登录
6 有10张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1~10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片a、b、c，则这三张卡片a、b、c的数字正好是直角三角形的三边长的概率是(
A.$\frac{1}{120}$
B.$\frac{1}{60}$
C.$\frac{1}{45}$
D.$\frac{1}{72}$
B
)。A.$\frac{1}{120}$
B.$\frac{1}{60}$
C.$\frac{1}{45}$
D.$\frac{1}{72}$
答案
6.B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分三步：首先明确概率计算公式为“符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”；其次分别计算总结果数和符合要求的结果数：总结果数可通过分步计数原理或组合计数求出从10张卡片中抽3张的所有情况；再结合勾股定理逆定理，找出1~10中能构成直角三角形三边长的正整数组（勾股数），统计其对应的结果数；最后代入公式计算概率即可。注意计数时分子和分母的计数标准要统一，要么都按有序排列计数，要么都按无序组合计数。
【解析】
解：方法一：按有序排列计数
1. 计算总结果数：从10张卡片中随机抽取3张分别为a、b、c，第一张有10种选择，第二张有9种选择，第三张有8种选择，总共有$10×9×8=720$种等可能的情况。
2. 计算符合条件的结果数：根据勾股定理逆定理，1~10中满足$a^2+b^2=c^2$的正整数组有两组：$\{3,4,5\}$和$\{6,8,10\}$，每组3个数的排列有$3×2×1=6$种，因此符合条件的结果共有$2×6=12$种。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{12}{720}=\frac{1}{60}$。
方法二：按无序组合计数
1. 计算总结果数：从10张卡片中任取3张，不考虑顺序，总共有$C_{10}^3=\frac{10×9×8}{3×2×1}=120$种等可能的组合。
2. 计算符合条件的结果数：1~10中能构成直角三角形三边长的组合只有$\{3,4,5\}$和$\{6,8,10\}$两组，共2种。
3. 计算概率：$P=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 勾股定理逆定理
3. 计数原理
【点评】
本题是概率与几何知识的结合题，解题核心是准确识别1~10中的勾股数组，同时计数时要保证分子、分母的计数规则一致，避免因计数标准不统一导致错误。
【难度系数】
0.6
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路分三步：首先明确概率计算公式为“符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”；其次分别计算总结果数和符合要求的结果数：总结果数可通过分步计数原理或组合计数求出从10张卡片中抽3张的所有情况；再结合勾股定理逆定理，找出1~10中能构成直角三角形三边长的正整数组（勾股数），统计其对应的结果数；最后代入公式计算概率即可。注意计数时分子和分母的计数标准要统一，要么都按有序排列计数，要么都按无序组合计数。
【解析】
解：方法一：按有序排列计数
1. 计算总结果数：从10张卡片中随机抽取3张分别为a、b、c，第一张有10种选择，第二张有9种选择，第三张有8种选择，总共有$10×9×8=720$种等可能的情况。
2. 计算符合条件的结果数：根据勾股定理逆定理，1~10中满足$a^2+b^2=c^2$的正整数组有两组：$\{3,4,5\}$和$\{6,8,10\}$，每组3个数的排列有$3×2×1=6$种，因此符合条件的结果共有$2×6=12$种。
3. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{12}{720}=\frac{1}{60}$。
方法二：按无序组合计数
1. 计算总结果数：从10张卡片中任取3张，不考虑顺序，总共有$C_{10}^3=\frac{10×9×8}{3×2×1}=120$种等可能的组合。
2. 计算符合条件的结果数：1~10中能构成直角三角形三边长的组合只有$\{3,4,5\}$和$\{6,8,10\}$两组，共2种。
3. 计算概率：$P=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 勾股定理逆定理
3. 计数原理
【点评】
本题是概率与几何知识的结合题，解题核心是准确识别1~10中的勾股数组，同时计数时要保证分子、分母的计数规则一致，避免因计数标准不统一导致错误。
【难度系数】
0.6
7 如果事件A是“上学时，在路上遇到本班的班主任老师”，事件B是“上学时，在路上遇到本班的同学”，那么$P(A)$
＜
$P(B)$。(填“＞”“＜”或“=”)答案
7.$＜$
解析
【分析】
