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5. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，如$[1.8]=1$，$[-1.4]=-2$，$[-3]=-3$.函数$y=[x]$的图象如图所示，则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$的解为（
A.0或$\sqrt{2}$
B.0或2
C.1或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
A
）A.0或$\sqrt{2}$
B.0或2
C.1或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
答案
5. A
解析
【分析】
要解含取整函数$[x]$的方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$，首先要明确$[x]$的定义：当$n≤ x＜n+1$（$n$为整数）时，$[x]=n$。我们可以按$x$的不同取值范围分类讨论，先确定每个区间内$[x]$的整数值，将方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验解是否在对应区间内即可。
【解析】
根据$[x]$的定义分情况讨论：
1. 当$1≤ x＜2$时，$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
因为$1≤ x＜2$，所以$x=-\sqrt{2}$不符合区间要求，舍去，$x=\sqrt{2}\approx1.414$，符合条件，是方程的解。
2. 当$0≤ x＜1$时，$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合区间要求，是方程的解。
3. 当$-1≤ x＜0$时，$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$，变形为$x^2=-2$，无实数解。
4. 当$-2≤ x＜-1$时，$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$，变形为$x^2=-4$，无实数解。
5. 当$x≥2$时，$[x]≤ x$，而$\frac{1}{2}x^2$在$x≥2$时单调递增，当$x＞2$时$\frac{1}{2}x^2＞x≥[x]$，无满足条件的解，结合图像范围$x=2$也不符合要求，故舍去。
综上，方程的解为$0$或$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和分类讨论的数学思想，解题时要注意求出的解必须符合对应$[x]$取值的区间范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
要解含取整函数$[x]$的方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$，首先要明确$[x]$的定义：当$n≤ x＜n+1$（$n$为整数）时，$[x]=n$。我们可以按$x$的不同取值范围分类讨论，先确定每个区间内$[x]$的整数值，将方程转化为普通一元二次方程求解，最后检验解是否在对应区间内即可。
【解析】
根据$[x]$的定义分情况讨论：
1. 当$1≤ x＜2$时，$[x]=1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=1$，解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
因为$1≤ x＜2$，所以$x=-\sqrt{2}$不符合区间要求，舍去，$x=\sqrt{2}\approx1.414$，符合条件，是方程的解。
2. 当$0≤ x＜1$时，$[x]=0$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合区间要求，是方程的解。
3. 当$-1≤ x＜0$时，$[x]=-1$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-1$，变形为$x^2=-2$，无实数解。
4. 当$-2≤ x＜-1$时，$[x]=-2$，代入方程得：
$\frac{1}{2}x^2=-2$，变形为$x^2=-4$，无实数解。
5. 当$x≥2$时，$[x]≤ x$，而$\frac{1}{2}x^2$在$x≥2$时单调递增，当$x＞2$时$\frac{1}{2}x^2＞x≥[x]$，无满足条件的解，结合图像范围$x=2$也不符合要求，故舍去。
综上，方程的解为$0$或$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解能力和分类讨论的数学思想，解题时要注意求出的解必须符合对应$[x]$取值的区间范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
6. 已知：$m^2 - 2m - 1 = 0$，$n^2 + 2n - 1 = 0$且$mn≠1$，则$\frac{mn + n + 1}{n}$的值为
3
。答案
6. 3
解析
【分析】
首先先化简所求代数式，将$\frac{mn + n + 1}{n}$拆分化简为$m + 1 + \frac{1}{n}$，可知只需计算出$m+\frac{1}{n}$的值即可得到结果。接下来观察已知的两个方程，首先可判断$n≠0$，因此可将关于$n$的方程两边同时除以$n^2$，变形得到和$m$的方程结构完全相同的、关于$\frac{1}{n}$的一元二次方程。结合条件$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，可知$m$和$\frac{1}{n}$是方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根，最后根据韦达定理求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
1. 化简所求代数式：
若$n=0$，代入$n^2+2n-1=0$得$-1=0$，矛盾，因此$n≠0$。
对所求式拆分可得：$\frac{mn + n + 1}{n} = \frac{mn}{n} + \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = m + 1 + \frac{1}{n}$。
2. 变形关于$n$的方程：
对$n^2 + 2n - 1 = 0$两边同时除以$n^2$，得：
$1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2} = 0$，整理得$(\frac{1}{n})^2 - 2·\frac{1}{n} - 1 = 0$。
3. 判断方程根的关系：
已知$m^2 - 2m -1 = 0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，因此$m$和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两个不相等的实数根。
