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1.「2025四川成都中考」从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
答案 $\frac{1}{2}$
解析 若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根,则需要$b^2-4a≥0$,且$a≠0$,列表如下:
| b\a | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | | $b^2-4a=5$ | $b^2-4a=8$ |
| 1 | $b^2-4a=-3$ | | $b^2-4a=0$ |
| 2 | $b^2-4a=-7$ | $b^2-4a=-7$ | |
由表可知,共有6种等可能的结果,其中能使$b^2-4a≥0$,且$a≠0$的结果有3种,
∴关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析 若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根,则需要$b^2-4a≥0$,且$a≠0$,列表如下:
| b\a | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | | $b^2-4a=5$ | $b^2-4a=8$ |
| 1 | $b^2-4a=-3$ | | $b^2-4a=0$ |
| 2 | $b^2-4a=-7$ | $b^2-4a=-7$ | |
由表可知,共有6种等可能的结果,其中能使$b^2-4a≥0$,且$a≠0$的结果有3种,
∴关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这是概率与一元二次方程综合的题型，解题可分三步思考：第一步，先明确一元二次方程有实数根的前提：一是二次项系数不为0，二是根的判别式Δ≥0，本题中方程为$ax^2+bx+1=0$，因此要求$a≠0$，且$b^2-4a≥0$；第二步，计算所有等可能的取值情况：从-1、1、2三个数中任取两个分别作为a、b，a和b的取值有序，总共有$3×2=6$种等可能结果；第三步，逐一验证每种取值是否满足判别式要求，统计符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
要使关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根，需满足两个条件：①二次项系数$a≠0$；②根的判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4× a×1≥0$，即$b^2≥4a$。
从-1、1、2中任取两个不同的数分别作为a、b，所有等可能的结果共6种：$(a=-1,b=1)$、$(a=-1,b=2)$、$(a=1,b=-1)$、$(a=1,b=2)$、$(a=2,b=-1)$、$(a=2,b=1)$。
逐一计算判别式验证：
1. $a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. $a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. $a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. $a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合要求；
5. $a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. $a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率，一元二次方程的定义
【点评】
本题属于代数综合基础题，解题的核心是先确定一元二次方程有实根的限制条件，再准确列举所有有序取值的等可能情况，注意不要混淆a、b的取值顺序，避免出现总情况数统计错误的问题。
【难度系数】
0.6
这是概率与一元二次方程综合的题型，解题可分三步思考：第一步，先明确一元二次方程有实数根的前提：一是二次项系数不为0，二是根的判别式Δ≥0，本题中方程为$ax^2+bx+1=0$，因此要求$a≠0$，且$b^2-4a≥0$；第二步，计算所有等可能的取值情况：从-1、1、2三个数中任取两个分别作为a、b，a和b的取值有序，总共有$3×2=6$种等可能结果；第三步，逐一验证每种取值是否满足判别式要求，统计符合条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
要使关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根，需满足两个条件：①二次项系数$a≠0$；②根的判别式$\Delta=b^2-4ac=b^2-4× a×1≥0$，即$b^2≥4a$。
从-1、1、2中任取两个不同的数分别作为a、b，所有等可能的结果共6种：$(a=-1,b=1)$、$(a=-1,b=2)$、$(a=1,b=-1)$、$(a=1,b=2)$、$(a=2,b=-1)$、$(a=2,b=1)$。
逐一计算判别式验证：
1. $a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合要求；
2. $a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合要求；
3. $a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合要求；
4. $a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合要求；
5. $a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合要求；
6. $a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合要求。
综上，符合条件的结果共3种，因此所求概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，列举法求概率，一元二次方程的定义
【点评】
本题属于代数综合基础题，解题的核心是先确定一元二次方程有实根的限制条件，再准确列举所有有序取值的等可能情况，注意不要混淆a、b的取值顺序，避免出现总情况数统计错误的问题。
【难度系数】
0.6
2.「2026江苏泰州姜堰月考」取6张背面完全相同的卡片，分别在正面写上数：-1,1,-2,2,-3,3，现把它们正面朝下洗匀，随机摆放在桌面上。从中任意抽出1张，记卡片上的数为m，则数m使分式方程$\frac{x-m}{x-2}+\frac{1}{x}=1$无解的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
答案 $\frac{1}{3}$
解析 分式方程两边同时乘$x(x-2)$,得$x(x-m)+(x-2)=x(x-2)$,整理得$(3-m)x=2$,
∵分式方程无解,
∴有以下两种情况:
①整式方程无解,即$3-m=0$,解得$m=3$;
②分式方程有增根,即$x=0$或$x=2$,
当$x=0$时,不存在符合的m值;当$x=2$时,$m=2$.