要比较两个随机事件的概率大小，首先明确概率是反映随机事件发生可能性大小的量，事件发生的可能性越大，对应的概率就越大。接下来结合生活实际分析两个事件发生的可能性：一个班级中班主任仅有1名，而本班同学的人数远多于1人，因此上学时在路上遇到本班同学的可能性比遇到班主任的可能性大，据此即可判断两个概率的大小关系。
【解析】
随机事件的概率表示事件发生的可能性大小，可能性越大，概率越高。
事件A为遇到本班班主任，本班班主任仅有1人；事件B为遇到本班同学，本班同学人数远大于1人。因此上学路上遇到本班同学的可能性大于遇到班主任的可能性，可得$P(A) ＜ P(B)$。
【答案】
$＜$
【知识点】
概率的意义；可能性大小判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的基本含义，只需结合实际判断事件发生的可能性大小即可比较概率，难度较低。
【难度系数】
0.9
要比较两个随机事件的概率大小，首先明确概率是反映随机事件发生可能性大小的量，事件发生的可能性越大，对应的概率就越大。接下来结合生活实际分析两个事件发生的可能性：一个班级中班主任仅有1名，而本班同学的人数远多于1人，因此上学时在路上遇到本班同学的可能性比遇到班主任的可能性大，据此即可判断两个概率的大小关系。
【解析】
随机事件的概率表示事件发生的可能性大小，可能性越大，概率越高。
事件A为遇到本班班主任，本班班主任仅有1人；事件B为遇到本班同学，本班同学人数远大于1人。因此上学路上遇到本班同学的可能性大于遇到班主任的可能性，可得$P(A) ＜ P(B)$。
【答案】
$＜$
【知识点】
概率的意义；可能性大小判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率的基本含义，只需结合实际判断事件发生的可能性大小即可比较概率，难度较低。
【难度系数】
0.9
8 有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字2、3、4，第二组卡片上分别写有数字3、4、5，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为
$\frac{2}{3}$
。答案
8.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，因为要从两组卡片各抽1张，第一组有3种抽取可能、第二组有3种抽取可能，总共有3×3=9种等可能结果；第二步逐一计算每组抽取结果的差，筛选出差为负数的结果数；第三步根据概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
从两组卡片中各随机抽取1张，所有等可能的结果共有3×3=9种，分别计算每组抽取数字的差：
1. 第一组抽2时：2-3=-1（负数），2-4=-2（负数），2-5=-3（负数），共3种符合条件的结果；
2. 第一组抽3时：3-3=0（非负数），3-4=-1（负数），3-5=-2（负数），共2种符合条件的结果；
3. 第一组抽4时：4-3=1（非负数），4-4=0（非负数），4-5=-1（负数），共1种符合条件的结果。
差为负数的结果总共有3+2+1=6种，因此差为负数的概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，有理数减法
【点评】
本题是概率基础常考题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的情况代入概率公式求解，解题时要注意“差为负数”指的是差小于0，不要把差为0的情况算入符合条件的结果中。
【难度系数】
0.75
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步先确定所有等可能的抽取结果总数，因为要从两组卡片各抽1张，第一组有3种抽取可能、第二组有3种抽取可能，总共有3×3=9种等可能结果；第二步逐一计算每组抽取结果的差，筛选出差为负数的结果数；第三步根据概率公式“P=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
从两组卡片中各随机抽取1张，所有等可能的结果共有3×3=9种，分别计算每组抽取数字的差：
1. 第一组抽2时：2-3=-1（负数），2-4=-2（负数），2-5=-3（负数），共3种符合条件的结果；
2. 第一组抽3时：3-3=0（非负数），3-4=-1（负数），3-5=-2（负数），共2种符合条件的结果；
3. 第一组抽4时：4-3=1（非负数），4-4=0（非负数），4-5=-1（负数），共1种符合条件的结果。
差为负数的结果总共有3+2+1=6种，因此差为负数的概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率，有理数减法
【点评】
本题是概率基础常考题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再筛选出符合要求的情况代入概率公式求解，解题时要注意“差为负数”指的是差小于0，不要把差为0的情况算入符合条件的结果中。
【难度系数】
0.75