4. 利用韦达定理计算：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此$m + \frac{1}{n} = -\frac{-2}{1} = 2$。
5. 代入求值：
将$m + \frac{1}{n}=2$代入化简后的式子，得：
$\frac{mn + n + 1}{n} = 2 + 1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式化简，一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题解题核心是通过代数式变形，将两个形式不同的方程转化为同结构的一元二次方程，结合限定条件判断未知量为同方程的两个根，再用韦达定理快速求解，避免了分别求解m、n的繁琐计算，考查了代数变形能力和方程知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先先化简所求代数式，将$\frac{mn + n + 1}{n}$拆分化简为$m + 1 + \frac{1}{n}$，可知只需计算出$m+\frac{1}{n}$的值即可得到结果。接下来观察已知的两个方程，首先可判断$n≠0$，因此可将关于$n$的方程两边同时除以$n^2$，变形得到和$m$的方程结构完全相同的、关于$\frac{1}{n}$的一元二次方程。结合条件$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，可知$m$和$\frac{1}{n}$是方程$x^2-2x-1=0$的两个不等实根，最后根据韦达定理求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
1. 化简所求代数式：
若$n=0$，代入$n^2+2n-1=0$得$-1=0$，矛盾，因此$n≠0$。
对所求式拆分可得：$\frac{mn + n + 1}{n} = \frac{mn}{n} + \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = m + 1 + \frac{1}{n}$。
2. 变形关于$n$的方程：
对$n^2 + 2n - 1 = 0$两边同时除以$n^2$，得：
$1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2} = 0$，整理得$(\frac{1}{n})^2 - 2·\frac{1}{n} - 1 = 0$。
3. 判断方程根的关系：
已知$m^2 - 2m -1 = 0$，且$mn≠1$即$m≠\frac{1}{n}$，因此$m$和$\frac{1}{n}$是一元二次方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两个不相等的实数根。
4. 利用韦达定理计算：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此$m + \frac{1}{n} = -\frac{-2}{1} = 2$。
5. 代入求值：
将$m + \frac{1}{n}=2$代入化简后的式子，得：
$\frac{mn + n + 1}{n} = 2 + 1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式化简，一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题解题核心是通过代数式变形，将两个形式不同的方程转化为同结构的一元二次方程，结合限定条件判断未知量为同方程的两个根，再用韦达定理快速求解，避免了分别求解m、n的繁琐计算，考查了代数变形能力和方程知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. (2024·绵阳)超市销售某种礼盒,该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升,商家在3月份提价20%,后发现销量锐减,于是经过核算决定在3月份售价的基础上,4,5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元,则r=
10%
.答案
7. 10%
解析
【分析】
解题时先理清各阶段售价的计算逻辑：首先算出3月份提价20%后的售价，再根据4、5月份连续两次降价的降价率均为r，可得5月份售价为3月份售价乘(1-r)的平方，结合5月份售价为486元的条件列一元二次方程求解即可，注意降价率r需满足0＜r＜1，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
1. 计算3月份提价后的售价：
原价为500元，提价20%后，3月份售价 = $500×(1+20\%)=600$元。
2. 根据等量关系列方程：
4、5月份连续两次降价率均为r，因此5月份售价 = 3月份售价$×(1-r)^2$，代入已知数据得：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程：
两边同时除以600，得$(1-r)^2=0.81$，开平方得$1-r=\pm0.9$。
若$1-r=0.9$，则$r=0.1=10\%$；
若$1-r=-0.9$，则$r=1.9$，不符合降价率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
降价率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的百分率类实际应用题，核心是找准不同阶段价格的等量关系，求解方程后要注意结合实际场景对根进行取舍，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时先理清各阶段售价的计算逻辑：首先算出3月份提价20%后的售价，再根据4、5月份连续两次降价的降价率均为r，可得5月份售价为3月份售价乘(1-r)的平方，结合5月份售价为486元的条件列一元二次方程求解即可，注意降价率r需满足0＜r＜1，要舍去不符合实际意义的根。
【解析】
1. 计算3月份提价后的售价：
原价为500元，提价20%后，3月份售价 = $500×(1+20\%)=600$元。
2. 根据等量关系列方程：
4、5月份连续两次降价率均为r，因此5月份售价 = 3月份售价$×(1-r)^2$，代入已知数据得：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程：
两边同时除以600，得$(1-r)^2=0.81$，开平方得$1-r=\pm0.9$。
若$1-r=0.9$，则$r=0.1=10\%$；
若$1-r=-0.9$，则$r=1.9$，不符合降价率小于1的实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
降价率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的百分率类实际应用题，核心是找准不同阶段价格的等量关系，求解方程后要注意结合实际场景对根进行取舍，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
8.（2024·淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.