结合题意可知一共有6种等可能的结果,其中使分式方程无解的结果有2种,
∴数m使分式方程$\frac{x-m}{x-2}+\frac{1}{x}=1$无解的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析 分式方程两边同时乘$x(x-2)$,得$x(x-m)+(x-2)=x(x-2)$,整理得$(3-m)x=2$,
∵分式方程无解,
∴有以下两种情况:
①整式方程无解,即$3-m=0$,解得$m=3$;
②分式方程有增根,即$x=0$或$x=2$,
当$x=0$时,不存在符合的m值;当$x=2$时,$m=2$.
结合题意可知一共有6种等可能的结果,其中使分式方程无解的结果有2种,
∴数m使分式方程$\frac{x-m}{x-2}+\frac{1}{x}=1$无解的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是分式方程知识与概率计算结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步，明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值），分两种情况求出对应的m值；第三步，统计给定的6个数值中符合条件的m的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x-2)$，去分母得：
$x(x-m)+(x-2)=x(x-2)$
展开整理得：$x^2 - mx + x - 2 = x^2 - 2x$，消去$x^2$后合并同类项得$(3 - m)x = 2$
分式方程无解分两种情况讨论：
① 整式方程无解：当整式方程未知数的系数为0时，方程无解，即$3 - m = 0$，解得$m = 3$；
② 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式分母为0时$x=0$或$x=2$，
把$x=0$代入$(3 - m)x = 2$，得$0=2$，不成立，无符合条件的m；
把$x=2$代入$(3 - m)x = 2$，得$2(3 - m)=2$，解得$m=2$。
综上，能使分式方程无解的m值为2和3，共2个。
已知抽取卡片共有6种等可能的结果，因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程无解判定，简单概率计算，增根的概念
【点评】
本题属于跨知识点基础题，易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，仅考虑增根导致漏解，需要学生熟练掌握分式方程无解的两类情形，结合概率公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是分式方程知识与概率计算结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程；第二步，明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值），分两种情况求出对应的m值；第三步，统计给定的6个数值中符合条件的m的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x-2)$，去分母得：
$x(x-m)+(x-2)=x(x-2)$
展开整理得：$x^2 - mx + x - 2 = x^2 - 2x$，消去$x^2$后合并同类项得$(3 - m)x = 2$
分式方程无解分两种情况讨论：
① 整式方程无解：当整式方程未知数的系数为0时，方程无解，即$3 - m = 0$，解得$m = 3$；
② 整式方程的解是原分式方程的增根：原分式分母为0时$x=0$或$x=2$，
把$x=0$代入$(3 - m)x = 2$，得$0=2$，不成立，无符合条件的m；
把$x=2$代入$(3 - m)x = 2$，得$2(3 - m)=2$，解得$m=2$。
综上，能使分式方程无解的m值为2和3，共2个。
已知抽取卡片共有6种等可能的结果，因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程无解判定，简单概率计算，增根的概念
【点评】
本题属于跨知识点基础题，易错点是容易遗漏整式方程本身无解的情况，仅考虑增根导致漏解，需要学生熟练掌握分式方程无解的两类情形，结合概率公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
3.已知有9张卡片,正面分别写有1到9这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为a,则使关于x的不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解的概率为 ______ .
答案
答案 $\frac{4}{9}$
解析 不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$变形为$\begin{cases}x≥3, \\x＜\frac{2a-1}{3},\end{cases}$
∵不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解,$\therefore \frac{2a-1}{3}＞3$,
解得$a＞5$,
∴当$a=6,7,8,9$时,不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解,
∴使关于x的不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解的概率为$\frac{4}{9}$.
解析 不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$变形为$\begin{cases}x≥3, \\x＜\frac{2a-1}{3},\end{cases}$
∵不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解,$\therefore \frac{2a-1}{3}＞3$,
解得$a＞5$,
∴当$a=6,7,8,9$时,不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解,
∴使关于x的不等式组$\begin{cases}4x≥3(x+1), \\3x＜2a-1\end{cases}$有解的概率为$\frac{4}{9}$.
