1. [2025陕西中考]如图,在$△ ABC$中,点D在边BC上,$∠ ADB=2∠ C$.若$AB=5$,$BC=6$,则$△ ABD$的周长为 ()


A.8
B.10
C.11
D.12

1 C

∵ ∠ADB是△ACD的外角,
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DAC.又
∵ ∠ADB = 2∠C,
∴ ∠C = ∠DAC,
∴ AD = DC,
∴ C△ABD = AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC = 11.

【分析】
解题时首先观察图形和已知条件，发现∠ADB是△ACD的外角，可联想到三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。结合题目给出的∠ADB=2∠C的条件，可推导出∠C和∠DAC相等，再根据等角对等边得到AD=DC。接下来求△ABD的周长时，将周长中的AD替换为DC，就能把△ABD的周长转化为AB与BC的和，代入已知数值即可快速算出结果。
【解析】
∵ ∠ADB是△ACD的外角，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DAC，
又
∵ ∠ADB = 2∠C，
∴ 2∠C = ∠C + ∠DAC，即∠C = ∠DAC，
∴ AD = DC（等角对等边），
∴ $C_{△ ABD} = AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC$，
代入AB=5，BC=6，得$C_{△ ABD}=5+6=11$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等腰三角形判定，周长计算
【点评】
本题解题的核心是利用角度关系推导边的等量关系，通过周长的转化简化计算，巧妙避开了未知边的求解，是几何中整体转化思想的典型应用。
【难度系数】
0.7

2. [2025辽宁中考]如图,在$△ ABC$中,$AB = 16,BC = 12,CA = 10,∠ ABC$的平分线$BP$与$AC$相交于点$D$.在线段$AD$上取一点$K$,以点$C$为圆心,$CK$长为半径作弧,与射线$BP$相交于点$M$和点$N$,再分别以点$M$和点$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧相交于点$Q$,作射线$CQ$,与$AB$相交于点$E$,连接$DE$,则$△ DAE$的周长为 ()


A.12
B.14
C.16
D.18

2 B 由作图可知CE⊥BD. 设CE,BD交于点O,则∠BOC = ∠BOE = 90°.
∵ BP平分∠ABC,
∴ ∠ABO = ∠CBO. 在△BOC和△BOE中,∠BOC = ∠BOE, OB = OB, ∠CBO = ∠EBO,
∴ △BOC≌△BOE(ASA),
∴ OC = OE, BE = BC = 12,
∴ BD垂直平分CE,AE = AB - BE = 4,
∴ DE = CD,
∴ C△ADE = AE + DE + AD = AE + CD + AD = AE + AC = 14.

【分析】
解题时首先识别尺规作图的结论，由作图步骤可知CQ垂直于∠ABC的平分线BP。接下来结合角平分线的条件，可证明△BOC与△BOE全等，得到BE=BC，同时推出BD垂直平分CE，根据垂直平分线的性质得DE=CD。此时△DAE的周长可转化为AE与AC的和，代入已知线段长度即可求解。
【解析】
由作图可知$CE⊥ BD$，设$CE$与$BD$交于点$O$，则$∠ BOC=∠ BOE=90°$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ CBO=∠ EBO$。
在$△ BOC$和$△ BOE$中：
$\begin{cases}∠ BOC=∠ BOE\\OB=OB\\∠ CBO=∠ EBO\end{cases}$
$\therefore △ BOC≌△ BOE(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BE=BC=12$，$OC=OE$，即$BD$垂直平分$CE$，
$\therefore AE=AB-BE=16-12=4$，$DE=CD$，
$\therefore △ DAE$的周长为$AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=4+10=14$。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是典型的几何综合小题，融合了尺规作图识别、角平分线性质、全等三角形、垂直平分线性质多个考点，解题核心是通过作图得到垂直关系，结合角平分线构造全等三角形，再利用转化思想将未知周长转化为已知线段的和计算。
【难度系数】
0.6

3. 易错题 [2025宿迁中考]若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则该等腰三角形的周长为cm.

3 10 当2 cm为腰时,三条边长分别为2 cm,2 cm,4 cm.
∵ 2 + 2 = 4,
∴ 不能构成三角形;当4 cm为腰时,三条边长分别为2 cm,4 cm,4 cm.
∵ 2 + 4 ＞ 4,
∴ 能构成三角形,此时三角形的周长为2 + 4 + 4 = 10(cm). 综上所述,该等腰三角形的周长为10 cm.