答案
8. (1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,由题意得:$32(1+x)^2=50$,解得:$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不符合题意,舍去),答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 设购买的这种健身器材的套数为m套,$\because 240000÷1600=150$(套),$\therefore m＞100$,由题意得:$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$,整理得:$m^2-500m+60000=0$,解得:$m_1=200$,$m_2=300$,当$m=200$时,$1600-\frac{m-100}{10}×40=1600-400=1200＞1000$,符合题意;当$m=300$时,$1600-\frac{m-100}{10}×40=1600-800=800＜1000$,不符合题意,舍去;答:购买的这种健身器材的套数为200套.
(2) 设购买的这种健身器材的套数为m套,$\because 240000÷1600=150$(套),$\therefore m＞100$,由题意得:$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$,整理得:$m^2-500m+60000=0$,解得:$m_1=200$,$m_2=300$,当$m=200$时,$1600-\frac{m-100}{10}×40=1600-400=1200＞1000$,符合题意;当$m=300$时,$1600-\frac{m-100}{10}×40=1600-800=800＜1000$,不符合题意,舍去;答:购买的这种健身器材的套数为200套.
解析
【分析】
（1）第一问属于平均增长率问题，解题思路为：先设年均增长率为x，根据“增长后量=增长前量×(1+增长率)ⁿ（n为增长年数）”的公式，已知2021年人数为32万，经过2年增长到2023年的50万，代入公式列一元二次方程求解，最后结合增长率为正的实际意义舍去负根即可。
（2）第二问属于销售类实际应用问题，首先判断购买套数范围：计算购买100套的总货款为16万元，小于实际支付的24万元，可得购买套数m＞100；再根据售价规则，推导得出每套实际售价为$1600-\frac{m-100}{10}×40$元，结合“总价=单价×数量”的等量关系列方程；最后根据“最低售价不得少于1000元”的限制条件，对解出的m进行验证，舍去不符合要求的解。
【解析】
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套。
$\because$ 购买100套的总货款为$100×1600=160000$元=16万元＜24万元，$\therefore m＞100$。
由题意列方程：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
解得：$m_1=200$，$m_2=300$
验证售价：
当$m=200$时，每套售价为$1600-\frac{200-100}{10}×40=1200$元，$1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\frac{300-100}{10}×40=800$元，$800＜1000$，不符合题意，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
【答案】
（1）25%；（2）200套
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
3. 分段销售问题
【点评】
本题结合健身热点背景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，尤其要注意实际问题中解的取值限制，需根据题干附加条件对求出的解进行验证，避免漏判限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
（1）第一问属于平均增长率问题，解题思路为：先设年均增长率为x，根据“增长后量=增长前量×(1+增长率)ⁿ（n为增长年数）”的公式，已知2021年人数为32万，经过2年增长到2023年的50万，代入公式列一元二次方程求解，最后结合增长率为正的实际意义舍去负根即可。
（2）第二问属于销售类实际应用问题，首先判断购买套数范围：计算购买100套的总货款为16万元，小于实际支付的24万元，可得购买套数m＞100；再根据售价规则，推导得出每套实际售价为$1600-\frac{m-100}{10}×40$元，结合“总价=单价×数量”的等量关系列方程；最后根据“最低售价不得少于1000元”的限制条件，对解出的m进行验证，舍去不符合要求的解。
【解析】
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%。
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套。
$\because$ 购买100套的总货款为$100×1600=160000$元=16万元＜24万元，$\therefore m＞100$。
由题意列方程：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
解得：$m_1=200$，$m_2=300$
验证售价：
当$m=200$时，每套售价为$1600-\frac{200-100}{10}×40=1200$元，$1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\frac{300-100}{10}×40=800$元，$800＜1000$，不符合题意，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200套。
【答案】
（1）25%；（2）200套
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
3. 分段销售问题
【点评】
本题结合健身热点背景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，尤其要注意实际问题中解的取值限制，需根据题干附加条件对求出的解进行验证，避免漏判限制条件导致错解。
【难度系数】
0.65
9. 如图,已知正方形ABCD的边长为4 cm,动点P从点B出发,以2 cm/s的速度、沿B-C-D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1 cm/s的速度、沿A-B方向,向点B运动.若P,Q两点同时出发,运动时间为t s.
