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初中数学
九年级
全一册
7.「2026江苏扬州邗江期末」如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$，现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出$π$的近似值是
九年级
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7.「2026江苏扬州邗江期末」如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$，现将40个点均匀投入该三角形，落在内切圆中的点有22个，则由以上数据可以估算出$π$的近似值是
$\frac{33}{10}$
。答案
答案 $\frac{33}{10}$
解析 $\because AB=6,BC=8,AC=10,6^2+8^2=10^2$,$\therefore △ ABC$是直角三角形,设内切圆的半径为r,则$\frac{1}{2}×(6+8+10)r=\frac{1}{2}×6×8$,解得$r=2$,
$\because$ 将40个点均匀投入该三角形,落在内切圆中的点有22个,$\therefore \frac{π×2^2}{\frac{1}{2}×6×8}≈\frac{22}{40}$,$\therefore π≈\frac{33}{10}$.
解析 $\because AB=6,BC=8,AC=10,6^2+8^2=10^2$,$\therefore △ ABC$是直角三角形,设内切圆的半径为r,则$\frac{1}{2}×(6+8+10)r=\frac{1}{2}×6×8$,解得$r=2$,
$\because$ 将40个点均匀投入该三角形,落在内切圆中的点有22个,$\therefore \frac{π×2^2}{\frac{1}{2}×6×8}≈\frac{22}{40}$,$\therefore π≈\frac{33}{10}$.
解析
【分析】
解题时首先根据三角形三边的长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，计算出三角形的面积；接下来用面积法求出内切圆的半径，得到内切圆的面积；然后根据频率估计概率的原理，落在内切圆内的点的频率近似等于内切圆面积与△ABC面积的比值，据此列出关于π的方程，求解即可得到π的近似值。
【解析】
解：
∵$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×(6+8+10)r=24$，
解得$r=2$，
∴内切圆面积$S_圆=π r^2=4π$。
由题意可知，投入点落在内切圆的频率为$\frac{22}{40}$，根据频率估计概率的规律，该频率近似等于内切圆面积与三角形面积的比，即：
$\frac{S_圆}{S_{△ ABC}}\approx\frac{22}{40}$，
代入得$\frac{4π}{24}\approx\frac{22}{40}$，
化简求解得$π\approx\frac{33}{10}$。
【答案】
$\frac{33}{10}$
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内切圆、频率估计概率
【点评】
本题结合了几何计算与概率统计的知识，解题核心是明确频率和面积比的对应关系，同时需要熟练掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形三边的长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，计算出三角形的面积；接下来用面积法求出内切圆的半径，得到内切圆的面积；然后根据频率估计概率的原理，落在内切圆内的点的频率近似等于内切圆面积与△ABC面积的比值，据此列出关于π的方程，求解即可得到π的近似值。
【解析】
解：
∵$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
设内切圆半径为$r$，根据三角形面积与内切圆半径的关系：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×(6+8+10)r=24$，
解得$r=2$，
∴内切圆面积$S_圆=π r^2=4π$。
由题意可知，投入点落在内切圆的频率为$\frac{22}{40}$，根据频率估计概率的规律，该频率近似等于内切圆面积与三角形面积的比，即：
$\frac{S_圆}{S_{△ ABC}}\approx\frac{22}{40}$，
代入得$\frac{4π}{24}\approx\frac{22}{40}$，
化简求解得$π\approx\frac{33}{10}$。
【答案】
$\frac{33}{10}$
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内切圆、频率估计概率
【点评】
本题结合了几何计算与概率统计的知识，解题核心是明确频率和面积比的对应关系，同时需要熟练掌握直角三角形内切圆半径的计算方法，能较好地考察知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,已知$\odot D$经过原点$O$,与$x$轴,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,点$B$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$,点$C$为$\odot D$上的一点,已知$∠ OCA=30°$.现假设可以随意在$\odot D$中取点,则这个点取在阴影部分的概率是
$\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$
.答案
答案 $\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$
解析 如图,连接AB,
$\because ∠AOB=90°$
$\therefore AB$是直径.
$\because ∠C=30°$,
$\therefore ∠OBA=30°$,
$\therefore AB=2OA$.