9 某商场开展促销活动，方案如下：在负二楼兑奖区旁放置一个不透明的箱子，箱子里有大小、形状、质地等完全相同的黑、白、红球各一个，顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中黑、白、红三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、20元。商场分上午、下午和晚上三个时间段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果如下：下午摸到黑球次数为上午的3倍，摸到白球次数为上午的2倍，摸到红球次数为上午的4倍；晚上摸到黑球次数与上午相同，摸到白球次数为上午的4倍，摸到红球次数为上午的2倍，三个时间段返现总金额共为5020元，晚上返现金额比上午多840元，则下午返现金额为
2460
元。答案
9.2460
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设未知数表示各时间段摸球次数，结合返现规则和题目给出的两个等量关系列方程求解。首先设上午摸到黑、白、红球的次数分别为x、y、z（均为非负整数），再分别表示出上午、下午、晚上的返现金额，根据“晚上返现金额比上午多840元”和“三个时间段返现总金额共5020元”列方程，最后利用次数为非负整数的隐含条件求出未知数的值，代入计算下午返现金额即可。
【解析】
设上午摸中黑球x次，白球y次，红球z次（x,y,z均为非负整数），根据返现规则：
上午返现金额：$100x + 60y + 20z$ 元
下午摸中黑球3x次，白球2y次，红球4z次，返现金额：$100×3x + 60×2y + 20×4z = 300x + 120y + 80z$ 元
晚上摸中黑球x次，白球4y次，红球2z次，返现金额：$100x + 60×4y + 20×2z = 100x + 240y + 40z$ 元
根据“晚上返现金额比上午多840元”，列方程：
$(100x + 240y + 40z) - (100x + 60y + 20z) = 840$
化简得：$180y + 20z = 840$，两边同除以20得：$9y + z = 42$ ①
根据“三个时间段返现总金额共5020元”，列方程：
$(100x + 60y + 20z) + (300x + 120y + 80z) + (100x + 240y + 40z) = 5020$
化简得：$500x + 420y + 140z = 5020$，两边同除以20得：$25x + 21y + 7z = 251$ ②
将①中$z = 42 - 9y$代入②：
$25x + 21y + 7(42 - 9y) = 251$
展开计算：$25x + 21y + 294 - 63y = 251$
整理得：$25x = 42y - 43$
因为x、y为非负整数，且$z = 42 - 9y ≥ 0$，所以$y ≤ 4$，对y从0到4逐一验证：
y=0：$42×0 -43=-43$，x为负，舍去
y=1：$42-43=-1$，x为负，舍去
y=2：$84-43=41$，41不能被25整除，舍去
y=3：$126-43=83$，83不能被25整除，舍去
y=4：$168-43=125$，$x=125÷25=5$，符合要求
此时$z=42 - 9×4=6$，将x=5,y=4,z=6代入下午返现公式：
$300×5 + 120×4 + 80×6 = 1500 + 480 + 480 = 2460$（元）
【答案】
2460
【知识点】
列方程解应用题，三元一次方程组，整数解求解
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，解题关键是合理设未知数，准确抓住等量关系列方程，同时注意摸球次数为非负整数这一隐含条件，计算过程需要细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以通过设未知数表示各时间段摸球次数，结合返现规则和题目给出的两个等量关系列方程求解。首先设上午摸到黑、白、红球的次数分别为x、y、z（均为非负整数），再分别表示出上午、下午、晚上的返现金额，根据“晚上返现金额比上午多840元”和“三个时间段返现总金额共5020元”列方程，最后利用次数为非负整数的隐含条件求出未知数的值，代入计算下午返现金额即可。
【解析】
设上午摸中黑球x次，白球y次，红球z次（x,y,z均为非负整数），根据返现规则：
上午返现金额：$100x + 60y + 20z$ 元
下午摸中黑球3x次，白球2y次，红球4z次，返现金额：$100×3x + 60×2y + 20×4z = 300x + 120y + 80z$ 元
晚上摸中黑球x次，白球4y次，红球2z次，返现金额：$100x + 60×4y + 20×2z = 100x + 240y + 40z$ 元
根据“晚上返现金额比上午多840元”，列方程：
$(100x + 240y + 40z) - (100x + 60y + 20z) = 840$
化简得：$180y + 20z = 840$，两边同除以20得：$9y + z = 42$ ①
根据“三个时间段返现总金额共5020元”，列方程：
