登录
【典例1】如图，在$\odot O$中，半径OD与弦AB互相垂直于点C，若$AB=8$，$CD=3$，求$\odot O$的半径长。
答案
解:连接OA，
设$\odot O$的半径为r,则$OC=r-3$,又$AC=4$,
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$r^2=4^2+(r-3)^2$,$r=\frac{25}{6}$.
变式.如图,在$\odot O$中,直径$AD⊥$弦$BC$于$E$,连$AB$,$OM⊥ AB$于$M$点,$BC=8$,$OM=\frac{5}{2}$,求$\odot O$的半径.
答案
解:连接$BD$,$OB$,
$\because OM=\frac{1}{2}BD,\therefore BD=5,\therefore DE=3$,
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中,$R^2=4^2+(R-3)^2,R=\frac{25}{6}$.
【典例2】如图，$\odot O$的半径为5，半径$OD⊥$弦$AB$于$C$，$AD=2\sqrt{5}$，求$AB$的长。
答案
解:连接$OA$,
设$CD=x$,则$OC=5-x$,
$\because OA^2-OC^2=AC^2=AD^2-CD^2$,
$\therefore 5^2-(5-x)^2=(2\sqrt{5})^2-x^2,\therefore x=2$,
$\therefore OC=3,AC=4,\therefore AB=2AC=8$.
变式1.如图,在$\odot O$中,弦AB、CD相交于点E,AB⊥CD,AE=2,BE=6,CE=4,求$\odot O$的直径.
答案
解:连接OC,OB,过O作$OF⊥ AB$于F,$OG⊥ CD$于G,
则$BF=4,EF=2=OG$,
设$OF=EG=x$,则$GC=4-x$,$\because CG^2+OG^2=OC^2=OB^2=OF^2+BF^2$,
$\therefore (4-x)^2+2^2=4^2+x^2$,
$\therefore x=\frac{1}{2},\therefore \odot O$的直径为$\sqrt{65}$.
变式2.如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB//CD，AB＝24，CD＝10，AB与CD之间的距离为7，求⊙O的半径.
答案
解:设$\odot O$半径为r,过O作$OM⊥ CD$于M,交AB于N,连接OC、OA,
设$ON=x$,则$5^2+(7+x)^2=12^2+x^2=r^2$,$x=5$,
故$r=13$.
