长为$ 20 - 4 = 16 \, \mathrm{cm} $；当$ x = 16 $时，另一段长为$ 20 - 16 = 4 \, \mathrm{cm} $。
(2) 假设两个正方形的面积之和能等于$ 12 \, \mathrm{cm}^2 $，同理可列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 + ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 12$
整理方程：
$2x^2 - 40x + 400 = 192 \x^2 - 20x + 104 = 0$
计算根的判别式：
$\Delta = (-20)^2 - 4 × 1 × 104 = 400 - 416 = -16 ＜ 0$
所以该一元二次方程无实数根，即不存在符合条件的两段铁丝长度，因此两个正方形的面积之和不可能等于$ 12 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
(1) 4 cm，16 cm；(2) 不能
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程判别式，正方形周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确抓住面积和的等量关系列方程，第二问通过判别式判断方程解的情况即可得出结论，能有效考查方程建模能力和一元二次方程相关性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
22. (2024·浙江期中)小华在学完了教材《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》一节内容后,对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣,决定一探究竟.下面是他收集的素材,汇总如下,请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
| | | |
| --- | --- | --- |
| 素材1 | 一元三次方程的定义 | 我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程,它的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$). |
| 素材2 | 一元三次方程的解法 | 若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a≠0$)的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$($p,q,r$为实数),即原方程化为:$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$,则得方程的根为$x_1=p,x_2=q,x_3=r$. |
| 素材3 | 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 | 设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 -a(x_1+x_2)x +ax_1x_2=0$,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
|
| 问题解决 | | |
| 任务1 | 感受新知 | 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数)的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$,则方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根分别为$x_1=$
| 任务2 | 探索新知 | 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$,请探究$x_1+x_2+x_3,x_1· x_2· x_3$与系数$a,b,c,d$之间的等量关系. |
| 任务3 | 应用新知 | 利用上一任务的结论解决:若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α,β,\gamma$,求$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值. |
探究一元三次方程根与系数的关系
| | | |
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| 素材1 | 一元三次方程的定义 | 我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程,它的一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数,且$a≠0$). |
| 素材2 | 一元三次方程的解法 | 若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a≠0$)的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$($p,q,r$为实数),即原方程化为:$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$,则得方程的根为$x_1=p,x_2=q,x_3=r$. |
| 素材3 | 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 | 设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$($a≠0$)有两个根$x_1,x_2$,则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$,即$ax^2 -a(x_1+x_2)x +ax_1x_2=0$,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
|| 问题解决 | | |
| 任务1 | 感受新知 | 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a,b,c,d$为常数)的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$,则方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根分别为$x_1=$
1
,$x_2=$-2
,$x_3=$3
. || 任务2 | 探索新知 | 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$,请探究$x_1+x_2+x_3,x_1· x_2· x_3$与系数$a,b,c,d$之间的等量关系. |
| 任务3 | 应用新知 | 利用上一任务的结论解决:若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α,β,\gamma$,求$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值. |
答案
22. 任务1:1,-2,3. 任务2:因为关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1$,$x_2$,$x_3$,所以$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$,展开得$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3=0$,所以$ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3$,所以$-a(x_1+x_2+x_3)=b$,$-ax_1x_2x_3=d$,则$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$. 任务3:由方程$2x^3+x^2-7x-6=0$得,$a=2$,$b=1$,$c=-7$,$d=-6$,所以$α+β+\gamma=-\frac{1}{2}$,$αβ\gamma=-\frac{-6}{2}=3$,所以$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{α+β+\gamma}{αβ\gamma}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
任务1：结合素材2给出的一元三次方程因式分解形式与根的对应关系，只需令每个一次因式的值为0，即可直接得到方程的三个根。
任务2：类比素材3中一元二次方程根与系数关系的推导思路，先将三次方程写为因式分解形式，展开后与三次方程一般式对比同次项的系数，即可推导出所求的等量关系。
任务3：先对所求分式通分化简，将其转化为含有三根之和、三根之积的形式，再代入任务2得到的根与系数的关系计算即可。
【解析】
任务1
根据素材2的结论，若方程左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，分别令每个因式为0：
$x-1=0$得$x=1$；$x+2=0$得$x=-2$；$x-3=0$得$x=3$，即方程的三个根为1、-2、3。
任务2
已知三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$，因此方程可化为：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
将左边展开得：
$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3=0$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比同次项系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，$-ax_1x_2x_3=d$
整理得：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$。
任务3
先化简所求分式：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{\gamma+α+β}{αβ\gamma}$
对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，对应系数$a=2$，$b=1$，$d=-6$，结合任务2的结论可得：
$α+β+\gamma=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβ\gamma=-\frac{d}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
代入化简后的式子计算：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$
【答案】
任务1：$\boxed{1}$，$\boxed{-2}$，$\boxed{3}$
任务2：$\boxed{x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}}$，$\boxed{x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}}$
任务3：$\boxed{-\frac{1}{6}}$
【知识点】
一元三次方程的根，根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题借助一元二次方程韦达定理的探究方法，引导学生通过类比推理推导一元三次方程根与系数的关系，重点考查知识迁移能力和代数运算能力，兼顾了基础应用和思维拓展。
【难度系数】
0.7
任务1：结合素材2给出的一元三次方程因式分解形式与根的对应关系，只需令每个一次因式的值为0，即可直接得到方程的三个根。
任务2：类比素材3中一元二次方程根与系数关系的推导思路，先将三次方程写为因式分解形式，展开后与三次方程一般式对比同次项的系数，即可推导出所求的等量关系。
任务3：先对所求分式通分化简，将其转化为含有三根之和、三根之积的形式，再代入任务2得到的根与系数的关系计算即可。
【解析】
任务1
根据素材2的结论，若方程左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，分别令每个因式为0：
$x-1=0$得$x=1$；$x+2=0$得$x=-2$；$x-3=0$得$x=3$，即方程的三个根为1、-2、3。
任务2
已知三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的三个根为$x_1,x_2,x_3$，因此方程可化为：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
将左边展开得：
$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3=0$
与原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比同次项系数，可得：
$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，$-ax_1x_2x_3=d$
整理得：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$。
任务3
先化简所求分式：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{\gamma+α+β}{αβ\gamma}$
对于方程$2x^3+x^2-7x-6=0$，对应系数$a=2$，$b=1$，$d=-6$，结合任务2的结论可得：
$α+β+\gamma=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$αβ\gamma=-\frac{d}{a}=-\frac{-6}{2}=3$
代入化简后的式子计算：
$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$
【答案】
任务1：$\boxed{1}$，$\boxed{-2}$，$\boxed{3}$
任务2：$\boxed{x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}}$，$\boxed{x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}}$
任务3：$\boxed{-\frac{1}{6}}$
【知识点】
一元三次方程的根，根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题借助一元二次方程韦达定理的探究方法，引导学生通过类比推理推导一元三次方程根与系数的关系，重点考查知识迁移能力和代数运算能力，兼顾了基础应用和思维拓展。
【难度系数】
0.7