(1) 连接PD,PQ,DQ,求当t为何值时,△PQD的面积为7 cm²;
(2) 当点P在BC上运动时,是否存在这样的t,使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
(1) 连接PD,PQ,DQ,求当t为何值时,△PQD的面积为7 cm²;
(2) 当点P在BC上运动时,是否存在这样的t,使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
9. (1) 当P在BC上时,如图1:
根据题意,得AB=BC=CD=AD=4,AQ=t,QB=4-t,BP=2t,PC=4-2t,$S_{△ PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ ADQ}-S_{△ BPQ}-S_{DPC}=7$,$16-\frac{1}{2}×4×t-\frac{1}{2}×2t · (4-t)-\frac{1}{2}×4×(4-2t)=7$,整理,得$t^2-2t+1=0$,解得$t_1=t_2=1$.当P在CD上时,如图2:
此时$2＜t ≤ 4$,$DP=4-(2t-4)=8-2t$,$\therefore S_{△ PQD}=\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$,$\therefore t=\frac{9}{4}$.答:当t为1秒或$\frac{9}{4}$秒时,$△ PQD$的面积为7 cm².(2) 存在.如图1,AQ=t,BQ=4-t,BP=2t,PC=4-2t$(0 ≤ t ≤ 2)$,当DP=DQ时,$\because DC=DA$,$\therefore \mathrm{Rt}△ DPC ≌ \mathrm{Rt}△ DQA$,$\therefore PC=AQ$,即$4-2t=t$,解得$t=\frac{4}{3}$;当PD=PQ时,在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中,$PQ^2=PB^2+BQ^2=(2t)^2+(4-t)^2$,在$\mathrm{Rt}△ PCD$中,$PD^2=PC^2+CD^2=(4-2t)^2+4^2$,$\therefore (2t)^2+(4-t)^2=(4-2t)^2+4^2$,整理得$t^2+8t-16=0$,解得$t_1=-4-4\sqrt{2}$(舍去),$t_2=-4+4\sqrt{2}$,$\therefore t=\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$时,$△ PQD$是以PD为一腰的等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 求解△PQD面积为7cm²对应的t值，需根据动点P的位置分两类讨论：①P在BC边上（0≤t≤2），采用割补法，用正方形面积减去周围3个直角三角形的面积得到△PQD的面积表达式，列方程求解；②P在CD边上（2＜t≤4），此时△PQD以DP为底、AD为高，直接用三角形面积公式列方程求解，最后要验证解是否符合对应区间的取值范围。
(2) 判断是否存在t使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①DP=DQ，结合正方形边长相等的性质，可证Rt△DPC≌Rt△DQA，根据对应边相等列方程求解；②PD=PQ，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PQ²和PD²，列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当P在BC边上时，如图1：
正方形ABCD边长为4cm，运动时间为t s，可得AQ=t，QB=4-t，BP=2t，PC=4-2t。
由割补法得$S_{△PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△DPC}=7$，代入数值：
$16-\frac{1}{2}×4×t-\frac{1}{2}×2t·(4-t)-\frac{1}{2}×4×(4-2t)=7$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合0≤t≤2的范围。
②当P在CD边上时，如图2：
此时$2＜t ≤ 4$，$DP=4-(2t-4)=8-2t$，△PQD的高为AD=4cm，
$\therefore S_{△PQD}=\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$
解得$t=\frac{9}{4}$，符合2＜t≤4的范围。
(2) 存在符合条件的t，此时点P在BC上，0≤t≤2，AQ=t，BQ=4-t，BP=2t，PC=4-2t，分两种情况：
①当DP=DQ时：
∵正方形ABCD中DC=DA，∠C=∠A=90°，
∴$\mathrm{Rt}△ DPC ≌ \mathrm{Rt}△ DQA$（HL），