$\because OB=2\sqrt{3}$,
$\therefore (2\sqrt{3})^2+OA^2=(2OA)^2$,
$\therefore OA=2$,$\therefore AB=4$,$\therefore AD=2$,
$\therefore S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABO}=\frac{π×2^2}{2}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2π-2\sqrt{3}$,$\odot D$的面积$=4π$.
$\therefore$ 这个点取在阴影部分的概率是$\frac{2π-2\sqrt{3}}{4π}=\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$.
解析
【分析】
本题属于面积型几何概率问题，求解核心是先计算阴影部分面积和$\odot D$的总面积，再用阴影面积除以圆的总面积得到概率。解题思路如下：第一步，根据$∠ AOB=90°$，结合“90°的圆周角所对的弦是直径”，可判断$AB$是$\odot D$的直径；第二步，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ OBA=∠ OCA=30°$，结合已知$OB$的长度，利用勾股定理求出$OA$、$AB$的长度，即可得到圆的半径；第三步，观察图形可知阴影部分面积等于半圆面积减去$△ ABO$的面积，分别计算两部分面积后，代入概率公式求解即可。
【解析】
如图，连接$AB$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore AB$是$\odot D$的直径。
$\because ∠ OCA$和$∠ OBA$都是弧$OA$所对的圆周角，
$\therefore ∠ OBA=∠ OCA=30°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=2OA$。
已知点$B$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$，故$OB=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$OB^2+OA^2=AB^2$，
代入得：$(2\sqrt{3})^2+OA^2=(2OA)^2$，
解得$OA=2$，$\therefore AB=4$，即$\odot D$的半径$r=2$。
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABO}=\frac{1}{2}π×2^2-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2π-2\sqrt{3}$，
$\odot D$的总面积：$S_{\odot D}=π×2^2=4π$，
$\therefore$ 这个点取在阴影部分的概率是$\frac{2π-2\sqrt{3}}{4π}=\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$。
【答案】
$\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$
【知识点】
圆周角定理，面积型概率，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质、直角三角形的性质以及几何概率的计算，解题的关键是正确作出辅助线确定圆的直径，再结合图形求出对应区域的面积，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于面积型几何概率问题，求解核心是先计算阴影部分面积和$\odot D$的总面积，再用阴影面积除以圆的总面积得到概率。解题思路如下：第一步，根据$∠ AOB=90°$，结合“90°的圆周角所对的弦是直径”，可判断$AB$是$\odot D$的直径；第二步，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠ OBA=∠ OCA=30°$，结合已知$OB$的长度，利用勾股定理求出$OA$、$AB$的长度，即可得到圆的半径；第三步，观察图形可知阴影部分面积等于半圆面积减去$△ ABO$的面积，分别计算两部分面积后，代入概率公式求解即可。
【解析】
如图，连接$AB$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore AB$是$\odot D$的直径。
$\because ∠ OCA$和$∠ OBA$都是弧$OA$所对的圆周角，
$\therefore ∠ OBA=∠ OCA=30°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，$AB=2OA$。
已知点$B$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$，故$OB=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$OB^2+OA^2=AB^2$，
代入得：$(2\sqrt{3})^2+OA^2=(2OA)^2$，
解得$OA=2$，$\therefore AB=4$，即$\odot D$的半径$r=2$。
阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{半圆}-S_{△ ABO}=\frac{1}{2}π×2^2-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2π-2\sqrt{3}$，
$\odot D$的总面积：$S_{\odot D}=π×2^2=4π$，
$\therefore$ 这个点取在阴影部分的概率是$\frac{2π-2\sqrt{3}}{4π}=\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$。
【答案】
$\frac{π-\sqrt{3}}{2π}$
【知识点】
圆周角定理，面积型概率，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的性质、直角三角形的性质以及几何概率的计算，解题的关键是正确作出辅助线确定圆的直径，再结合图形求出对应区域的面积，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
9.图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1,2,3,4,图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动，随机掷两次骰子，求棋子最终跳动到点C处的概率.
