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1 下列各事件中,是不可能事件的是(
A.一个数和它的相反数之和等于$\frac{1}{2}$
B.一个有理数的绝对值是1
C.掷一枚骰子点数是1
D.一个角和它的补角的和是$180°$
A
)。A.一个数和它的相反数之和等于$\frac{1}{2}$
B.一个有理数的绝对值是1
C.掷一枚骰子点数是1
D.一个角和它的补角的和是$180°$
答案
1.A
解析
【分析】
首先明确不可能事件的定义：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件。解题时先逐个分析每个选项对应的事件是否可能发生，结合对应数学知识点判断各选项事件发生的可能性，再筛选出不可能发生的事件即可。
【解析】
先明确事件分类的相关概念：必然会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，必然不会发生的是不可能事件。
对各选项逐一分析：
A. 任意实数的相反数与它本身的和为0，不可能等于$\frac{1}{2}$，该事件必然不会发生，属于不可能事件；
B. 有理数1和-1的绝对值都是1，该事件可能发生，属于随机事件；
C. 骰子的点数包含1，掷一枚骰子有可能得到点数1，属于随机事件；
D. 根据补角的定义，互为补角的两个角的和为$180°$，该事件必然发生，属于必然事件。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
事件的分类；相反数的性质；补角的定义
【点评】
本题考查不同类型事件的区分，解题时需要结合相反数、绝对值、补角等基础知识点判断事件发生的可能性，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
首先明确不可能事件的定义：在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件。解题时先逐个分析每个选项对应的事件是否可能发生，结合对应数学知识点判断各选项事件发生的可能性，再筛选出不可能发生的事件即可。
【解析】
先明确事件分类的相关概念：必然会发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，必然不会发生的是不可能事件。
对各选项逐一分析：
A. 任意实数的相反数与它本身的和为0，不可能等于$\frac{1}{2}$，该事件必然不会发生，属于不可能事件；
B. 有理数1和-1的绝对值都是1，该事件可能发生，属于随机事件；
C. 骰子的点数包含1，掷一枚骰子有可能得到点数1，属于随机事件；
D. 根据补角的定义，互为补角的两个角的和为$180°$，该事件必然发生，属于必然事件。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
事件的分类；相反数的性质；补角的定义
【点评】
本题考查不同类型事件的区分，解题时需要结合相反数、绝对值、补角等基础知识点判断事件发生的可能性，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
2 在下列各事件中,发生的可能性最大的是(
A.任意买一张电影票,座位号是奇数
B.掷一枚骰子点数小于等于2
C.有10000张彩票,其中100张是获奖彩票,从中抽一张就得奖
D.一个袋子中有10个红球、20个白球,从中摸出一个是白球
D
)。A.任意买一张电影票,座位号是奇数
B.掷一枚骰子点数小于等于2
C.有10000张彩票,其中100张是获奖彩票,从中抽一张就得奖
D.一个袋子中有10个红球、20个白球,从中摸出一个是白球
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个事件发生的可能性最大，本质是比较四个随机事件的概率大小，解题思路为：先根据每个选项的具体条件，分别计算对应事件发生的概率，再对四个概率值进行大小比较，概率最大的即为正确选项。
【解析】
我们分别计算四个选项对应事件的概率：
A选项：任意买一张电影票，座位号只有奇数和偶数两种等可能结果，是奇数的概率为$\frac{1}{2}=0.5$；
B选项：掷一枚骰子，总共有1、2、3、4、5、6共6种等可能结果，点数小于等于2的有1、2两种结果，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.33$；
C选项：10000张彩票里抽1张，总共有10000种等可能结果，中奖的结果有100种，概率为$\frac{100}{10000}=0.01$；
D选项：袋子中共有$10+20=30$个球，摸出1个球共有30种等可能结果，摸出白球的结果有20种，概率为$\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\approx0.67$。
比较四个概率大小：$\frac{2}{3}＞0.5＞\frac{1}{3}＞0.01$，因此D选项事件发生的可能性最大。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率计算，可能性大小比较
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对概率含义的理解和简单概率的计算，只要熟练掌握概率的计算公式，准确计算每个事件的概率后比较大小，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.85
要判断哪个事件发生的可能性最大，本质是比较四个随机事件的概率大小，解题思路为：先根据每个选项的具体条件，分别计算对应事件发生的概率，再对四个概率值进行大小比较，概率最大的即为正确选项。
【解析】
我们分别计算四个选项对应事件的概率：
A选项：任意买一张电影票，座位号只有奇数和偶数两种等可能结果，是奇数的概率为$\frac{1}{2}=0.5$；
B选项：掷一枚骰子，总共有1、2、3、4、5、6共6种等可能结果，点数小于等于2的有1、2两种结果，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.33$；
C选项：10000张彩票里抽1张，总共有10000种等可能结果，中奖的结果有100种，概率为$\frac{100}{10000}=0.01$；
