8.［2024威海中考］感悟
如图1，在$△ ABE$中，点$C,D$在边$BE$上，$AB=AE$，$BC=DE$. 求证：$∠ BAC=∠ EAD$.
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线$BC$上取点$D$，点$E$（点$D$在点$E$的左侧），使得$∠ EAD=∠ BAC$，且$DE=BC$（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图3，用直尺和圆规在直线$AC$上取一点$D$，在直线$BC$上取一点$E$，使得$∠ CDE=∠ BAC$，且$DE=AB$（不写作法，保留作图痕迹）.

8 感悟 证明:
∵ AB = AE,
∴ ∠B = ∠E.
在△ABC和△AED中
$\begin{cases}AB = AE, \\∠B = ∠E, \\BC = ED,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD.
应用 解:(1)解题思路:以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点E,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点D,连接AD,AE.如图1所示.
(2)解题思路:以点C为圆心,AC的长为半径画弧,交AC的延长线于一点,该点为点D,以点C为圆心,BC的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点E,连接DE.如图2所示.

【分析】
感悟部分解题思路
已知$AB=AE$，可得$△ ABE$是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等可推出$∠ B=∠ E$；结合已知条件$BC=DE$，刚好满足SAS全等判定的条件，可证$△ ABC$和$△ AED$全等，再根据全等三角形对应角相等，即可得出$∠ BAC=∠ EAD$的结论。
应用部分解题思路
(1) 要得到$∠ EAD=∠ BAC$且$DE=BC$，可构造$△ AED ≌ △ ABC$：以A为圆心，AB长为半径画弧，和直线BC的交点即为E；再以A为圆心AC长为半径画弧，和直线BC的交点即为D（保证D在E左侧），即可满足全等条件，得到符合要求的边和角。
(2) 要得到$∠ CDE=∠ BAC$且$DE=AB$，可构造$△ CDE ≌ △ CAB$：以C为圆心，AC长为半径画弧，交AC延长线得点D；再以C为圆心BC长为半径画弧，交直线BC得点E，即可满足全等条件，得到符合要求的边和角。
【解析】
感悟证明
$\because AB = AE$，
$\therefore ∠ B = ∠ E$（等腰三角形两底角相等）。
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE, \\∠ B = ∠ E, \\BC = ED,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ EAD$（全等三角形对应角相等）。
应用作图说明
(1) 利用全等三角形SSS判定的思路作图：以点A为圆心，AB长度为半径画弧，与直线BC的交点记为E；再以点A为圆心，AC长度为半径画弧，与直线BC的交点记为D（D在E左侧），连接AD、AE即可。
(2) 利用全等三角形SAS判定的思路作图：以点C为圆心，AC长度为半径画弧，与AC延长线的交点记为D；再以点C为圆心，BC长度为半径画弧，与直线BC的交点记为E，连接DE即可。
【答案】
8 感悟 证明:
∵ AB = AE,
∴ ∠B = ∠E.
在△ABC和△AED中
$\begin{cases}AB = AE, \\∠B = ∠E, \\BC = ED,\end{cases}$
∴ △ABC≌△AED,
∴ ∠BAC = ∠EAD.
应用 解:(1)解题思路:以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点E,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点D,连接AD,AE.如图1所示.
(2)解题思路:以点C为圆心,AC的长为半径画弧,交AC的延长线于一点,该点为点D,以点C为圆心,BC的长为半径画弧,交直线BC于一点,该点为点E,连接DE.如图2所示.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；尺规作图
【点评】
本题由基础证明和实践作图两部分组成，先通过等腰三角形性质、全等判定完成逻辑推导，再将全等判定的思路迁移到尺规作图中，既考察了几何证明的逻辑能力，也考察了作图实践能力，是典型的基础几何综合题。
【难度系数】
0.7

9. [2024牡丹江中考节选]数学老师在课堂上给出了一个问题,让同学们探究.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ BAC=30°$,点$D$在直线$BC$上,将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60°$得到线段$AE$,过点$E$作$EF// BC$,交直线$AB$于点$F$.

