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1.「2026江苏徐州铜山一模」一个不透明的盒子中有15个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同，搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则盒中红球的个数约为（
A.25
B.35
C.45
D.50
B
）A.25
B.35
C.45
D.50
答案
1.B 由题意可知摸到白球的概率约为0.3,
设盒中红球的个数为x,则$\dfrac{15}{15+x}=0.3$,解得x=35,
经检验,x=35 是分式方程的解.所以盒中红球的个数约为 35.故选 B.
设盒中红球的个数为x,则$\dfrac{15}{15+x}=0.3$,解得x=35,
经检验,x=35 是分式方程的解.所以盒中红球的个数约为 35.故选 B.
解析
【分析】
首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此本题中摸到白球的概率约为0.3。接下来回忆概率计算公式：随机事件的概率=该事件对应的结果数÷所有可能的结果总数，对应本题就是摸到白球的概率=白球个数÷盒中球的总个数。我们设红球个数为x，盒中总球数就是白球加红球的数量（15+x），代入概率公式即可列出分式方程，解方程后检验解是否符合实际意义，就能求出红球的个数。
【解析】
∵大量重复摸球试验后，摸出白球的频率稳定在0.3左右
∴估计摸到白球的概率约为0.3
设盒中红球的个数为x，则盒中球的总个数为$(15+x)$个，根据概率公式列方程得：
$\dfrac{15}{15+x}=0.3$
解方程：
两边同乘$(15+x)$得：$15=0.3(15+x)$
展开得：$15=4.5+0.3x$
移项、合并同类项得：$0.3x=10.5$
系数化为1得：$x=35$
检验：当$x=35$时，$15+x=50≠0$，所以$x=35$是原分式方程的解，且符合实际意义。
即盒中红球的个数约为35，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是掌握“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”的规律，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应事件的概率附近，因此本题中摸到白球的概率约为0.3。接下来回忆概率计算公式：随机事件的概率=该事件对应的结果数÷所有可能的结果总数，对应本题就是摸到白球的概率=白球个数÷盒中球的总个数。我们设红球个数为x，盒中总球数就是白球加红球的数量（15+x），代入概率公式即可列出分式方程，解方程后检验解是否符合实际意义，就能求出红球的个数。
【解析】
∵大量重复摸球试验后，摸出白球的频率稳定在0.3左右
∴估计摸到白球的概率约为0.3
设盒中红球的个数为x，则盒中球的总个数为$(15+x)$个，根据概率公式列方程得：
$\dfrac{15}{15+x}=0.3$
解方程：
两边同乘$(15+x)$得：$15=0.3(15+x)$
展开得：$15=4.5+0.3x$
移项、合并同类项得：$0.3x=10.5$
系数化为1得：$x=35$
检验：当$x=35$时，$15+x=50≠0$，所以$x=35$是原分式方程的解，且符合实际意义。
即盒中红球的个数约为35，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率，概率公式，分式方程的应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是掌握“大量重复试验下频率的稳定值即为概率”的规律，结合概率公式建立方程求解，注意分式方程的解需要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2.「2026江苏宿迁泗洪期中」近几年二维码已经成为人们生活中不可或缺的一部分，如图所示的正方形二维码的边长为10 cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，据此可估计黑色部分的面积为
75
cm².答案
2.答案 75
解析 由题意可知点落入黑色部分的概率约为0.75,
∵正方形二维码的边长为 10 cm,
∴估计黑色部分的面积为 10×10×0.75 = 75(cm²).故答案为75.
解析 由题意可知点落入黑色部分的概率约为0.75,
∵正方形二维码的边长为 10 cm,
∴估计黑色部分的面积为 10×10×0.75 = 75(cm²).故答案为75.