答案
解析 该正四面体骰子的各个面上的数字之和为$1+2+3+4=10$,
随机掷一次骰子,骰子向上三个面(除底面外)的数字之和共有4种情况:$10-4=6;10-3=7;10-2=8;10-1=9$.
根据题意画树状图如下：
由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中和为14最终到达点C处,有3种结果,
∴棋子最终跳动到点C处的概率为$\frac{3}{16}$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先推导掷一次骰子时向上三面和的可能值：正四面体四个面数字总和为$1+2+3+4=10$，向上三面的和等于总和减去底面数字，因此一次的和只能是6、7、8、9，共4种等可能结果；第二步确定到达C点需要的总步数：从A顺时针跳，跳2步到C，每跳6步回到A，因此总步数除以6余2时到达C，两次和的范围是12~18，此范围内仅14满足条件，即只需两次掷骰子的和为14即可；第三步用树状图枚举所有等可能结果，统计和为14的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
首先计算正四面体骰子四个面的数字总和：$1+2+3+4=10$，
随机掷一次骰子，向上三个面的数字和为总和减去底面数字，因此共有4种等可能的结果：$10-4=6$，$10-3=7$，$10-2=8$，$10-1=9$。
根据正六边形的跳动规则，从A点顺时针跳动，总步数除以6余2时最终到达C点，两次掷骰子的和的取值范围是$12∼18$，其中仅14满足除以6余2，即需两次的和为14。
根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次和为14的结果有3种，
因此棋子最终跳动到点C处的概率为$P=\frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，正多边形的性质
【点评】
本题将概率计算与立体图形、正多边形的性质相结合，需要先推导跳动步数的规律，再通过枚举法统计结果，考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步先推导掷一次骰子时向上三面和的可能值：正四面体四个面数字总和为$1+2+3+4=10$，向上三面的和等于总和减去底面数字，因此一次的和只能是6、7、8、9，共4种等可能结果；第二步确定到达C点需要的总步数：从A顺时针跳，跳2步到C，每跳6步回到A，因此总步数除以6余2时到达C，两次和的范围是12~18，此范围内仅14满足条件，即只需两次掷骰子的和为14即可；第三步用树状图枚举所有等可能结果，统计和为14的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
首先计算正四面体骰子四个面的数字总和：$1+2+3+4=10$，
随机掷一次骰子，向上三个面的数字和为总和减去底面数字，因此共有4种等可能的结果：$10-4=6$，$10-3=7$，$10-2=8$，$10-1=9$。
根据正六边形的跳动规则，从A点顺时针跳动，总步数除以6余2时最终到达C点，两次掷骰子的和的取值范围是$12∼18$，其中仅14满足除以6余2，即需两次的和为14。
根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两次和为14的结果有3种，
因此棋子最终跳动到点C处的概率为$P=\frac{3}{16}$。
【答案】
$\frac{3}{16}$
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，正多边形的性质
【点评】
本题将概率计算与立体图形、正多边形的性质相结合，需要先推导跳动步数的规律，再通过枚举法统计结果，考查学生的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10.「2025四川眉山中考」在科技的浪潮中,人工智能正以不可阻挡之势,深刻改变着我们的世界.某校社团开展以“智能之光,照见未来”为主题的探究活动,推荐了当前热门的4类人工智能软件A,B,C,D,每个学生可选择其中1类学习使用.为了解学生对软件的使用情况,随机抽取部分学生进行调查统计,并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图.
请根据图中信息,回答下列问题:
(1)这次抽取的学生总人数为
扇形统计图中A类软件所占圆心角为
(2)补全条形统计图.
(3)社团活动中表现最突出的有4人,其中有3人使用A类软件,有1人使用B类软件,现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示,请用画树状图法或列表法求出恰好抽到使用A,B两类软件各1人的概率.
请根据图中信息,回答下列问题:
(1)这次抽取的学生总人数为
200
;扇形统计图中A类软件所占圆心角为
144
度.(2)补全条形统计图.
(3)社团活动中表现最突出的有4人,其中有3人使用A类软件,有1人使用B类软件,现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示,请用画树状图法或列表法求出恰好抽到使用A,B两类软件各1人的概率.
