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23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52 m，宽为28 m，阴影部分设计为停车区，要铺花砖，其余部分是通道，且宽度相等。已知铺花砖的面积为640 m²。
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位。为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14 400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
（1）求通道的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位。为了维护消费者利益，物价部门规定，每个车位租金不得超过500元，要想让停车场的月租金收入为14 400元，每个车位的月租金应上涨多少元？
答案
23. (1) 设通道的宽为$x$ m,根据题意,得$(52-2x)(28-2x)=640$,$\therefore x^2-40x+204=0$,$\therefore (x-6)(x-34)=0$,$\therefore x=6$或$x=34$(不符合实际,舍去),答:通道的宽是6 m; (2) 设每个车位的月租金上涨$a$元,停车场的月租金收入为14400元,根据题意,得$(200+a)(64-\frac{a}{10})=14400$,整理,得$a^2-440a+16000=0$,解得,$a=400$或$a=40$,$\because 400+200＞500$,$\therefore a=400$不符合题意,舍去,$\therefore a=40$(元),故每个车位的月租金应上涨40元时,停车场的月租金收入为14400元.
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是利用平移法，将分散的阴影停车区拼接成一个完整的矩形，简化面积计算。设通道宽为$x$ m，拼接后的阴影矩形的长等于原矩形的长减去左右两个通道的宽度，即$(52-2x)$m，宽等于原矩形的宽减去上下两个通道的宽度，即$(28-2x)$m，再根据阴影面积为$640 \ \mathrm{m}^2$列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
（2）解决第二问要先明确月租金收入的等量关系：月租金收入=单个车位月租金×租出的车位数量。设租金上涨$a$元，先表示出上涨后单个车位租金为$(200+a)$元，再根据“每上涨10元少租1个车位”得出租出的车位数量为$(64-\frac{a}{10})$个，结合收入为14400元列方程求解，最后根据“租金不得超过500元”的限制舍去不符合要求的根。
【解析】
(1) 设通道的宽为$x$ m，根据阴影部分拼接后矩形的面积为$640 \ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(52-2x)(28-2x)=640$
展开整理得：$x^2-40x+204=0$
因式分解得：$(x-6)(x-34)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=34$
∵ 原矩形宽仅为28 m，$x=34$不符合实际，故舍去
答：通道的宽是6 m。
(2) 设每个车位的月租金上涨$a$元时，月租金收入为14400元。
上涨后单个车位租金为$(200+a)$元，可租出的车位数量为$(64-\frac{a}{10})$个，根据收入等量关系列方程：
$(200+a)(64-\frac{a}{10})=14400$
展开整理得：$a^2-440a+16000=0$
解得：$a_1=400$，$a_2=40$
∵ 物价部门规定租金不得超过500元，当$a=400$时，租金为$200+400=600＞500$，不符合要求，舍去
∴ $a=40$
答：每个车位的月租金应上涨40元。
【答案】
（1）通道的宽是6 m；（2）每个车位的月租金应上涨40元。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活场景设置问题，分别考查了几何类和经济类的一元二次方程实际应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，同时要注意结合题目给出的限制条件和实际意义对根进行取舍，避免错解。
【难度系数】
0.6
（1）解决第一问的核心是利用平移法，将分散的阴影停车区拼接成一个完整的矩形，简化面积计算。设通道宽为$x$ m，拼接后的阴影矩形的长等于原矩形的长减去左右两个通道的宽度，即$(52-2x)$m，宽等于原矩形的宽减去上下两个通道的宽度，即$(28-2x)$m，再根据阴影面积为$640 \ \mathrm{m}^2$列出一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的根即可。
（2）解决第二问要先明确月租金收入的等量关系：月租金收入=单个车位月租金×租出的车位数量。设租金上涨$a$元，先表示出上涨后单个车位租金为$(200+a)$元，再根据“每上涨10元少租1个车位”得出租出的车位数量为$(64-\frac{a}{10})$个，结合收入为14400元列方程求解，最后根据“租金不得超过500元”的限制舍去不符合要求的根。
【解析】
(1) 设通道的宽为$x$ m，根据阴影部分拼接后矩形的面积为$640 \ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(52-2x)(28-2x)=640$
展开整理得：$x^2-40x+204=0$
因式分解得：$(x-6)(x-34)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=34$
∵ 原矩形宽仅为28 m，$x=34$不符合实际，故舍去
答：通道的宽是6 m。
(2) 设每个车位的月租金上涨$a$元时，月租金收入为14400元。
上涨后单个车位租金为$(200+a)$元，可租出的车位数量为$(64-\frac{a}{10})$个，根据收入等量关系列方程：
$(200+a)(64-\frac{a}{10})=14400$
展开整理得：$a^2-440a+16000=0$
解得：$a_1=400$，$a_2=40$
∵ 物价部门规定租金不得超过500元，当$a=400$时，租金为$200+400=600＞500$，不符合要求，舍去
∴ $a=40$
答：每个车位的月租金应上涨40元。
【答案】
（1）通道的宽是6 m；（2）每个车位的月租金应上涨40元。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题结合生活场景设置问题，分别考查了几何类和经济类的一元二次方程实际应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，同时要注意结合题目给出的限制条件和实际意义对根进行取舍，避免错解。
【难度系数】
0.6
24. 阅读材料,解答问题:
材料1
为了解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0$,如果我们把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2$,则原方程可化为$y^2 -13y +36=0$,经过运算,原方程的解为$x_{1,2}=\pm2,x_{3,4}=\pm3$.我们把以上这种解决问题的方法通常叫作换元法.