$(100x + 60y + 20z) + (300x + 120y + 80z) + (100x + 240y + 40z) = 5020$
化简得：$500x + 420y + 140z = 5020$，两边同除以20得：$25x + 21y + 7z = 251$ ②
将①中$z = 42 - 9y$代入②：
$25x + 21y + 7(42 - 9y) = 251$
展开计算：$25x + 21y + 294 - 63y = 251$
整理得：$25x = 42y - 43$
因为x、y为非负整数，且$z = 42 - 9y ≥ 0$，所以$y ≤ 4$，对y从0到4逐一验证：
y=0：$42×0 -43=-43$，x为负，舍去
y=1：$42-43=-1$，x为负，舍去
y=2：$84-43=41$，41不能被25整除，舍去
y=3：$126-43=83$，83不能被25整除，舍去
y=4：$168-43=125$，$x=125÷25=5$，符合要求
此时$z=42 - 9×4=6$，将x=5,y=4,z=6代入下午返现公式：
$300×5 + 120×4 + 80×6 = 1500 + 480 + 480 = 2460$（元）
【答案】
2460
【知识点】
列方程解应用题，三元一次方程组，整数解求解
【点评】
本题结合生活中的促销场景出题，解题关键是合理设未知数，准确抓住等量关系列方程，同时注意摸球次数为非负整数这一隐含条件，计算过程需要细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.6
10 将一副三角板中的两个三角板的两条直角边重合叠放在一起，三角板AOB固定不动，三角板COD绕直角顶点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角θ($0°＜θ＜90°$)，
，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在$30°$、$45°$、$60°$、$90°$、$120°$、$135°$、$165°$这七个度数中任取一个，该度数是$∠ AOC$的度数的概率为
，当这两块三角板各有一条边互相垂直时，在$30°$、$45°$、$60°$、$90°$、$120°$、$135°$、$165°$这七个度数中任取一个，该度数是$∠ AOC$的度数的概率为$\frac{5}{7}$
。答案
10.$\frac{5}{7}$
解析
【分析】
首先明确两块三角板的角度特征：△AOB是等腰直角三角板，∠AOB=90°，两锐角均为45°；△COD是含30°、60°角的直角三角板，∠COD=90°。解题时先分类讨论两块三角板各有一条边互相垂直的所有可能情况，计算每种情况下∠AOC的度数，再统计题目给出的7个度数中符合条件的个数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算所求概率。
【解析】
1. 明确三角板固有角度：△AOB中∠AOB=90°，两锐角为45°；△COD中∠COD=90°，两锐角分别为30°、60°。
2. 分情况讨论边垂直时∠AOC的度数：
① 当存在边垂直对应小角度偏移时，可得到∠AOC为30°、45°、60°三种较小的角度值；
② 当边垂直对应大角度偏移时，可得到∠AOC为120°、135°两种较大的角度值，共5种符合条件的角度。
3. 题目给出的总度数共7个，根据概率公式可得所求概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
三角板角度特征，垂直的性质，概率公式
【点评】
本题结合三角板旋转场景考查角度计算与概率求解，解题核心是完整分类讨论所有边垂直的情况，避免漏解、多解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先明确两块三角板的角度特征：△AOB是等腰直角三角板，∠AOB=90°，两锐角均为45°；△COD是含30°、60°角的直角三角板，∠COD=90°。解题时先分类讨论两块三角板各有一条边互相垂直的所有可能情况，计算每种情况下∠AOC的度数，再统计题目给出的7个度数中符合条件的个数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算所求概率。
【解析】
1. 明确三角板固有角度：△AOB中∠AOB=90°，两锐角为45°；△COD中∠COD=90°，两锐角分别为30°、60°。
2. 分情况讨论边垂直时∠AOC的度数：
① 当存在边垂直对应小角度偏移时，可得到∠AOC为30°、45°、60°三种较小的角度值；
② 当边垂直对应大角度偏移时，可得到∠AOC为120°、135°两种较大的角度值，共5种符合条件的角度。
3. 题目给出的总度数共7个，根据概率公式可得所求概率为$\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
三角板角度特征，垂直的性质，概率公式
【点评】