答案
解析 (1)$40÷20\% =200$;$360°×\frac{80}{200}=144°$.
故答案为200;144.
(2)使用B类软件的人数为$200-80-20-40=60$.
补全条形统计图如图：
(3)由题意,列表如下:
| | A | A | A | B |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | A,A | A,A | A,B |
| A | A,A | | A,A | A,B |
| A | A,A | A,A | | A,B |
| B | B,A | B,A | B,A | |
由表可知,共12种等可能的结果,其中恰好抽到使用A,B两类软件各1人的结果有6种,
∴恰好抽到使用A,B两类软件各1人的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：先结合两幅统计图的公共信息，D类人数为40、占比20%，根据“总人数=部分量÷对应占比”计算总人数；再用A类人数除以总人数得到A类的占比，乘360°即可求出A类对应的圆心角度数。
2. 第(2)问解题思路：用总人数减去A、C、D三类的已知人数，得到B类人数，再将条形统计图中B类的柱子补充到对应高度即可。
3. 第(3)问解题思路：先明确4名学生的软件使用类别，用列表法枚举所有抽取2人的等可能结果，统计出“恰好抽到A、B类各1人”的结果数，根据概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率。
【解析】
(1) 由条形统计图可知，选择D类软件的学生有40人，由扇形统计图可知D类人数占总抽取人数的20%，因此抽取的学生总人数为：$40÷20\% =200$人；
A类软件人数为80人，因此扇形统计图中A类所占圆心角为：$360°×\frac{80}{200}=144°$。
(2) 选择B类软件的人数为总人数减去其余三类人数，即$200-80-20-40=60$人，补全条形统计图如图：
(3) 设3名使用A类软件的学生分别为A、A、A，1名使用B类软件的学生为B，列表如下：
| | A | A | A | B |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,A) | (A,A) | (A,B) |
| A | (A,A) | | (A,A) | (A,B) |
| A | (A,A) | (A,A) | | (A,B) |
| B | (B,A) | (B,A) | (B,A) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{200}$；$\boldsymbol{144}$
(2) 补全条形统计图如图：
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
统计图表综合应用；补全统计图；列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，既考查了从条形统计图、扇形统计图中提取对应数据计算的能力，也考查了用枚举法计算简单随机事件概率的方法，贴近实际应用，能很好地检验学生对基础统计概率知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问解题思路：先结合两幅统计图的公共信息，D类人数为40、占比20%，根据“总人数=部分量÷对应占比”计算总人数；再用A类人数除以总人数得到A类的占比，乘360°即可求出A类对应的圆心角度数。
2. 第(2)问解题思路：用总人数减去A、C、D三类的已知人数，得到B类人数，再将条形统计图中B类的柱子补充到对应高度即可。
3. 第(3)问解题思路：先明确4名学生的软件使用类别，用列表法枚举所有抽取2人的等可能结果，统计出“恰好抽到A、B类各1人”的结果数，根据概率公式“P=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算概率。
【解析】
(1) 由条形统计图可知，选择D类软件的学生有40人，由扇形统计图可知D类人数占总抽取人数的20%，因此抽取的学生总人数为：$40÷20\% =200$人；
A类软件人数为80人，因此扇形统计图中A类所占圆心角为：$360°×\frac{80}{200}=144°$。
(2) 选择B类软件的人数为总人数减去其余三类人数，即$200-80-20-40=60$人，补全条形统计图如图：
(3) 设3名使用A类软件的学生分别为A、A、A，1名使用B类软件的学生为B，列表如下：
| | A | A | A | B |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | | (A,A) | (A,A) | (A,B) |
| A | (A,A) | | (A,A) | (A,B) |
| A | (A,A) | (A,A) | | (A,B) |
| B | (B,A) | (B,A) | (B,A) | |
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，因此所求概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{200}$；$\boldsymbol{144}$
(2) 补全条形统计图如图：
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
统计图表综合应用；补全统计图；列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，既考查了从条形统计图、扇形统计图中提取对应数据计算的能力，也考查了用枚举法计算简单随机事件概率的方法，贴近实际应用，能很好地检验学生对基础统计概率知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