(1)当点$D$在线段$BC$上时,如图1,求证:
$BD + EF = AB$.
分析问题:某同学在思考这道题时,想利用$AD=AE$构造全等三角形,便尝试着在$AB$上截取$AM=EF$,连接$DM$,通过证明两个三角形全等,最终证出结论.
推理证明:写出图1的证明过程.
探究问题
(2)当点$D$在线段$BC$的延长线上时,如图2;当点$D$在线段$CB$的延长线上时,如图3.请直接写出线段$BD,EF,AB$之间的数量关系.

9 (1)证明:在AB上截取AM = EF,连接DM.
在Rt△ABC中,∠B = 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.
∵ EF//BC,
∴ ∠EFB = ∠B = 60°.
又
∵ ∠EAD = 60°,
∴ ∠EFB = ∠EAD.
又
∵ ∠BAD = ∠EAD - ∠EAF, ∠AEF = ∠EFB - ∠EAF,
∴ ∠BAD = ∠AEF.
又
∵ AD = AE, AM = EF,
∴ △DAM≌△AEF(SAS),
∴ DM = AF, ∠AMD = ∠EFA = 180° - ∠EFB = 180° - 60° = 120°,
∴ ∠BMD = 180° - ∠AMD = 180° - 120° = 60°.
又
∵ ∠B = 60°,
∴ ∠BMD = ∠B = ∠BDM,
∴ △BMD是等边三角形,
∴ BD = BM = DM.
∵ BM + AM = AB,
∴ BD + EF = AB.
(2)解:当点D在线段BC的延长线上时,AB = BD - EF;
当点D在线段CB的延长线上时,AB = EF - BD.
如图1,当点D在线段BC的延长线上时,在BD上取点H,使BH = AB,连接AH并延长至点G,使AG = AF,连接DG.
∵ ∠ABC = 60°,
∴ △ABH是等边三角形,
∴ ∠AHB = ∠BAH = 60°.
∵ 线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴ ∠DAE = 60°, AE = AD,
∴ ∠BAH = ∠DAE,
∴ ∠BAH - ∠EAH = ∠DAE - ∠EAH,即∠BAE = ∠HAD.
又
∵ AF = AG,
∴ △FAE≌△GAD(SAS),
∴ EF = DG, ∠F = ∠G.
∵ BD//EF,
∴ ∠ABC = ∠F = ∠G = 60°.
∵ ∠DHG = ∠AHB = 60°,
∴ △DHG是等边三角形,
∴ DH = DG = EF,
∴ AB = BH = BD - DH = BD - EF.
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,在EF上取点H,使AH = AF.
∵ EF//BC,
∴ ∠F = ∠ABC = 60°.
∵ AH = AF,
∴ △AHF是等边三角形,
∴ AH = FH, ∠AHF = ∠HAF = 60°,
∴ ∠AHE = 120°.
∵ 将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,
∴ AD = AE, ∠DAE = 60°,
∴ ∠DAB + ∠EAH = 180° - ∠EAD - ∠HAF = 60°.
∵ ∠D + ∠DAB = ∠ABC = 60°,
∴ ∠D = ∠EAH.
又
∵ ∠DBA = 180° - ∠ABC = 120° = ∠EHA, AD = AE,
∴ △ADB≌△EAH(AAS),
∴ BD = AH, AB = EH.
∵ AH = FH,
∴ BD = FH,
∴ AB = EH = EF - FH = EF - BD.