D选项：袋子中共有$10+20=30$个球，摸出1个球共有30种等可能结果，摸出白球的结果有20种，概率为$\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\approx0.67$。
比较四个概率大小：$\frac{2}{3}＞0.5＞\frac{1}{3}＞0.01$，因此D选项事件发生的可能性最大。
【答案】
D
【知识点】
简单事件概率计算，可能性大小比较
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查对概率含义的理解和简单概率的计算，只要熟练掌握概率的计算公式，准确计算每个事件的概率后比较大小，即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.85
3 如图①所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（
A.$2\ \mathrm{m}^2$
B.$5\ \mathrm{m}^2$
C.$6\ \mathrm{m}^2$
D.$7\ \mathrm{m}^2$
C
）。A.$2\ \mathrm{m}^2$
B.$5\ \mathrm{m}^2$
C.$6\ \mathrm{m}^2$
D.$7\ \mathrm{m}^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题属于利用频率估计概率求解不规则图形面积的问题，解题思路可按以下步骤展开：1.先计算围住不规则图案的长方形总面积，几何概率中，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形总面积的比值；2.观察折线统计图，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个固定值附近，这个值就是小球落在不规则图案内的概率；3.最后利用“不规则图案面积=长方形总面积×对应概率”即可算出结果。
【解析】
首先计算长方形的总面积：
已知长方形长为5m，宽为4m，因此长方形面积$S_{\mathrm{长方形}}=5×4=20\ \mathrm{m}^2$。
观察折线统计图可发现，随着试验次数增加，小球落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3左右，根据频率估计概率的知识，可得小球落在不规则图案内的概率约为0.3。
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率公式：$P(\mathrm{落在不规则图案内})=\frac{S}{S_{\mathrm{长方形}}}$，代入数据得：
$0.3=\frac{S}{20}$
解得$S=20×0.3=6\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的应用，解题核心是理解大量重复试验中频率的稳定值即为概率，再结合面积比与概率的对应关系就能快速求解，属于知识应用类的基础题。
【难度系数】
0.7
本题属于利用频率估计概率求解不规则图形面积的问题，解题思路可按以下步骤展开：1.先计算围住不规则图案的长方形总面积，几何概率中，小球落在不规则图案内的概率等于不规则图案面积与长方形总面积的比值；2.观察折线统计图，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个固定值附近，这个值就是小球落在不规则图案内的概率；3.最后利用“不规则图案面积=长方形总面积×对应概率”即可算出结果。
【解析】
首先计算长方形的总面积：
已知长方形长为5m，宽为4m，因此长方形面积$S_{\mathrm{长方形}}=5×4=20\ \mathrm{m}^2$。
观察折线统计图可发现，随着试验次数增加，小球落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3左右，根据频率估计概率的知识，可得小球落在不规则图案内的概率约为0.3。
设不规则图案的面积为$S$，根据几何概率公式：$P(\mathrm{落在不规则图案内})=\frac{S}{S_{\mathrm{长方形}}}$，代入数据得：
$0.3=\frac{S}{20}$
解得$S=20×0.3=6\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的应用，解题核心是理解大量重复试验中频率的稳定值即为概率，再结合面积比与概率的对应关系就能快速求解，属于知识应用类的基础题。
【难度系数】
0.7
④ 某市有6名教师志愿到甲、乙、丙三个镇支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为(
A.$\frac{20}{81}$
B.$\frac{10}{81}$
C.$\frac{5}{243}$
D.$\frac{10}{243}$
B
)。A.$\frac{20}{81}$
B.$\frac{10}{81}$
C.$\frac{5}{243}$
D.$\frac{10}{243}$
答案
4.B
解析
【分析】
这是古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先计算6名教师到三个镇支教的所有可能分配情况总数，再计算满足“恰好一镇去4名，另两镇各去1名”的分配情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。计算总数时，依据每人都有3种选择，用乘方即可得到总情况数；计算符合条件的情况数时，分三步计数：第一步选接收4人的镇，第二步选4名教师去该乡镇，第三步将剩余2人分配到另外两个镇各1人，用分步乘法计数原理相乘即可得到符合条件的总情况数。
【解析】
解：1. 计算总分配情况数：
每名教师都有甲、乙、丙3个镇可选，6名教师的总分配方案数为 $3^6 = 729$ 种。
2. 计算符合条件的分配方案数：
① 先从3个镇中选1个接收4名教师，共有 $\mathrm{C}_3^1=3$ 种选法；
② 从6名教师中选出4名去上述选定的镇，共有 $\mathrm{C}_6^4=15$ 种选法；
③ 剩余2名教师分配到剩下的2个镇，每个镇1名，共有 $\mathrm{A}_2^2=2$ 种分配方法。
根据分步乘法计数原理，符合条件的分配方案总数为 $3 × 15 × 2 = 90$ 种。
3. 计算概率：