材料2
已知实数$m,n$满足$m^2 -m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,显然$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由韦达定理可知$m+n=1,mn=-1$.
根据上述材料,解决以下问题.
(1) 直接应用:
方程$x^4 -5x^2 +6=0$的解为
(2) 间接应用:
已知实数$a,b$满足:$2a^4 -7a^2 +1=0,2b^4 -7b^2 +1=0$且$a≠b$,求$a^4 +b^4$的值;
(3) 拓展应用:
已知实数$m,n$满足:$\frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2}=7,n^2 -n=7$且$n＞0$,求$\frac{1}{m^4} +n^2$的值.
材料1
为了解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0$,如果我们把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2$,则原方程可化为$y^2 -13y +36=0$,经过运算,原方程的解为$x_{1,2}=\pm2,x_{3,4}=\pm3$.我们把以上这种解决问题的方法通常叫作换元法.
材料2
已知实数$m,n$满足$m^2 -m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,显然$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由韦达定理可知$m+n=1,mn=-1$.
根据上述材料,解决以下问题.
(1) 直接应用:
方程$x^4 -5x^2 +6=0$的解为
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$
;(2) 间接应用:
已知实数$a,b$满足:$2a^4 -7a^2 +1=0,2b^4 -7b^2 +1=0$且$a≠b$,求$a^4 +b^4$的值;
(3) 拓展应用:
已知实数$m,n$满足:$\frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2}=7,n^2 -n=7$且$n＞0$,求$\frac{1}{m^4} +n^2$的值.
答案
24. (1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$ (2) $\because a≠b$,$\therefore a^2≠b^2$或$a^2=b^2$,① 当$a^2≠b^2$时,令$a^2=m$,$b^2=n$,$\therefore m≠n$,则$2m^2-7m+1=0$,$2n^2-7n+1=0$,$\therefore m,n$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不相等的实数根,$\therefore \begin{cases}m+n=\frac{7}{2},\\mn=\frac{1}{2},\end{cases}$此时$a^4+b^4=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=\frac{45}{4}$.② 当$a^2=b^2(a=-b)$时,$a^2=b^2=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$,此时$a^4+b^4=2a^4=2(a^2)^2=\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$,综上所述,$a^4+b^4=\frac{45}{4}$或$\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$; (3) 令$\frac{1}{m^2}=a$,$-n=b$,则$a^2+a-7=0$,$b^2+b-7=0$,$\because n＞0$,$\therefore \frac{1}{m^2}≠-n$,即$a≠b$,$\therefore a,b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不相等的实数根,$\therefore \begin{cases}a+b=-1,\\ab=-7,\end{cases}$故$\frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=15$.
