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[2026无锡湖滨中学月考]请根据以下素材,完成探究任务.
背景材料
背景1:中国西汉时期(公元前2世纪),《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射,实现了视野的扩展,被视为早期光学探索的重要实践.
背景2:古希腊数学家海伦(公元1世纪)在《反射光学》中通过几何方法证明,光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律,且该路径为几何最短距离.17世纪,法国数学家费马提出费马原理,指出光在传播时总是选择耗时最短的路径(在均匀介质中即路径最短),从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论,并将最短路径思想推广至折射等领域.
任务1:
证明反射路径最短
(1)如图1,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对称点C',连接C'D,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.求证:CE + DE最短.请在横线上填写内容.
如图1,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E',连接DE',CE',C'E'.
在△C'DE'中,C'E' + DE' ＞ C'D( 三角形两边之和大于第三边 ).
∵实物C与点C'关于平面镜AB对称,
∴AB垂直平分CC',
∴CE =
∵C'D = C'E + DE,C'E' + DE' ＞ C'D,
∴CE' + DE' ＞ CE + DE.
任务2:
确定挡板反射范围
(2)如图2,若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图)
任务3:
计算最短
(3)如图3,一面镜子OA斜固定在地面OB上,且∠AOB = 60°,点P为距离地面OB 8 cm的一个光源,光线射出后,经过镜面D处反射到地面E点,当光线经过的路径长最短为10 cm时,PD的长为
背景材料
背景1:中国西汉时期(公元前2世纪),《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣.”这一装置利用平面镜与水面的组合反射,实现了视野的扩展,被视为早期光学探索的重要实践.
背景2:古希腊数学家海伦(公元1世纪)在《反射光学》中通过几何方法证明,光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律,且该路径为几何最短距离.17世纪,法国数学家费马提出费马原理,指出光在传播时总是选择耗时最短的路径(在均匀介质中即路径最短),从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论,并将最短路径思想推广至折射等领域.
任务1:
证明反射路径最短
(1)如图1,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛,作实物C关于平面镜AB的对称点C',连接C'D,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.求证:CE + DE最短.请在横线上填写内容.
如图1,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E',连接DE',CE',C'E'.
在△C'DE'中,C'E' + DE' ＞ C'D( 三角形两边之和大于第三边 ).
∵实物C与点C'关于平面镜AB对称,
∴AB垂直平分CC',
∴CE =
C'E
,CE' = C'E'( 轴对称的性质 ).∵C'D = C'E + DE,C'E' + DE' ＞ C'D,
∴CE' + DE' ＞ CE + DE.
任务2:
确定挡板反射范围
(2)如图2,若从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上,试确定反射光线在EF上的最高点P和最低点Q.(简单说明作图)
任务3:
计算最短
(3)如图3,一面镜子OA斜固定在地面OB上,且∠AOB = 60°,点P为距离地面OB 8 cm的一个光源,光线射出后,经过镜面D处反射到地面E点,当光线经过的路径长最短为10 cm时,PD的长为
4
cm.答案
解:(1)三角形的任意两边之和大于第三边 C'E 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2)如图1,作点A关于I的对称点A',连接A'B,A'C,并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求.
(3)4
如图2,过点P作OA的对称点P',过点P'作P'E⊥OB于点E,交OA于点D,则P'E = P'D + DE = PD + DE = 10 cm. 过点P作PF⊥P'D于点F.
∵ PC = 8 cm,
∴ EF = PC = 8 cm,
∴ P'F = P'E - EF = 10 - 8 = 2(cm).
∵ 光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
∴ ∠ADP = ∠ODE = 90° - 60° = 30°. 又
∵ ∠ODE = ∠ADP' = 30°,
∴ ∠PDP' = 60°,
∴ △PDP'是等边三角形,
∴ P'F = DF = 2 cm,
∴ PD = P'D = 4 cm.
解析
【分析】
(1) 本小问证明反射路径最短，核心思路是通过轴对称将入射光线路径转化为对称点到入射点的长度，再结合三角形三边关系比较路径长度：首先利用轴对称性质，将CE、CE'分别转化为对称点C'到E、E'的长度，把待证最短的CE+DE转化为线段C'D的长度，再用三角形两边之和大于第三边的性质，即可证明任意其他路径都比该路径长。
(2) 本小问确定反射光线的边界，核心利用“反射光线的反向延长线经过物体关于平面镜的虚像”的规律：先作A关于平面镜I的对称点A'，所有经I反射的光线的反向延长线都过A'，要穿过空隙BC，两条边界就是A'分别连接B、C后延长到EF的交点，对应EF上的最高点P和最低点Q。
(3) 本小问计算最短路径下PD的长度，首先根据最短路径原理，作P关于OA的对称点P'，将PD+DE转化为P'D+DE，最短路径就是P'到OB的垂线段长度；再结合∠AOB=60°推导角度关系，得到△PDP'是等边三角形，结合已知长度即可算出PD。
【解析】
(1) 在△C'DE'中，C'E' + DE' ＞ C'D，依据是三角形任意两边之和大于第三边；
因为C与C'关于平面镜AB对称，所以AB垂直平分CC'，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得CE = C'E，CE' = C'E'；
结合C'D = C'E + DE，代入得CE' + DE' = C'E' + DE' ＞ C'D = CE + DE，即CE+DE为最短路径。
(2) 作图步骤：①作点A关于平面镜I的对称点A'；②分别连接A'B、A'C并延长，两条延长线与EF的交点分别为Q、P，P就是反射光线在EF上的最高点，Q就是最低点。
(3) 过点P作OA的对称点P'，过点P'作P'E⊥OB于点E，交OA于点D，此时路径PD+DE最短，即P'E = PD+DE = 10cm。
过点P作PC⊥OB于C，PF⊥P'E于F，可知四边形PCEF是矩形，因此EF=PC=8cm。
则P'F = P'E - EF = 10 - 8 = 2cm。
根据反射规律∠ADP=∠ODE，因为∠AOB=60°，∠DEO=90°，所以∠ODE=90°-60°=30°，即∠ADP=∠ADP'=30°，因此∠PDP'=∠ADP+∠ADP'=60°，又PD=P'D，所以△PDP'是等边三角形。
PF是等边三角形PDP'的高，平分P'D，即P'F=DF=2cm，因此P'D=2×2=4cm，即PD=4cm。
【答案】
(1) 三角形任意两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作点A关于I的对称点A',连接A'B,A'C,并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求。
(3) 4
如图,过点P作OA的对称点P',过点P'作P'E⊥OB于点E,交OA于点D,则P'E = P'D + DE = PD + DE = 10 cm. 过点P作PF⊥P'D于点F.
