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【典例1】(2026·陕西)如图，边长为1与3的两个正方形如图所示摆放在$\odot O$中，求$\odot O$的半径。
答案
解:连接 OA,OE,OF，
$\because OE=OF,\therefore$ 点 O 在 EF 的垂直平分线 ON 上，
延长 AB 交直线 ON 于点 M，
设 $OM=x,ON=4-x,2.5^2+x^2=1.5^2+(4-x)^2$，
$\therefore x=\frac{3}{2},\therefore R=\sqrt{2.5^2+1.5^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
变式.如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案,测得顶点A,B之间的距离为5.现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖,则r的最小值是(
A.$\frac{1}{2}\sqrt{17}$
B.$\frac{5}{8}\sqrt{17}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{17}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{17}$
B
)A.$\frac{1}{2}\sqrt{17}$
B.$\frac{5}{8}\sqrt{17}$
C.$\frac{2}{3}\sqrt{17}$
D.$\frac{3}{4}\sqrt{17}$
答案
解:设 O 点到 BC 的距离为 m，
$m^2+2^2=1^2+(4-m)^2,m=\frac{13}{8},\therefore r=\frac{5}{8}\sqrt{17}$。
【典例2】如图，点P在$\odot O$的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中D，G两点在AB所在直线上，C，E，F，H四点都在$\odot O$上，若两个正方形的面积之和为16，$OP=\sqrt{2}$，则DG的长是（
A.$6\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{14}$
C.7
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.$6\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{14}$
C.7
D.$4\sqrt{3}$
答案
解:过 O 点作 $OM⊥ PC,ON⊥ PE$,垂足为 M,N，
$\therefore OM=ON=1$，
$\therefore CM=HN=EN$。
设 $CM=HN=x$，
$PC=x+1,PH=x-1$，
$(x+1)^2+(x-1)^2=16$，
$x=\sqrt{7}$(负值已舍),$DG=2\sqrt{14}$。
变式.如图，AB为$\odot O$直径，MN为弦，AB与MN交于点P.若$PM=3$，$PN=4$，$PA=2$，求$\odot O$的半径长.
答案
解:连接 OM,过 O 点作 $OH⊥ MN$ 于 H 点，
$PH=0.5$，
设 $OP=x,OM=x+2$，
$(x+2)^2-3.5^2=x^2-0.5^2$，
$\therefore x=2,\therefore R=4$。