解析
【分析】
本题围绕换元法和韦达定理的应用展开，解题思路如下：
(1) 对于四次方程$x^4-5x^2+6=0$，参考材料1的换元思路，将$x^2$看作整体设为$y$，把高次方程降为二次方程求解，再回代求$x$即可；
(2) 观察$a,b$满足的等式，将$a^2、b^2$看作整体，分两种情况讨论：①若$a^2≠b^2$，则二者是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，用韦达定理求$a^2、b^2$的和与积，再结合完全平方公式变形求$a^4+b^4$；②若$a^2=b^2$（即$a=-b$），先求解$a^2$的值，再代入计算$a^4+b^4$；
(3) 先对已知的两个等式变形，设$\frac{1}{m^2}=a$，$-n=b$，可发现$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根（由$n＞0$可判定$a≠b$），再用韦达定理结合完全平方公式求$a^2+b^2$，即为所求式子的值。
【解析】
(1) 设$y=x^2$，则原方程化为$y^2-5y+6=0$，因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2,y_2=3$。
当$y=2$时，$x^2=2$，得$x=\pm\sqrt{2}$；当$y=3$时，$x^2=3$，得$x=\pm\sqrt{3}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a^2≠b^2$时，设$m=a^2,n=b^2$，则$m≠n$，且$2m^2-7m+1=0$，$2n^2-7n+1=0$，
∴$m、n$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，由韦达定理得：$m+n=\frac{7}{2}$，$mn=\frac{1}{2}$，
∴$a^4+b^4=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(\frac{7}{2})^2-2×\frac{1}{2}=\frac{45}{4}$。
② 当$a^2=b^2$时，
∵$a≠b$，
∴$a=-b$，此时$2(a^2)^2-7a^2+1=0$，解得$a^2=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
∴$a^4+b^4=2a^4=2(a^2)^2=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
综上，$a^4+b^4$的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
(3) 设$a=\frac{1}{m^2}$，$b=-n$，则$\frac{1}{m^4}+\frac{1}{m^2}=7$可变形为$a^2+a-7=0$，$n^2-n=7$可变形为$b^2+b-7=0$，
∵$n＞0$，
∴$b=-n＜0$，而$a=\frac{1}{m^2}＞0$，故$a≠b$，
∴$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根，由韦达定理得：$a+b=-1$，$ab=-7$，
∴$\frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-1)^2-2×(-7)=15$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$
(3) $15$
【知识点】
换元法解方程，韦达定理应用，完全平方公式变形
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，以及韦达定理在同结构方程中的应用，解题时需注意分类讨论不重不漏，通过式子变形将陌生问题转化为熟悉的一元二次方程问题求解，能有效提升逻辑推理和转化问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕换元法和韦达定理的应用展开，解题思路如下：
(1) 对于四次方程$x^4-5x^2+6=0$，参考材料1的换元思路，将$x^2$看作整体设为$y$，把高次方程降为二次方程求解，再回代求$x$即可；
(2) 观察$a,b$满足的等式，将$a^2、b^2$看作整体，分两种情况讨论：①若$a^2≠b^2$，则二者是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，用韦达定理求$a^2、b^2$的和与积，再结合完全平方公式变形求$a^4+b^4$；②若$a^2=b^2$（即$a=-b$），先求解$a^2$的值，再代入计算$a^4+b^4$；
(3) 先对已知的两个等式变形，设$\frac{1}{m^2}=a$，$-n=b$，可发现$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根（由$n＞0$可判定$a≠b$），再用韦达定理结合完全平方公式求$a^2+b^2$，即为所求式子的值。
【解析】
(1) 设$y=x^2$，则原方程化为$y^2-5y+6=0$，因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2,y_2=3$。
当$y=2$时，$x^2=2$，得$x=\pm\sqrt{2}$；当$y=3$时，$x^2=3$，得$x=\pm\sqrt{3}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$a^2≠b^2$时，设$m=a^2,n=b^2$，则$m≠n$，且$2m^2-7m+1=0$，$2n^2-7n+1=0$，
∴$m、n$是方程$2x^2-7x+1=0$的两个不等实根，由韦达定理得：$m+n=\frac{7}{2}$，$mn=\frac{1}{2}$，
∴$a^4+b^4=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(\frac{7}{2})^2-2×\frac{1}{2}=\frac{45}{4}$。
② 当$a^2=b^2$时，
∵$a≠b$，
∴$a=-b$，此时$2(a^2)^2-7a^2+1=0$，解得$a^2=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
∴$a^4+b^4=2a^4=2(a^2)^2=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
综上，$a^4+b^4$的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
(3) 设$a=\frac{1}{m^2}$，$b=-n$，则$\frac{1}{m^4}+\frac{1}{m^2}=7$可变形为$a^2+a-7=0$，$n^2-n=7$可变形为$b^2+b-7=0$，
∵$n＞0$，
∴$b=-n＜0$，而$a=\frac{1}{m^2}＞0$，故$a≠b$，
∴$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根，由韦达定理得：$a+b=-1$，$ab=-7$，
∴$\frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-1)^2-2×(-7)=15$。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$
(3) $15$
【知识点】
换元法解方程，韦达定理应用，完全平方公式变形
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，以及韦达定理在同结构方程中的应用，解题时需注意分类讨论不重不漏，通过式子变形将陌生问题转化为熟悉的一元二次方程问题求解，能有效提升逻辑推理和转化问题的能力。
【难度系数】
0.6