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的两腰长度相等，题目给出的两条边长未明确谁是腰谁是底边，因此需要分两种情况分类讨论。同时要注意，构成三角形必须满足三边关系：任意两边之和大于第三边，因此每种情况都要先验证三边是否能构成三角形，符合条件的再计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当2 cm为腰长时，三角形的三边长分别为2 cm，2 cm，4 cm。
∵ 2 + 2 = 4，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，
∴ 此种情况不能构成三角形，需排除。
② 当4 cm为腰长时，三角形的三边长分别为2 cm，4 cm，4 cm。
∵ 2 + 4 = 6 ＞ 4，满足三角形三边关系，
∴ 此种情况可以构成三角形，此时三角形的周长为 2 + 4 + 4 = 10（cm）。
综上，该等腰三角形的周长为10 cm。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接计算两种情况的周长导致错解。处理等腰三角形边长类问题时，一定要先判断三边能否构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6

4. [2025滨州中考]如图，$△ ABC$的两个外角的平分线$AD$，$CE$相交于点$O$.若点$O$到$BC$的距离为3.5，$AB=4$，则$△ ABO$的面积为.

4 7 如图,过点O作OP⊥BA交BA的延长线于点P,OQ⊥BC交BC的延长线于点Q,OR⊥AC于点R.
∵ △ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O,
∴ OP = OR,OQ = OR,
∴ OP = OQ.
∵ 点O到BC的距离为3.5,
∴ OP = OQ = 3.5.
∵ AB = 4,
∴ S△ABO = 1/2 AB · OP = 1/2 ×4 ×3.5 =7.

【分析】
要计算△ABO的面积，已知AB的长度，只需先求出点O到AB边的距离。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，O是△ABC两个外角平分线的交点，我们可以过O作BA、BC、AC三边的垂线，利用外角平分线的性质推导点O到AB的距离等于点O到BC的距离，最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
过点O作$OP⊥ BA$交BA的延长线于点P，$OQ⊥ BC$交BC的延长线于点Q，$OR⊥ AC$于点R。
∵AD是△ABC的外角平分线，点O在AD上，
∴$OP=OR$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CE是△ABC的外角平分线，点O在CE上，
∴$OQ=OR$，
∴$OP=OQ$。
已知点O到BC的距离为3.5，即$OQ=3.5$，因此$OP=3.5$。
又
∵$AB=4$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB× OP=\frac{1}{2}×4×3.5=7$。

【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，解题关键是利用外角平分线的性质得到点O到AB边的距离，结合三角形面积公式即可求解，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

5. [2024绥化中考]如图,已知$∠ AOB = 50°$,点P为$∠ AOB$内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当$△ PMN$的周长最小时,则$∠ MPN =$°.

5 80 如图,分别作点P关于OA,OB的对称点P₁,P₂,连接OP₁,OP₂,P₁P₂,则当M,N是P₁P₂与OA,OB的交点时,△PMN的周长最小,连接P₁P,P₂P.
∵ 点P,P₁关于OA对称,
∴ ∠P₁OP = 2∠MOP, OP₁ = OP, P₁M = PM, ∠OP₁M = ∠OPM. 同理,∠P₂OP = 2∠NOP, OP = OP₂, ∠OP₂N = ∠OPN,
∴ ∠P₁OP₂ = ∠P₁OP + ∠P₂OP = 2(∠MOP + ∠NOP) = 2∠AOB = 100°, OP₁ = OP₂ = OP,
∴ △P₁OP₂是等腰三角形,
∴ ∠OP₂N = ∠OP₁M = 40°,
∴ ∠MPN = ∠MPO + ∠NPO = ∠OP₁M + ∠OP₂N = 80°.

【分析】
要解决△PMN周长最小的问题，首先回忆最短路径的常用解法：通过作点关于直线的对称点，利用轴对称性质将折线段转化为直线段，根据“两点之间线段最短”确定周长最小时M、N的位置。确定位置后，再结合轴对称的边角性质、等腰三角形内角和定理推导∠MPN的度数。具体思考路径为：①作P关于OA、OB的对称点，将PM、PN转化为对称点到M、N的线段，得到周长最小时M、N的位置；②利用对称性质推导∠P₁OP₂与∠AOB的数量关系；③求出等腰△P₁OP₂的底角度数，再通过角的等量代换得到∠MPN的度数。
【解析】
分别作点P关于OA、OB的对称点$P_1$、$P_2$，连接$OP_1$、$OP_2$、$P_1P_2$，当M、N是$P_1P_2$与OA、OB的交点时，$△ PMN$的周长最小，连接$P_1P$、$P_2P$。
∵ 点P、$P_1$关于OA对称，
∴ $∠ P_1OP = 2∠ MOP$，$OP_1 = OP$，$P_1M = PM$，$∠ OP_1M = ∠ OPM$。
同理可得，$∠ P_2OP = 2∠ NOP$，$OP = OP_2$，$∠ OP_2N = ∠ OPN$，
∴ $∠ P_1OP_2 = ∠ P_1OP + ∠ P_2OP = 2(∠ MOP + ∠ NOP) = 2∠ AOB$，
已知$∠ AOB=50°$，代入得$∠ P_1OP_2=2×50°=100°$，且$OP_1=OP_2=OP$，
∴ $△ P_1OP_2$是等腰三角形，
∴ $∠ OP_1M = ∠ OP_2N = \frac{180° - 100°}{2}=40°$，
∴ $∠ MPN = ∠ MPO + ∠ NPO = ∠ OP_1M + ∠ OP_2N = 40°+40°=80°$。
【答案】
80