解析
【分析】
这是一元一次不等式组与概率结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，明确总共有9种等可能的抽取结果，即a的取值为1到9的整数；第二步，分别求解不等式组中的两个不等式，再根据“不等式组有解即两个不等式的解集存在公共部分”的判定规则，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；第三步，统计取值范围内a的个数，用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
首先求解不等式组：
1. 解不等式$4x≥3(x+1)$，去括号得$4x≥3x+3$，移项化简得$x≥3$；
2. 解不等式$3x＜2a-1$，系数化为1得$x＜\frac{2a-1}{3}$。
因为不等式组有解，说明两个不等式的解集有公共部分，因此$\frac{2a-1}{3}＞3$（若$\frac{2a-1}{3}=3$，则$x≥3$且$x＜3$，无公共解）。
解上述关于a的不等式：
两边同乘3得$2a-1＞9$，移项得$2a＞10$，解得$a＞5$。
已知a是1到9的整数，符合$a＞5$的取值为6、7、8、9，共4种。
总共有9种等可能的抽取结果，因此所求概率为符合条件的情况数除以总情况数，即$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，概率公式，不等式组解集判定
【点评】
本题考查不等式组与概率的综合应用，解题的关键是准确把握不等式组有解的条件，避免忽略等号问题导致参数范围求解错误，再结合古典概型的计算方法即可得出结果。
【难度系数】
0.6
这是一元一次不等式组与概率结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，明确总共有9种等可能的抽取结果，即a的取值为1到9的整数；第二步，分别求解不等式组中的两个不等式，再根据“不等式组有解即两个不等式的解集存在公共部分”的判定规则，建立关于a的不等式，求出a的取值范围；第三步，统计取值范围内a的个数，用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
首先求解不等式组：
1. 解不等式$4x≥3(x+1)$，去括号得$4x≥3x+3$，移项化简得$x≥3$；
2. 解不等式$3x＜2a-1$，系数化为1得$x＜\frac{2a-1}{3}$。
因为不等式组有解，说明两个不等式的解集有公共部分，因此$\frac{2a-1}{3}＞3$（若$\frac{2a-1}{3}=3$，则$x≥3$且$x＜3$，无公共解）。
解上述关于a的不等式：
两边同乘3得$2a-1＞9$，移项得$2a＞10$，解得$a＞5$。
已知a是1到9的整数，符合$a＞5$的取值为6、7、8、9，共4种。
总共有9种等可能的抽取结果，因此所求概率为符合条件的情况数除以总情况数，即$\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，概率公式，不等式组解集判定
【点评】
本题考查不等式组与概率的综合应用，解题的关键是准确把握不等式组有解的条件，避免忽略等号问题导致参数范围求解错误，再结合古典概型的计算方法即可得出结果。
【难度系数】
0.6
4.四张纸片上分别写了如下四个不等式中的一个不等式，A.$x+2＜0$；B.$-x＞1$；C.$2x-1＞0$；D.$-\dfrac{x}{4}＞-1$.先闭上眼睛随意抽出一张纸片，所得到的不等式与不等式E.$\dfrac{x-1}{2}-1＞-\dfrac{1}{2}$组成一个不等式组.
(1)能组成无解不等式组的概率是多少？
(2)能组成解集只有一个整数解的不等式组的概率是多少？
(3)所组成的不等式组中，其解集与不等式E的解集相同的概率会比(1)中的概率大吗？为什么？
(1)能组成无解不等式组的概率是多少？
(2)能组成解集只有一个整数解的不等式组的概率是多少？
(3)所组成的不等式组中，其解集与不等式E的解集相同的概率会比(1)中的概率大吗？为什么？
答案
解析 解不等式$x+2＜0$,得$x＜-2$;解不等式$-x＞1$,得$x＜-1$;解不等式$2x-1＞0$,得$x＞\frac{1}{2}$;解不等式$-\frac{x}{4}＞-1$,得$x＜4$;解不等式$\frac{x-1}{2}-1＞-\frac{1}{2}$,得$x＞2$.