解析
【分析】
本题是概率在实际问题中的应用类题目，解题思路可分为两步：首先明确大量重复试验下，频率的稳定值就是对应事件发生的概率，本题中点落入黑色部分的频率稳定在0.75，说明黑色部分的面积占正方形总面积的比值约为0.75；其次先计算正方形二维码的总面积，再用总面积乘以该比值即可得到黑色部分的估计面积。
【解析】
解：
∵经过大量重复试验，点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
∴可估计点落入黑色部分的概率约为0.75，即黑色部分面积占正方形总面积的比值约为0.75。
已知正方形二维码的边长为10 cm，因此正方形的总面积为：
$S_{正方形}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
则黑色部分的估计面积为：
$S_{黑色}=100×0.75=75\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
75
【知识点】
频率估计概率，正方形面积计算，概率的应用
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景命题，将概率知识和基础几何计算相结合，解题核心是理解频率稳定值对应部分面积与整体面积的占比关系，题目贴近生活，注重考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题是概率在实际问题中的应用类题目，解题思路可分为两步：首先明确大量重复试验下，频率的稳定值就是对应事件发生的概率，本题中点落入黑色部分的频率稳定在0.75，说明黑色部分的面积占正方形总面积的比值约为0.75；其次先计算正方形二维码的总面积，再用总面积乘以该比值即可得到黑色部分的估计面积。
【解析】
解：
∵经过大量重复试验，点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右，
∴可估计点落入黑色部分的概率约为0.75，即黑色部分面积占正方形总面积的比值约为0.75。
已知正方形二维码的边长为10 cm，因此正方形的总面积为：
$S_{正方形}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2$
则黑色部分的估计面积为：
$S_{黑色}=100×0.75=75\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
75
【知识点】
频率估计概率，正方形面积计算，概率的应用
【点评】
本题结合生活中常见的二维码场景命题，将概率知识和基础几何计算相结合，解题核心是理解频率稳定值对应部分面积与整体面积的占比关系，题目贴近生活，注重考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3.「2026宁夏银川金凤期末」近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地有
800
只A种候鸟.答案
3.答案 800
解析 设该湿地约有x只A种候鸟,则200 : 10 = x : 40,解得x=800.
∴该湿地约有800只A种候鸟.
解析 设该湿地约有x只A种候鸟,则200 : 10 = x : 40,解得x=800.
∴该湿地约有800只A种候鸟.
解析
【分析】
这道题用到用样本估计总体的核心思想，对应标记重捕法的原理：先给总体中一部分个体做标记后放回，待标记个体均匀分布在种群中后，重捕的样本里标记个体的占比，近似等于所有标记个体占种群总数量的占比。解题时先设湿地A种候鸟总数量为未知数，根据两个占比相等的关系列比例式，再求解即可得到总数量的估计值。
【解析】
设该湿地约有$x$只A种候鸟，由题意得标记个体在总体和重捕样本中的占比相等：
$\frac{40}{x}=\frac{10}{200}$
交叉相乘得：
$10x=40×200$
计算得：
$10x=8000$
解得：
$x=800$
【答案】
$800$
【知识点】
用样本估计总体，比例的应用，概率的实际应用
【点评】
本题结合生态保护的实际场景出题，解题关键是找准标记个体在总体和样本中的占比相等的关系，属于基础应用题，贴近生活，能让学生体会数学在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.9
这道题用到用样本估计总体的核心思想，对应标记重捕法的原理：先给总体中一部分个体做标记后放回，待标记个体均匀分布在种群中后，重捕的样本里标记个体的占比，近似等于所有标记个体占种群总数量的占比。解题时先设湿地A种候鸟总数量为未知数，根据两个占比相等的关系列比例式，再求解即可得到总数量的估计值。
【解析】
设该湿地约有$x$只A种候鸟，由题意得标记个体在总体和重捕样本中的占比相等：
$\frac{40}{x}=\frac{10}{200}$
交叉相乘得：
$10x=40×200$
计算得：
$10x=8000$
解得：
$x=800$
【答案】
$800$
【知识点】
用样本估计总体，比例的应用，概率的实际应用
【点评】
本题结合生态保护的实际场景出题，解题关键是找准标记个体在总体和样本中的占比相等的关系，属于基础应用题，贴近生活，能让学生体会数学在实际问题中的应用价值。
【难度系数】
0.9
4.「★☆」某种小麦种子每10 000粒重约350克，小麦播种的发芽概率约是95%，麦芽长成麦苗的概率约是90%，一块试验田的麦苗数是8 550株，则播种这块试验田需麦种约为（
A.300克
B.350克
C.380克
D.400克
B
）A.300克
B.350克
C.380克
D.400克
答案
4.B 设播种这块试验田需麦种约为x克,
由题意得$\dfrac{10\ 000}{350}x×95\%×90\% = 8\ 550$,解得x = 350,
∴播种这块试验田需麦种约为 350 克.
由题意得$\dfrac{10\ 000}{350}x×95\%×90\% = 8\ 550$,解得x = 350,
∴播种这块试验田需麦种约为 350 克.