所求概率 $P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{90}{729} = \frac{10}{81}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，排列组合应用
【点评】
本题属于概率基础题，核心是准确计数，解题时要注意分步计数时不重复不遗漏，区分组合（选4名教师无顺序要求）和排列（剩余2人分配到不同镇有顺序要求）的适用场景。
【难度系数】
0.6
这是古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先计算6名教师到三个镇支教的所有可能分配情况总数，再计算满足“恰好一镇去4名，另两镇各去1名”的分配情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到所求概率。计算总数时，依据每人都有3种选择，用乘方即可得到总情况数；计算符合条件的情况数时，分三步计数：第一步选接收4人的镇，第二步选4名教师去该乡镇，第三步将剩余2人分配到另外两个镇各1人，用分步乘法计数原理相乘即可得到符合条件的总情况数。
【解析】
解：1. 计算总分配情况数：
每名教师都有甲、乙、丙3个镇可选，6名教师的总分配方案数为 $3^6 = 729$ 种。
2. 计算符合条件的分配方案数：
① 先从3个镇中选1个接收4名教师，共有 $\mathrm{C}_3^1=3$ 种选法；
② 从6名教师中选出4名去上述选定的镇，共有 $\mathrm{C}_6^4=15$ 种选法；
③ 剩余2名教师分配到剩下的2个镇，每个镇1名，共有 $\mathrm{A}_2^2=2$ 种分配方法。
根据分步乘法计数原理，符合条件的分配方案总数为 $3 × 15 × 2 = 90$ 种。
3. 计算概率：
所求概率 $P = \frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}} = \frac{90}{729} = \frac{10}{81}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，排列组合应用
【点评】
本题属于概率基础题，核心是准确计数，解题时要注意分步计数时不重复不遗漏，区分组合（选4名教师无顺序要求）和排列（剩余2人分配到不同镇有顺序要求）的适用场景。
【难度系数】
0.6
5 甲、乙、丙、丁四人互相给其他的三人之一写信，选择每个对象的可能性是相等的。则存在两个人收到对方的信的概率为(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{17}{27}$
D.$\frac{55}{81}$
C
)。A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{17}{27}$
D.$\frac{55}{81}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，我们可以通过分类讨论计算符合条件的情况数，再除以总情况数得到概率。首先先确定所有等可能的寄信总情况数，再将“存在两个人收到对方的信”分为“恰好1对互寄”和“恰好2对互寄”两类互斥的情况，分别计算每类的情况数后求和，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果，也可以通过计算对立事件的概率简化运算。
【解析】
首先计算总寄信情况数：每个人都可以给另外3人中的任意1人写信，共4人，因此总共有$3×3×3×3=3^4=81$种等可能的情况。
接下来分两类计算“存在两个人收到对方的信”的情况数：
1. 恰好2对人互相寄信：将4人分成2组，每组2人，每组内两人互相给对方写信。分组方法共有$\frac{4×3}{2×2}=3$种，即这类情况共3种。
2. 恰好1对人互相寄信：先从4人中选出2人作为互寄对，选法有$\frac{4×3}{2}=6$种；剩下的2人写信时，仅需避免两人互相寄信即可（已选的互寄对不会和其他人形成新的互寄），两人各有3种选择，减去两人互相寄信的1种不符合要求的情况，共$3×3-1=8$种情况，因此这类情况共有$6×8=48$种。
符合条件的总情况数为$3+48=51$种，因此所求概率为$\frac{51}{81}=\frac{17}{27}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分类计数原理，概率计算
【点评】
本题考查古典概型的实际应用，采用分类讨论的思路可以有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，解题时也可通过计算“不存在任何两人互寄”的对立事件概率来求解，能进一步简化运算过程。
【难度系数】
0.6
这是一道古典概型的概率计算题，我们可以通过分类讨论计算符合条件的情况数，再除以总情况数得到概率。首先先确定所有等可能的寄信总情况数，再将“存在两个人收到对方的信”分为“恰好1对互寄”和“恰好2对互寄”两类互斥的情况，分别计算每类的情况数后求和，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果，也可以通过计算对立事件的概率简化运算。
【解析】
首先计算总寄信情况数：每个人都可以给另外3人中的任意1人写信，共4人，因此总共有$3×3×3×3=3^4=81$种等可能的情况。
接下来分两类计算“存在两个人收到对方的信”的情况数：
1. 恰好2对人互相寄信：将4人分成2组，每组2人，每组内两人互相给对方写信。分组方法共有$\frac{4×3}{2×2}=3$种，即这类情况共3种。
2. 恰好1对人互相寄信：先从4人中选出2人作为互寄对，选法有$\frac{4×3}{2}=6$种；剩下的2人写信时，仅需避免两人互相寄信即可（已选的互寄对不会和其他人形成新的互寄），两人各有3种选择，减去两人互相寄信的1种不符合要求的情况，共$3×3-1=8$种情况，因此这类情况共有$6×8=48$种。
符合条件的总情况数为$3+48=51$种，因此所求概率为$\frac{51}{81}=\frac{17}{27}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分类计数原理，概率计算
【点评】
本题考查古典概型的实际应用，采用分类讨论的思路可以有效避免计数时出现重复或遗漏的问题，解题时也可通过计算“不存在任何两人互寄”的对立事件概率来求解，能进一步简化运算过程。
【难度系数】
0.6