本题结合三角板旋转场景考查角度计算与概率求解，解题核心是完整分类讨论所有边垂直的情况，避免漏解、多解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11 从-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是负数，且使关于x的函数$y=\frac{m - 3}{x}$的图像在每个象限内y随x的增大而增大的概率为
$\frac{4}{9}$
。答案
11.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题需要结合分式方程解的要求、反比例函数的增减性、概率计算三个部分求解。解题思路为：1. 先求解分式方程，根据“解为负数”且“分式分母不为0”得到m的第一组限制条件；2. 根据反比例函数的增减性得到反比例系数的符号，推出m的第二组限制条件；3. 取两组条件的交集，在给定的9个数中筛选出符合要求的m值，最后用符合条件的m的个数除以总个数即可得到概率。
【解析】
1. 求解分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$：
方程两边同乘$x+1$（$x≠ -1$）得：$2x - m = 3(x+1)$
整理得：$x = -m -3$
∵ 方程的解是负数，
∴ $x＜0$，即$-m -3 ＜ 0$，解得$m＞ -3$
又
∵ 分母不能为0，即$x≠ -1$，
∴ $-m -3 ≠ -1$，解得$m≠ -2$
2. 分析反比例函数$y=\frac{m - 3}{x}$的性质：
∵ 图像在每个象限内y随x的增大而增大，
∴ 反比例系数小于0，即$m - 3 ＜ 0$，解得$m＜3$
3. 综合上述条件，m的取值范围为：$-3 ＜ m ＜ 3$且$m≠ -2$
在-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4这9个数中，符合条件的m为：-1、0、1、2，共4个
因此所求概率为$\frac{符合条件的个数}{总个数}=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
分式方程的解；反比例函数的性质；概率公式
【点评】
本题属于小综合题，解题时要特别注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免误将m=-2计入符合条件的取值，导致概率计算错误。
【难度系数】
0.6
本题需要结合分式方程解的要求、反比例函数的增减性、概率计算三个部分求解。解题思路为：1. 先求解分式方程，根据“解为负数”且“分式分母不为0”得到m的第一组限制条件；2. 根据反比例函数的增减性得到反比例系数的符号，推出m的第二组限制条件；3. 取两组条件的交集，在给定的9个数中筛选出符合要求的m值，最后用符合条件的m的个数除以总个数即可得到概率。
【解析】
1. 求解分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$：
方程两边同乘$x+1$（$x≠ -1$）得：$2x - m = 3(x+1)$
整理得：$x = -m -3$
∵ 方程的解是负数，
∴ $x＜0$，即$-m -3 ＜ 0$，解得$m＞ -3$
又
∵ 分母不能为0，即$x≠ -1$，
∴ $-m -3 ≠ -1$，解得$m≠ -2$
2. 分析反比例函数$y=\frac{m - 3}{x}$的性质：
∵ 图像在每个象限内y随x的增大而增大，
∴ 反比例系数小于0，即$m - 3 ＜ 0$，解得$m＜3$
3. 综合上述条件，m的取值范围为：$-3 ＜ m ＜ 3$且$m≠ -2$
在-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4这9个数中，符合条件的m为：-1、0、1、2，共4个
因此所求概率为$\frac{符合条件的个数}{总个数}=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
分式方程的解；反比例函数的性质；概率公式
【点评】
本题属于小综合题，解题时要特别注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免误将m=-2计入符合条件的取值，导致概率计算错误。
【难度系数】
0.6
12 创建文明城市，推行垃圾分类。小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱。一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去随机投放，小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
12.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】要计算所求概率，需遵循古典概型的计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有可能的总情况数。首先要明确“三个垃圾袋投放错误”的含义：如果有2个及以上垃圾袋投放正确，那么最多只有2个垃圾袋错投，因此三个错投等价于恰好1个垃圾袋投放正确，剩余3个全部投错。接下来分别计算总投放情况数、符合要求的情况数，二者相除即可得到结果。