解析
【分析】
要解决本题，可先设所需麦种的重量为x克，首先根据麦种重量与粒数的对应关系，求出x克麦种的总粒数；再结合发芽概率、麦芽长成麦苗的概率，得到最终麦苗数的表达式，结合已知的麦苗总数列出方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
设播种这块试验田需麦种约为x克，
由题意可知，x克麦种的总粒数为$\dfrac{10\ 000}{350}x$粒，
结合发芽概率95%、成苗概率90%，最终麦苗数满足等量关系：
$\dfrac{10\ 000}{350}x×95\%×90\% = 8\ 550$
解方程：
先计算左侧系数可得$\dfrac{8550}{350}x=8550$，
化简后解得$x=350$。
因此播种这块试验田需麦种约为350克。
【答案】
B
【知识点】
概率应用，一元一次方程求解，概率估算
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查概率的应用，核心是梳理清楚从麦种重量到最终麦苗数各环节的数量关系，找准等量关系列方程即可解决，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可先设所需麦种的重量为x克，首先根据麦种重量与粒数的对应关系，求出x克麦种的总粒数；再结合发芽概率、麦芽长成麦苗的概率，得到最终麦苗数的表达式，结合已知的麦苗总数列出方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
设播种这块试验田需麦种约为x克，
由题意可知，x克麦种的总粒数为$\dfrac{10\ 000}{350}x$粒，
结合发芽概率95%、成苗概率90%，最终麦苗数满足等量关系：
$\dfrac{10\ 000}{350}x×95\%×90\% = 8\ 550$
解方程：
先计算左侧系数可得$\dfrac{8550}{350}x=8550$，
化简后解得$x=350$。
因此播种这块试验田需麦种约为350克。
【答案】
B
【知识点】
概率应用，一元一次方程求解，概率估算
【点评】
本题结合农业生产实际场景考查概率的应用，核心是梳理清楚从麦种重量到最终麦苗数各环节的数量关系，找准等量关系列方程即可解决，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
5. 聚焦 中考项目式学习 「2026广东深圳罗湖模拟，★★」依据素材，完成表格中的任务.
提出问题：柑橘采购后,从生产地运到市场的过程中,会有损坏;在市场进行一次性批量销售时,销售单价又会因采购量的不同而发生波动.多重因素影响下,要获得一定数量的利润,该如何定价
调研项目：调查1:“柑橘完好率”调查(设采购的总质量为$m$千克,完好柑橘的质量为$n$千克)
| $m$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $n$ | 44.5 | 90.1 | 180.6 | 360.8 | 450.5 |
| $\dfrac{n}{m}$ | 0.89 | 0.901 | 0.903 | 0.902 | 0.901 |
调查2:①柑橘在生
地的采购价为9元/千克;②在市场进行一次性批量销售时,柑橘的售价$x$(元/千克)与采购的总质量$m$(千克)之间的关系满足$m+100x=3000(0＜m≤20000)$
任务一：(1)估计柑橘完好的概率为
(2)由(1)知,用900元采购的柑橘量,进入市场后,实际可以销售的质量约为
任务二：(3)若希望在市场进行一次性批量销售时,能够获得9000元的总利润,则应采购多少千克的柑橘?售价应定为多少
提出问题：柑橘采购后,从生产地运到市场的过程中,会有损坏;在市场进行一次性批量销售时,销售单价又会因采购量的不同而发生波动.多重因素影响下,要获得一定数量的利润,该如何定价
调研项目：调查1:“柑橘完好率”调查(设采购的总质量为$m$千克,完好柑橘的质量为$n$千克)
| $m$ | 50 | 100 | 200 | 400 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $n$ | 44.5 | 90.1 | 180.6 | 360.8 | 450.5 |
| $\dfrac{n}{m}$ | 0.89 | 0.901 | 0.903 | 0.902 | 0.901 |
调查2:①柑橘在生
地的采购价为9元/千克;②在市场进行一次性批量销售时,柑橘的售价$x$(元/千克)与采购的总质量$m$(千克)之间的关系满足$m+100x=3000(0＜m≤20000)$任务一：(1)估计柑橘完好的概率为
0.9
(精确到0.1).(2)由(1)知,用900元采购的柑橘量,进入市场后,实际可以销售的质量约为
90
千克(结果保留整数,损坏的柑橘不得销售)任务二：(3)若希望在市场进行一次性批量销售时,能够获得9000元的总利润,则应采购多少千克的柑橘?售价应定为多少
答案
5.解析 (1)0.9.
(2)90.
(3)采购$m$千克的柑橘时,完好柑橘的质量为$0.9m$千克,
由$m+100x=3\ 000$得柑橘的售价$x$为$\dfrac{3\ 000-m}{100}$元/千克,
由题意得$0.9m· \dfrac{3\ 000-m}{100}-9m=9\ 000$,
整理得$m^2-2\ 000m+1\ 000\ 000=0$,
∴$(m-1\ 000)^2=0$,解得$m=1\ 000$.
此时售价为$\dfrac{3\ 000-1\ 000}{100}=20$(元/千克).