(1)因为不等式A与不等式E组成的不等式组无解,不等式B与不等式E组成的不等式组无解,所以能组成无解不等式组的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)因为不等式D与不等式E组成的不等式组的解集只有一个整数解,所以能组成解集只有一个整数解的不等式组的概率是$\frac{1}{4}$.
(3)因为不等式C与不等式E组成的不等式组的解集为$x＞2$,不等式D与不等式E组成的不等式组的解集为$2＜x＜4$,所以所组成的不等式组中,其解集与不等式E的解集相同的概率是$\frac{1}{4}$,没有(1)中的概率大.
(1)因为不等式A与不等式E组成的不等式组无解,不等式B与不等式E组成的不等式组无解,所以能组成无解不等式组的概率是$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)因为不等式D与不等式E组成的不等式组的解集只有一个整数解,所以能组成解集只有一个整数解的不等式组的概率是$\frac{1}{4}$.
(3)因为不等式C与不等式E组成的不等式组的解集为$x＞2$,不等式D与不等式E组成的不等式组的解集为$2＜x＜4$,所以所组成的不等式组中,其解集与不等式E的解集相同的概率是$\frac{1}{4}$,没有(1)中的概率大.
解析
【分析】
解题时首先要分别求出A、B、C、D、E五个一元一次不等式的解集，再结合不等式组解集的判定规则，依次判断四个不等式分别与E组成不等式组后的解集情况。由于抽取每张纸片是等可能事件，总共有4种等可能的结果，因此分别统计各小问中符合要求的结果数，再根据概率公式（概率=符合要求的结果数÷总结果数）计算对应概率，最后完成第三问的大小比较即可。
【解析】
首先分别求解各不等式的解集：
解不等式A：$x+2＜0$，得$x＜-2$；
解不等式B：$-x＞1$，得$x＜-1$；
解不等式C：$2x-1＞0$，得$x＞\frac{1}{2}$；
解不等式D：$-\dfrac{x}{4}＞-1$，两边同乘$-4$，不等号方向改变，得$x＜4$；
解不等式E：$\dfrac{x-1}{2}-1＞-\dfrac{1}{2}$，两边同乘$2$得$x-1-2＞-1$，化简得$x＞2$。
(1) 要使不等式组无解，需两个不等式的解集无公共部分：
A与E组成的不等式组无解，B与E组成的不等式组无解，C、D与E组成的不等式组均有解，符合无解的情况共2种，因此概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 要使不等式组解集只有一个整数解：
A、B与E组成的不等式组均无解，C与E组成的不等式组解集为$x＞2$，整数解有无数个，只有D与E组成的不等式组解集为$2＜x＜4$，仅有的整数解为$x=3$，符合要求的情况共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(3) 要使组成的不等式组解集与E的解集（$x＞2$）相同：
只有C与E组成的不等式组解集为$x＞2$，与E解集相同，符合条件的情况共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$，因为$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$，所以该概率比(1)中的概率小。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) $\dfrac{1}{4}$
(3) 不会，解集与E相同的概率为$\dfrac{1}{4}$，小于(1)中的概率$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集判定
3. 古典概型计算
【点评】
本题是不等式与概率的综合应用题，需要先准确求解每个不等式的解集，再根据不等式组解集的取法规则判断不同组合的解集情况，既考察了不等式的基础运算能力，也考察了概率公式的应用，需要注意求解带负系数的不等式时不等号方向要正确改变。
【难度系数】
0.6
解题时首先要分别求出A、B、C、D、E五个一元一次不等式的解集，再结合不等式组解集的判定规则，依次判断四个不等式分别与E组成不等式组后的解集情况。由于抽取每张纸片是等可能事件，总共有4种等可能的结果，因此分别统计各小问中符合要求的结果数，再根据概率公式（概率=符合要求的结果数÷总结果数）计算对应概率，最后完成第三问的大小比较即可。
【解析】
首先分别求解各不等式的解集：
解不等式A：$x+2＜0$，得$x＜-2$；
解不等式B：$-x＞1$，得$x＜-1$；
解不等式C：$2x-1＞0$，得$x＞\frac{1}{2}$；
解不等式D：$-\dfrac{x}{4}＞-1$，两边同乘$-4$，不等号方向改变，得$x＜4$；
解不等式E：$\dfrac{x-1}{2}-1＞-\dfrac{1}{2}$，两边同乘$2$得$x-1-2＞-1$，化简得$x＞2$。
(1) 要使不等式组无解，需两个不等式的解集无公共部分：
A与E组成的不等式组无解，B与E组成的不等式组无解，C、D与E组成的不等式组均有解，符合无解的情况共2种，因此概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 要使不等式组解集只有一个整数解：
A、B与E组成的不等式组均无解，C与E组成的不等式组解集为$x＞2$，整数解有无数个，只有D与E组成的不等式组解集为$2＜x＜4$，仅有的整数解为$x=3$，符合要求的情况共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$。