【解析】首先计算所有随机投放的总情况数：四袋垃圾投放四个不同的垃圾箱，第一袋有4种投放选择，第二袋剩余3种选择，第三袋剩余2种选择，第四袋只有1种选择，因此总投放情况数为$4×3×2×1=24$种。
接下来计算恰好3袋投放错误的情况数：
① 先从4袋垃圾中选1袋投放正确，共有4种选法；
② 剩余3袋需全部投错（即每袋都不投到对应的正确垃圾箱），枚举可得：假设剩余3袋的正确投放位置为1号、2号、3号箱，全错的投放方式只有2种：第一种是原投1号的放2号、原投2号的放3号、原投3号的放1号；第二种是原投1号的放3号、原投2号的放1号、原投3号的放2号。
因此符合要求的总情况数为$4×2=8$种。
最后计算概率：$P=\frac{符合要求的情况数}{总情况数}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】古典概型计算，分步计数原理，简单错排问题
【点评】本题结合生活垃圾分类的场景考查概率计算，解题的核心是准确转化“3袋投放错误”的条件，通过分步计数和简单枚举就能得到结果，能够锻炼逻辑转化能力和计数的严谨性。
【难度系数】0.65
【解析】首先计算所有随机投放的总情况数：四袋垃圾投放四个不同的垃圾箱，第一袋有4种投放选择，第二袋剩余3种选择，第三袋剩余2种选择，第四袋只有1种选择，因此总投放情况数为$4×3×2×1=24$种。
接下来计算恰好3袋投放错误的情况数：
① 先从4袋垃圾中选1袋投放正确，共有4种选法；
② 剩余3袋需全部投错（即每袋都不投到对应的正确垃圾箱），枚举可得：假设剩余3袋的正确投放位置为1号、2号、3号箱，全错的投放方式只有2种：第一种是原投1号的放2号、原投2号的放3号、原投3号的放1号；第二种是原投1号的放3号、原投2号的放1号、原投3号的放2号。
因此符合要求的总情况数为$4×2=8$种。
最后计算概率：$P=\frac{符合要求的情况数}{总情况数}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。
【答案】$\frac{1}{3}$
【知识点】古典概型计算，分步计数原理，简单错排问题
【点评】本题结合生活垃圾分类的场景考查概率计算，解题的核心是准确转化“3袋投放错误”的条件，通过分步计数和简单枚举就能得到结果，能够锻炼逻辑转化能力和计数的严谨性。
【难度系数】0.65
13 已知$ m $是不等式$\begin{cases}m - 2 ≤ 3m - 10, \\ m - 3 ＜ 5\end{cases}$的正整数解，则关于$ x $的分式方程$\frac{2}{x - 2} = \frac{m}{x + 1}$有整数解的概率为 ______ 。
答案
13.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题分三步进行：第一步先解不等式组，求出所有满足条件的正整数m，得到所有可能的情况总数；第二步解分式方程，将x用含m的代数式表示，注意分式方程要有意义需排除增根；第三步逐个代入m的值，统计能使x为整数的m的个数，最后根据概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）计算概率即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$m - 2 ≤ 3m - 10$，移项得$m-3m ≤ -10+2$，即$-2m ≤ -8$，两边同除以$-2$（不等号方向改变），得$m ≥ 4$；
解不等式$m - 3 ＜ 5$，移项得$m ＜ 8$；
因此不等式组的解集为$4 ≤ m ＜ 8$，其中正整数解为$m=4,5,6,7$，共4个等可能的结果。
2. 解分式方程$\frac{2}{x - 2} = \frac{m}{x + 1}$：
交叉相乘去分母得$2(x+1)=m(x-2)$，展开整理得$(2-m)x = -2m -2$，即$x=\frac{2m+2}{m-2}=2+\frac{6}{m-2}$；
要使分式方程有意义，需满足$x≠2$且$x≠-1$：
若$x=2$，则$\frac{6}{m-2}=0$，无实根，无需排除；
若$x=-1$，则$2+\frac{6}{m-2}=-1$，解得$m=0$，不在上述m的取值范围内，无需排除。
3. 逐个验证m的取值：
当$m=4$时，$x=2+\frac{6}{4-2}=5$，是整数，符合条件；
当$m=5$时，$x=2+\frac{6}{5-2}=4$，是整数，符合条件；
当$m=6$时，$x=2+\frac{6}{6-2}=3.5$，不是整数，不符合；
当$m=7$时，$x=2+\frac{6}{7-2}=3.2$，不是整数，不符合；
符合条件的m有2个，因此概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，分式方程求解，概率公式
【点评】
本题属于综合型基础题，融合了三类核心知识点，解题时需注意先确认分式方程有意义的前提，化简含参数的方程解能更方便判断解是否为整数，减少计算失误。
【难度系数】
0.6