∴PC=AQ，即$4-2t=t$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合取值范围。
②当PD=PQ时：
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得$PQ^2=PB^2+BQ^2=(2t)^2+(4-t)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ PCD$中，由勾股定理得$PD^2=PC^2+CD^2=(4-2t)^2+4^2$，
令两式相等：$(2t)^2+(4-t)^2=(4-2t)^2+4^2$，
整理得$t^2+8t-16=0$，解得$t_1=-4-4\sqrt{2}$（不符合t≥0的要求，舍去），$t_2=-4+4\sqrt{2}$，符合0≤t≤2的范围。
【答案】
(1) 当t为1s或$\frac{9}{4}$s时，△PQD的面积为7 cm²；
(2) 存在，符合条件的t的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$。
对应参考图：图1、图2
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是动点结合几何图形的综合题，核心考查分类讨论的数学思想，解题时需根据动点的运动轨迹分段分析，结合图形的性质列方程求解，要注意对解的合理性进行检验，避免出现不符合实际运动情况的增根。
【难度系数】
0.6
(1) 求解△PQD面积为7cm²对应的t值，需根据动点P的位置分两类讨论：①P在BC边上（0≤t≤2），采用割补法，用正方形面积减去周围3个直角三角形的面积得到△PQD的面积表达式，列方程求解；②P在CD边上（2＜t≤4），此时△PQD以DP为底、AD为高，直接用三角形面积公式列方程求解，最后要验证解是否符合对应区间的取值范围。
(2) 判断是否存在t使得△PQD是以PD为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①DP=DQ，结合正方形边长相等的性质，可证Rt△DPC≌Rt△DQA，根据对应边相等列方程求解；②PD=PQ，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PQ²和PD²，列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当P在BC边上时，如图1
：正方形ABCD边长为4cm，运动时间为t s，可得AQ=t，QB=4-t，BP=2t，PC=4-2t。
由割补法得$S_{△PQD}=S_{正方形ABCD}-S_{△ADQ}-S_{△BPQ}-S_{△DPC}=7$，代入数值：
$16-\frac{1}{2}×4×t-\frac{1}{2}×2t·(4-t)-\frac{1}{2}×4×(4-2t)=7$
整理得$t^2-2t+1=0$，解得$t_1=t_2=1$，符合0≤t≤2的范围。
②当P在CD边上时，如图2
：此时$2＜t ≤ 4$，$DP=4-(2t-4)=8-2t$，△PQD的高为AD=4cm，
$\therefore S_{△PQD}=\frac{1}{2}(8-2t)×4=7$
解得$t=\frac{9}{4}$，符合2＜t≤4的范围。
(2) 存在符合条件的t，此时点P在BC上，0≤t≤2，AQ=t，BQ=4-t，BP=2t，PC=4-2t，分两种情况：
①当DP=DQ时：
∵正方形ABCD中DC=DA，∠C=∠A=90°，
∴$\mathrm{Rt}△ DPC ≌ \mathrm{Rt}△ DQA$（HL），
∴PC=AQ，即$4-2t=t$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合取值范围。
②当PD=PQ时：
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得$PQ^2=PB^2+BQ^2=(2t)^2+(4-t)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ PCD$中，由勾股定理得$PD^2=PC^2+CD^2=(4-2t)^2+4^2$，
令两式相等：$(2t)^2+(4-t)^2=(4-2t)^2+4^2$，
整理得$t^2+8t-16=0$，解得$t_1=-4-4\sqrt{2}$（不符合t≥0的要求，舍去），$t_2=-4+4\sqrt{2}$，符合0≤t≤2的范围。
【答案】
(1) 当t为1s或$\frac{9}{4}$s时，△PQD的面积为7 cm²；
(2) 存在，符合条件的t的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4$。
对应参考图：图1
、图2【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是动点结合几何图形的综合题，核心考查分类讨论的数学思想，解题时需根据动点的运动轨迹分段分析，结合图形的性质列方程求解，要注意对解的合理性进行检验，避免出现不符合实际运动情况的增根。
【难度系数】
0.6