答:应采购1 000千克的柑橘,售价应定为20元/千克.
(2)90.
(3)采购$m$千克的柑橘时,完好柑橘的质量为$0.9m$千克,
由$m+100x=3\ 000$得柑橘的售价$x$为$\dfrac{3\ 000-m}{100}$元/千克,
由题意得$0.9m· \dfrac{3\ 000-m}{100}-9m=9\ 000$,
整理得$m^2-2\ 000m+1\ 000\ 000=0$,
∴$(m-1\ 000)^2=0$,解得$m=1\ 000$.
此时售价为$\dfrac{3\ 000-1\ 000}{100}=20$(元/千克).
答:应采购1 000千克的柑橘,售价应定为20元/千克.
解析
【分析】
（1）第一问考查用频率估计概率，观察表格中$\frac{n}{m}$的数值，随着采购量$m$增大，柑橘完好率稳定在0.9左右，将这个稳定值作为完好的概率即可。
（2）第二问先根据采购总价、采购单价算出采购的总质量，再乘（1）中得到的完好概率，即可得到可销售的完好柑橘质量。
（3）第三问为利润类应用题，核心等量关系为：总利润=完好柑橘的销售额-采购总成本。首先根据$m+100x=3000$用$m$表示出售价$x$，结合完好柑橘质量为$0.9m$表示出销售额，再减去采购总成本，令总利润等于9000列一元二次方程求解，最后验证$m$的取值符合范围即可。
【解析】
(1) 观察表格中$\frac{n}{m}$的数值，当采购量逐渐增大时，柑橘完好率稳定在0.9附近，因此估计柑橘完好的概率为0.9。
(2) 900元可采购的柑橘总质量为$900÷9=100$千克，完好概率为0.9，因此实际可销售的质量为$100×0.9=90$千克。
(3) 设应采购$m$千克的柑橘，此时完好柑橘的质量为$0.9m$千克。
由$m+100x=3000$可得售价$x=\frac{3000-m}{100}$元/千克。
根据总利润为9000元列方程：
$0.9m·\frac{3000-m}{100}-9m=9000$
整理得$m^2-2000m+1000000=0$，即$(m-1000)^2=0$，解得$m=1000$，符合$0＜m≤20000$的要求。
此时售价为$x=\frac{3000-1000}{100}=20$元/千克。
【答案】
(1) $\boxed{0.9}$
(2) $\boxed{90}$
(3) 应采购1000千克的柑橘，售价应定为20元/千克。
【知识点】
频率估计概率；一元二次方程应用；利润计算
【点评】
本题结合实际经营场景，将概率统计和方程应用结合考查，需要学生准确提取题干信息，找准利润的等量关系列方程求解，实用性较强，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问考查用频率估计概率，观察表格中$\frac{n}{m}$的数值，随着采购量$m$增大，柑橘完好率稳定在0.9左右，将这个稳定值作为完好的概率即可。
（2）第二问先根据采购总价、采购单价算出采购的总质量，再乘（1）中得到的完好概率，即可得到可销售的完好柑橘质量。
（3）第三问为利润类应用题，核心等量关系为：总利润=完好柑橘的销售额-采购总成本。首先根据$m+100x=3000$用$m$表示出售价$x$，结合完好柑橘质量为$0.9m$表示出销售额，再减去采购总成本，令总利润等于9000列一元二次方程求解，最后验证$m$的取值符合范围即可。
【解析】
(1) 观察表格中$\frac{n}{m}$的数值，当采购量逐渐增大时，柑橘完好率稳定在0.9附近，因此估计柑橘完好的概率为0.9。
(2) 900元可采购的柑橘总质量为$900÷9=100$千克，完好概率为0.9，因此实际可销售的质量为$100×0.9=90$千克。
(3) 设应采购$m$千克的柑橘，此时完好柑橘的质量为$0.9m$千克。
由$m+100x=3000$可得售价$x=\frac{3000-m}{100}$元/千克。
根据总利润为9000元列方程：
$0.9m·\frac{3000-m}{100}-9m=9000$
整理得$m^2-2000m+1000000=0$，即$(m-1000)^2=0$，解得$m=1000$，符合$0＜m≤20000$的要求。
此时售价为$x=\frac{3000-1000}{100}=20$元/千克。
【答案】
(1) $\boxed{0.9}$
(2) $\boxed{90}$
(3) 应采购1000千克的柑橘，售价应定为20元/千克。
【知识点】
频率估计概率；一元二次方程应用；利润计算
【点评】
本题结合实际经营场景，将概率统计和方程应用结合考查，需要学生准确提取题干信息，找准利润的等量关系列方程求解，实用性较强，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