解题分三步进行：第一步先解不等式组，求出所有满足条件的正整数m，得到所有可能的情况总数；第二步解分式方程，将x用含m的代数式表示，注意分式方程要有意义需排除增根；第三步逐个代入m的值，统计能使x为整数的m的个数，最后根据概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）计算概率即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$m - 2 ≤ 3m - 10$，移项得$m-3m ≤ -10+2$，即$-2m ≤ -8$，两边同除以$-2$（不等号方向改变），得$m ≥ 4$；
解不等式$m - 3 ＜ 5$，移项得$m ＜ 8$；
因此不等式组的解集为$4 ≤ m ＜ 8$，其中正整数解为$m=4,5,6,7$，共4个等可能的结果。
2. 解分式方程$\frac{2}{x - 2} = \frac{m}{x + 1}$：
交叉相乘去分母得$2(x+1)=m(x-2)$，展开整理得$(2-m)x = -2m -2$，即$x=\frac{2m+2}{m-2}=2+\frac{6}{m-2}$；
要使分式方程有意义，需满足$x≠2$且$x≠-1$：
若$x=2$，则$\frac{6}{m-2}=0$，无实根，无需排除；
若$x=-1$，则$2+\frac{6}{m-2}=-1$，解得$m=0$，不在上述m的取值范围内，无需排除。
3. 逐个验证m的取值：
当$m=4$时，$x=2+\frac{6}{4-2}=5$，是整数，符合条件；
当$m=5$时，$x=2+\frac{6}{5-2}=4$，是整数，符合条件；
当$m=6$时，$x=2+\frac{6}{6-2}=3.5$，不是整数，不符合；
当$m=7$时，$x=2+\frac{6}{7-2}=3.2$，不是整数，不符合；
符合条件的m有2个，因此概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，分式方程求解，概率公式
【点评】
本题属于综合型基础题，融合了三类核心知识点，解题时需注意先确认分式方程有意义的前提，化简含参数的方程解能更方便判断解是否为整数，减少计算失误。
【难度系数】
0.6
14 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光。已知四个开关都处于断开状态，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于
第14题图
$\frac{1}{4}$
。 第14题图答案
14.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先需明确概率的计算逻辑：先找出所有等可能的总结果数，再找出满足“小灯泡发光”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。首先审题可知，题干要求是“任意闭合其中一个开关”，四个开关初始都断开，因此总共有4种等可能的闭合情况；再结合电路发光条件判断：仅闭合1个开关时，只有闭合D能让灯发光，单个闭合A、B、C都无法满足“同时闭合A、B、C”的发光条件，因此符合条件的结果只有1种，代入公式计算即可。
【解析】
解：任意闭合其中一个开关，共有闭合A、闭合B、闭合C、闭合D4种等可能的结果。
根据题意，仅闭合1个开关时，只有闭合开关D可使小灯泡发光，即满足小灯泡发光的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{小灯泡发光})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算，电路通断判断
【点评】
本题结合简单电路知识考查概率的基础计算，解题关键是准确把握“任意闭合一个开关”的前提条件，避免误将多开关闭合的发光情况计入，整体考查较为基础，只要认真审题即可做对。
【难度系数】
0.7
要解决这道概率题，首先需明确概率的计算逻辑：先找出所有等可能的总结果数，再找出满足“小灯泡发光”的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。首先审题可知，题干要求是“任意闭合其中一个开关”，四个开关初始都断开，因此总共有4种等可能的闭合情况；再结合电路发光条件判断：仅闭合1个开关时，只有闭合D能让灯发光，单个闭合A、B、C都无法满足“同时闭合A、B、C”的发光条件，因此符合条件的结果只有1种，代入公式计算即可。
【解析】
解：任意闭合其中一个开关，共有闭合A、闭合B、闭合C、闭合D4种等可能的结果。
根据题意，仅闭合1个开关时，只有闭合开关D可使小灯泡发光，即满足小灯泡发光的结果有1种。
根据等可能事件的概率公式：
$P(\mathrm{小灯泡发光})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率计算，电路通断判断
【点评】
本题结合简单电路知识考查概率的基础计算，解题关键是准确把握“任意闭合一个开关”的前提条件，避免误将多开关闭合的发光情况计入，整体考查较为基础，只要认真审题即可做对。
【难度系数】
0.7