(3) 要使组成的不等式组解集与E的解集（$x＞2$）相同：
只有C与E组成的不等式组解集为$x＞2$，与E解集相同，符合条件的情况共1种，因此概率为$\frac{1}{4}$，因为$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}$，所以该概率比(1)中的概率小。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$
(2) $\dfrac{1}{4}$
(3) 不会，解集与E相同的概率为$\dfrac{1}{4}$，小于(1)中的概率$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集判定
3. 古典概型计算
【点评】
本题是不等式与概率的综合应用题，需要先准确求解每个不等式的解集，再根据不等式组解集的取法规则判断不同组合的解集情况，既考察了不等式的基础运算能力，也考察了概率公式的应用，需要注意求解带负系数的不等式时不等号方向要正确改变。
【难度系数】
0.6
5.有5张正面分别写有数-3,-1,2,3,4的卡片,5张卡片除了数不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数为a,抽取后不放回,再从中抽取一张,记卡片上的数为b,则抽取的数a,b能使一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限的概率为
$\frac{3}{10}$
.答案
答案 $\frac{3}{10}$
解析 画树状图如图所示：
由树状图可知共有20种等可能的结果,其中抽取的数a,b能使一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、三象限的有6种,
∴符合条件的概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象经过第一、二、三象限的性质：当一次函数$y=ax+b$的斜率$a＞0$，且截距$b＞0$时，图象过第一、二、三象限。接下来明确本题是不放回抽取试验，需要先计算所有等可能的抽取结果总数，再筛选出满足$a＞0$、$b＞0$的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、三象限的条件为：$\begin{cases}a＞0 \\ b＞0\end{cases}$。
根据题意，抽取卡片为不放回试验，画树状图如下：
由树状图可知，共有$5×4=20$种等可能的结果。
其中满足$a＞0$且$b＞0$的结果有：$(2,3)$、$(2,4)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,2)$、$(4,3)$，共6种。
∴所求概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，树状图法求概率
【点评】
本题是概率与一次函数的综合题，解题核心是先明确一次函数图象经过指定象限的参数取值要求，再准确统计总结果数和符合条件的结果数，代入概率公式即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆一次函数图象经过第一、二、三象限的性质：当一次函数$y=ax+b$的斜率$a＞0$，且截距$b＞0$时，图象过第一、二、三象限。接下来明确本题是不放回抽取试验，需要先计算所有等可能的抽取结果总数，再筛选出满足$a＞0$、$b＞0$的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
解：一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、三象限的条件为：$\begin{cases}a＞0 \\ b＞0\end{cases}$。
根据题意，抽取卡片为不放回试验，画树状图如下：
由树状图可知，共有$5×4=20$种等可能的结果。
其中满足$a＞0$且$b＞0$的结果有：$(2,3)$、$(2,4)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,2)$、$(4,3)$，共6种。
∴所求概率为$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，树状图法求概率
【点评】
本题是概率与一次函数的综合题，解题核心是先明确一次函数图象经过指定象限的参数取值要求，再准确统计总结果数和符合条件的结果数，代入概率公式即可求解。
【难度系数】
0.6
6.「2026江苏南通海门一模」在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.
(1)用列表法或画树状图法表示出$(x,y)$的所有可能出现的结果.
(2)求小明,小华各取一次小球所确定的点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的概率.
(3)求小明,小华各取一次小球所确定的数$x,y$满足$y＜\frac{4}{x}$的概率.
(1)用列表法或画树状图法表示出$(x,y)$的所有可能出现的结果.
(2)求小明,小华各取一次小球所确定的点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的概率.
(3)求小明,小华各取一次小球所确定的数$x,y$满足$y＜\frac{4}{x}$的概率.