【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是轴对称与角度计算结合的经典题型，核心是通过作对称点将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，再结合轴对称的边角性质、等腰三角形内角和即可求解，解题时需注意对称前后对应角、对应边相等的转化。
【难度系数】
0.6

6. [2025镇江中考] 如图，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，边BC与EF，DF分别交于点O，M，AC与EF交于点N，OB = OE. 求证：$△ MOF ≌ △ NOC.$

6 证明:
∵ △ABC≌△DEF,
∴ BC = EF,∠F = ∠C.
∵ OB = OE,
∴ BC - OB = EF - OE,即OC = OF.在△MOF和△NOC中,
$\begin{cases}∠MOF = ∠NOC, \\OF = OC, \\∠F = ∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA).

【分析】
要证明△MOF≌△NOC，首先明确全等三角形的判定需要找到对应相等的边和角：第一步从已知△ABC≌△DEF出发，根据全等三角形的性质可得对应角∠F=∠C、对应边BC=EF；第二步结合已知OB=OE，利用等式性质可推出OC=OF；第三步观察图形可得∠MOF和∠NOC是对顶角，二者相等。此时已满足“两角及其夹边对应相等”的ASA判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ △ABC≌△DEF，
∴ BC = EF，∠F = ∠C。
∵ OB = OE，
∴ BC - OB = EF - OE，即OC = OF。
在△MOF和△NOC中，
$\begin{cases}∠MOF = ∠NOC, \\OF = OC, \\∠F = ∠C,\end{cases}$
∴ △MOF≌△NOC(ASA)。
【答案】
证明过程如上，△MOF≌△NOC成立。
【知识点】
1. 全等三角形的性质
2. 对顶角相等
3. 全等三角形的判定（ASA）
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过已知的全等关系推导待证三角形全等所需的边、角条件，要注意挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. [2024常州中考] 如图，B,E,C,F是直线l上的四点，AC,DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF.
(1)求证：△GEC是等腰三角形.
(2)连接AD，则AD与l的位置关系是.

7 (1)证明:在△ABC和△DFE中,
$\begin{cases}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE,\end{cases}$
∴ △ABC≌△DFE,
∴ ∠ACB = ∠DEF,
∴ EG = CG,
∴ △GEC是等腰三角形.
(2)解:AD//l
∵ AC = DE, EG = CG,
∴ AC - CG = DE - EG,
∴ AG = DG,
∴ ∠GAD = ∠GDA = 1/2(180° - ∠AGD).
∵ ∠ACE = ∠DEF = 1/2(180° - ∠CGE), ∠AGD = ∠EGC,
∴ ∠CAD = ∠ACB,
∴ AD//l.

【分析】
(1) 要证△GEC是等腰三角形，可通过“等角对等边”推导，首先观察已知给出三组对应边相等，可先利用SSS判定△ABC和△DFE全等，由全等性质得到∠ACB=∠DEF，即可推出EG=CG，完成等腰三角形的证明。
(2) 判断AD与l的位置关系，可通过证内错角相等得到平行结论：先由AC=DE和第一问得到的EG=CG，推导得AG=DG，即△AGD为等腰三角形，结合对顶角相等，可推出∠GAD=∠ACB，即可根据平行线判定得平行关系。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△DFE中，
$\begin{cases}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE,\end{cases}$
∴ △ABC≌△DFE（SSS），
∴ ∠ACB = ∠DEF，
∴ EG = CG，
∴ △GEC是等腰三角形。
(2) 推导：
∵ AC = DE，EG = CG，
∴ AC - CG = DE - EG，即AG = DG，
∴ ∠GAD = ∠GDA = $\frac{1}{2}(180° - ∠AGD)$。
∵ ∠ACB = ∠DEF = $\frac{1}{2}(180° - ∠CGE)$，且∠AGD = ∠EGC（对顶角相等），
∴ ∠GAD = ∠ACB，
∴ AD//l。
【答案】
(1) △GEC是等腰三角形，证明成立；
(2) AD//l
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形、等腰三角形、平行线判定的核心知识点结合考查，解题关键是先通过SSS证明三角形全等，再逐步推导角的关系，注重对基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.7