【分析】
(1) 要证明$BD+EF=AB$，可采用截长补短法，题目已提示在$AB$上截取$AM=EF$，只需再证明$BD=BM$即可。首先结合$30°$直角三角形的性质、平行线的性质、旋转的性质推导角相等，证明$△ DAM ≌ △ AEF$，得到对应角相等后推出$△ BMD$是等边三角形，得到$BD=BM$，最后通过$AB=BM+AM$等量代换即可得证。
(2) 当点$D$位置变化时，类比第(1)问的思路，通过构造等边三角形和全等三角形，结合平行线性质推导角的关系，根据线段的和差关系即可得到不同位置下$BD$、$EF$、$AB$的数量关系，注意分类讨论点$D$在$BC$延长线和$CB$延长线两种情况。
【解析】
(1) 证明：在$AB$上截取$AM = EF$，连接$DM$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 30° = 60°$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ EFB = ∠ B = 60°$。
又$\because ∠ EAD = 60°$，
$\therefore ∠ EFB = ∠ EAD$。
$\because ∠ BAD = ∠ EAD - ∠ EAF$，$∠ AEF = ∠ EFB - ∠ EAF$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ AEF$。
又$\because AD = AE$，$AM = EF$，
$\therefore △ DAM≌△ AEF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DM = AF$，$∠ AMD = ∠ EFA = 180° - ∠ EFB = 180° - 60° = 120°$，
$\therefore ∠ BMD = 180° - ∠ AMD = 180° - 120° = 60°$。
又$\because ∠ B = 60°$，
$\therefore ∠ BMD = ∠ B = ∠ BDM$，
$\therefore △ BMD$是等边三角形，
$\therefore BD = BM = DM$。
$\because BM + AM = AB$，
$\therefore BD + EF = AB$。
(2) 当点$D$在线段$BC$的延长线上时：
在$BD$上取点$H$，使$BH = AB$，连接$AH$并延长至点$G$，使$AG = AF$，连接$DG$。
$\because ∠ ABC = 60°$，
$\therefore △ ABH$是等边三角形，
$\therefore ∠ AHB = ∠ BAH = 60°$。
$\because$ 线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60°$得到线段$AE$，
$\therefore ∠ DAE = 60°$，$AE = AD$，
$\therefore ∠ BAH = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAH - ∠ EAH = ∠ DAE - ∠ EAH$，即$∠ BAE = ∠ HAD$。
又$\because AF = AG$，
$\therefore △ FAE≌△ GAD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF = DG$，$∠ F = ∠ G$。
$\because BD// EF$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ F = ∠ G = 60°$。
$\because ∠ DHG = ∠ AHB = 60°$，
$\therefore △ DHG$是等边三角形，
$\therefore DH = DG = EF$，
$\therefore AB = BH = BD - DH = BD - EF$。
当点$D$在线段$CB$的延长线上时：
在$EF$上取点$H$，使$AH = AF$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ F = ∠ ABC = 60°$。
$\because AH = AF$，
$\therefore △ AHF$是等边三角形，
$\therefore AH = FH$，$∠ AHF = ∠ HAF = 60°$，
$\therefore ∠ AHE = 120°$。
$\because$ 将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60°$得到线段$AE$，
$\therefore AD = AE$，$∠ DAE = 60°$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ EAH = 180° - ∠ EAD - ∠ HAF = 60°$。
$\because ∠ D + ∠ DAB = ∠ ABC = 60°$，
$\therefore ∠ D = ∠ EAH$。
又$\because ∠ DBA = 180° - ∠ ABC = 120° = ∠ EHA$，$AD = AE$，
$\therefore △ ADB≌△ EAH(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BD = AH$，$AB = EH$。
$\because AH = FH$，
$\therefore BD = FH$，
$\therefore AB = EH = EF - FH = EF - BD$。
【答案】
(1) 可证$\boldsymbol{BD + EF = AB}$，证明过程见解析；
(2) 点$D$在线段$BC$延长线上时：$\boldsymbol{AB = BD - EF}$；点$D$在线段$CB$延长线上时：$\boldsymbol{AB = EF - BD}$。


【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以旋转变换为背景，综合考查了直角三角形性质、平行线性质、全等及等边三角形的判定与性质，解题核心是掌握截长补短的辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段转化，同时要注意分类讨论点D的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6