答案
解析 (1)$(x,y)$所有可能出现结果如下表.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
(2)由表可知,共有16种等可能的结果,其中点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的结果有3种,分别是$(1,4),(2,2),(4,1)$,
∴点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的概率是$\frac{3}{16}$.
(3)由表可知,共有16种等可能的结果,其中x,y满足$y＜\frac{4}{x}$的结果有5种,分别是$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$,
∴x,y满足$y＜\frac{4}{x}$的概率是$\frac{5}{16}$.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) |
(2)由表可知,共有16种等可能的结果,其中点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的结果有3种,分别是$(1,4),(2,2),(4,1)$,
∴点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的概率是$\frac{3}{16}$.
(3)由表可知,共有16种等可能的结果,其中x,y满足$y＜\frac{4}{x}$的结果有5种,分别是$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$,
∴x,y满足$y＜\frac{4}{x}$的概率是$\frac{5}{16}$.
解析
【分析】
这是概率与反比例函数结合的基础题，解题思路如下：
1. 第一问属于有放回的两次抽取，每次抽取都有4种等可能结果，适合用列表法清晰列举出$(x,y)$的所有组合，确保结果不重不漏；
2. 第二问先明确反比例函数图象上的点满足$xy=4$，从第一问列举的所有结果中筛选出符合该条件的结果，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；
3. 第三问先将不等式$y＜\frac{4}{x}$转化为$xy＜4$（$x$为正整数，不等号方向不变），再从所有结果中筛选出符合该不等式的结果，同样用概率公式计算。
【解析】
(1) 用列表法表示$(x,y)$的所有可能出现的结果如下：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
所有等可能的结果共16种。
(2) 若点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，则$xy=4$，从表中可得符合条件的结果有3种，分别是$(1,4),(2,2),(4,1)$，
∴所求概率$P=\frac{3}{16}$。
(3) 由$y＜\frac{4}{x}$，且$x$为正整数，可得$xy＜4$，从表中可得符合条件的结果有5种，分别是$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$，
∴所求概率$P=\frac{5}{16}$。
【答案】
(1) 所有可能结果为：$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$；
(2) $\frac{3}{16}$；
(3) $\frac{5}{16}$
【知识点】
列表法求概率，反比例函数图象性质，概率计算公式
【点评】
本题是概率与函数结合的常规综合题，核心是通过列表法准确列举所有等可能的结果，再结合反比例函数的相关性质筛选符合要求的结果，最后用概率公式计算即可，解题时需注意本题是有放回抽取，避免错算总结果数。
【难度系数】
0.7
这是概率与反比例函数结合的基础题，解题思路如下：
1. 第一问属于有放回的两次抽取，每次抽取都有4种等可能结果，适合用列表法清晰列举出$(x,y)$的所有组合，确保结果不重不漏；
2. 第二问先明确反比例函数图象上的点满足$xy=4$，从第一问列举的所有结果中筛选出符合该条件的结果，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可；
3. 第三问先将不等式$y＜\frac{4}{x}$转化为$xy＜4$（$x$为正整数，不等号方向不变），再从所有结果中筛选出符合该不等式的结果，同样用概率公式计算。
【解析】
(1) 用列表法表示$(x,y)$的所有可能出现的结果如下：
| $x\backslash y$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| 3 | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| 4 | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
所有等可能的结果共16种。
(2) 若点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，则$xy=4$，从表中可得符合条件的结果有3种，分别是$(1,4),(2,2),(4,1)$，
∴所求概率$P=\frac{3}{16}$。
(3) 由$y＜\frac{4}{x}$，且$x$为正整数，可得$xy＜4$，从表中可得符合条件的结果有5种，分别是$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$，
∴所求概率$P=\frac{5}{16}$。
【答案】
(1) 所有可能结果为：$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$；
(2) $\frac{3}{16}$；
(3) $\frac{5}{16}$
【知识点】
列表法求概率，反比例函数图象性质，概率计算公式
【点评】
本题是概率与函数结合的常规综合题，核心是通过列表法准确列举所有等可能的结果，再结合反比例函数的相关性质筛选符合要求的结果，最后用概率公式计算即可，解题时需注意本题是有放回抽取，避免错算总结果数。
【难度系数】
0.7