∵ PC = 8 cm,
∴ EF = PC = 8 cm,
∴ P'F = P'E - EF = 10 - 8 = 2(cm).
∵ 光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
∴ ∠ADP = ∠ODE = 90° - 60° = 30°. 又
∵ ∠ODE = ∠ADP' = 30°,
∴ ∠PDP' = 60°,
∴ △PDP'是等边三角形,
∴ P'F = DF = 2 cm,
∴ PD = P'D = 4 cm.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合古代光学探索的历史背景，将物理光的反射规律与数学轴对称、最短路径、几何计算知识融合，既考查基础几何性质的应用，也考查作图能力和综合分析能力，体现了跨学科知识结合的思想，能有效提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 本小问证明反射路径最短，核心思路是通过轴对称将入射光线路径转化为对称点到入射点的长度，再结合三角形三边关系比较路径长度：首先利用轴对称性质，将CE、CE'分别转化为对称点C'到E、E'的长度，把待证最短的CE+DE转化为线段C'D的长度，再用三角形两边之和大于第三边的性质，即可证明任意其他路径都比该路径长。
(2) 本小问确定反射光线的边界，核心利用“反射光线的反向延长线经过物体关于平面镜的虚像”的规律：先作A关于平面镜I的对称点A'，所有经I反射的光线的反向延长线都过A'，要穿过空隙BC，两条边界就是A'分别连接B、C后延长到EF的交点，对应EF上的最高点P和最低点Q。
(3) 本小问计算最短路径下PD的长度，首先根据最短路径原理，作P关于OA的对称点P'，将PD+DE转化为P'D+DE，最短路径就是P'到OB的垂线段长度；再结合∠AOB=60°推导角度关系，得到△PDP'是等边三角形，结合已知长度即可算出PD。
【解析】
(1) 在△C'DE'中，C'E' + DE' ＞ C'D，依据是三角形任意两边之和大于第三边；
因为C与C'关于平面镜AB对称，所以AB垂直平分CC'，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得CE = C'E，CE' = C'E'；
结合C'D = C'E + DE，代入得CE' + DE' = C'E' + DE' ＞ C'D = CE + DE，即CE+DE为最短路径。
(2) 作图步骤：①作点A关于平面镜I的对称点A'；②分别连接A'B、A'C并延长，两条延长线与EF的交点分别为Q、P，P就是反射光线在EF上的最高点，Q就是最低点。
(3) 过点P作OA的对称点P'，过点P'作P'E⊥OB于点E，交OA于点D，此时路径PD+DE最短，即P'E = PD+DE = 10cm。
过点P作PC⊥OB于C，PF⊥P'E于F，可知四边形PCEF是矩形，因此EF=PC=8cm。
则P'F = P'E - EF = 10 - 8 = 2cm。
根据反射规律∠ADP=∠ODE，因为∠AOB=60°，∠DEO=90°，所以∠ODE=90°-60°=30°，即∠ADP=∠ADP'=30°，因此∠PDP'=∠ADP+∠ADP'=60°，又PD=P'D，所以△PDP'是等边三角形。
PF是等边三角形PDP'的高，平分P'D，即P'F=DF=2cm，因此P'D=2×2=4cm，即PD=4cm。
【答案】
(1) 三角形任意两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
(2) 作点A关于I的对称点A',连接A'B,A'C,并延长,分别交EF于点Q,P,则点P和点Q即为所求。
(3) 4
如图,过点P作OA的对称点P',过点P'作P'E⊥OB于点E,交OA于点D,则P'E = P'D + DE = PD + DE = 10 cm. 过点P作PF⊥P'D于点F.
∵ PC = 8 cm,
∴ EF = PC = 8 cm,
∴ P'F = P'E - EF = 10 - 8 = 2(cm).
∵ 光线射出经过镜面D处反射到地面E点,
∴ ∠ADP = ∠ODE = 90° - 60° = 30°. 又
∵ ∠ODE = ∠ADP' = 30°,
∴ ∠PDP' = 60°,
∴ △PDP'是等边三角形,
∴ P'F = DF = 2 cm,
∴ PD = P'D = 4 cm.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题结合古代光学探索的历史背景，将物理光的反射规律与数学轴对称、最短路径、几何计算知识融合，既考查基础几何性质的应用，也考查作图能力和综合分析能力，体现了跨学科知识结合的思想，能有效提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
