1.「2025甘肃兰州中考」现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙两盒中随机抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字拼音的概率是（）

A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

列表如下：
| | a | e | i |
|---|---|---|---|
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
共有9种等可能的情况,其中刚好拼成“德”字拼音的情况有1种,故两张卡片刚好拼成“德”字拼音的概率为$\frac{1}{9}$.故选A.

【分析】
要解决这道概率题，可按以下思路思考：首先，该试验是分两步从两个盒子各抽1张卡片，所有抽取结果出现的可能性相等，我们可以通过列表法清晰列举出所有等可能的结果；其次，明确“德”的拼音为“de”，即对应甲盒抽“d”、乙盒抽“e”这1种符合条件的结果；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可得到所求概率。
【解析】
用列表法列举所有可能的抽取结果如下：
| | a | e | i |
|---|---|---|---|
| d | da | de | di |
| t | ta | te | ti |
| l | la | le | li |
由表格可知，共有9种等可能的抽取结果，其中两张卡片刚好拼成“德”字拼音（即结果为de）的情况有1种，根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{9}$。故选A。
【答案】A
【知识点】列表法求概率；概率公式；简单概率计算
【点评】
本题属于概率计算的基础常考题，核心考查用列举法求解等可能事件概率的方法，只要能准确列举所有结果、找准符合要求的事件数即可得分。
【难度系数】
0.8

2.「2025吉林长春中考」在功$W(\mathrm{J})$一定的条件下，功率$P(\mathrm{W})$与做功时间$t(\mathrm{s})$成反比例，$P(\mathrm{W})$与$t(\mathrm{s})$之间的函数关系如图所示.当$25≤ t≤40$时，$P$的值可以为 ()


A.24
B.27
C.45
D.50

设$P(\mathrm{W})$关于$t(\mathrm{s})$的函数解析式为$P=\frac{k}{t}(k≠0)$,
将$(60,20)$代入得$20=\frac{k}{60}$,解得$k=1\ 200$,
$\therefore P(\mathrm{W})$关于$t(\mathrm{s})$的函数解析式为$P=\frac{1\ 200}{t}$,
当$t=25$时,$P=\frac{1\ 200}{25}=48$;
当$t=40$时,$P=\frac{1\ 200}{40}=30$.
$\because k=1\ 200＞0$,
$\therefore$ 在第一象限内,$P$随着$t$的增大而减小,
$\therefore$ 当$25≤t≤40$时,$30≤P≤48$,
结合选项可知$P$的值可以为45.
故选C.

【分析】
首先，题目明确功率P与做功时间t成反比例，因此可先设反比例函数的一般解析式；再结合图像给出的已知点(60,20)，用待定系数法求出解析式中的未知系数k，得到完整的函数表达式；接下来，由于反比例函数k＞0时在第一象限内P随t的增大而减小，因此只需计算t=25和t=40时对应的P值，即可得到25≤t≤40时P的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
设$P(\mathrm{W})$关于$t(\mathrm{s})$的函数解析式为$P=\frac{k}{t}(k≠0)$，
将点$(60,20)$代入解析式得：$20=\frac{k}{60}$，解得$k=1200$，
因此$P$关于$t$的函数解析式为$P=\frac{1200}{t}$。
当$t=25$时，代入得$P=\frac{1200}{25}=48$；
当$t=40$时，代入得$P=\frac{1200}{40}=30$。
由于$k=1200＞0$，因此在第一象限内，$P$随$t$的增大而减小，
所以当$25≤ t≤40$时，$P$的取值范围是$30≤ P≤48$。
结合选项，只有45在该范围内，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理中功率、功与时间的关系考查反比例函数的实际应用，解题的核心是先通过已知点确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性确定因变量的取值范围，注重跨学科知识的融合，难度适中。
【难度系数】
0.7

3.「2025北京中考」如图，$\odot O$是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角$∠ IFH$（即平行于GD的光线HF与$\odot O$的切线FI所成的锐角）的大小为°.

答案 43
解析 如图,设直线$FI$与$OG$交于点$K$,

$\because ∠DOB=∠FOB=23.5°$,
$\therefore ∠KOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°$,
$\because FI$是$\odot O$的切线,
$\therefore ∠OFK=90°$,
$\therefore ∠FOK+∠OKF=90°$,
$\therefore ∠OKF=90°-47°=43°$,
$\because FH// OG$,
$\therefore ∠IFH=∠OKF=43°$.

【分析】
要解决这道题，我们可以按照转化角度的思路逐步推导：首先题目要求的是∠IFH的度数，已知FH平行于太阳光线GD，我们可以通过平行线的性质把∠IFH转化为和它相等的内错角，因此先作辅助线设FI与OG交于点K，此时∠IFH=∠OKF。接下来求∠OKF即可：FI是⊙O的切线，根据切线性质可知OF垂直FI，△OFK是直角三角形，两个锐角互余，只要算出∠KOF的度数就能求出∠OKF，再结合已知的两个23.5°角就能得到最终结果。
【解析】
如图，设直线$FI$与$OG$交于点$K$，

$\because ∠DOB=∠FOB=23.5°$,
$\therefore ∠KOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°$,
$\because FI$是$\odot O$的切线，切点为F,
$\therefore OF⊥ FI$，即$∠OFK=90°$,
在$\mathrm{Rt}△ OFK$中，直角三角形两锐角互余，
$\therefore ∠FOK+∠OKF=90°$,
$\therefore ∠OKF=90°-47°=43°$,
$\because FH// OG$,
$\therefore ∠IFH=∠OKF=43°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
43
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合太阳光照的实际场景命题，将几何知识和生活场景相结合，考查的都是基础几何知识点，解题的关键是合理作出辅助线，将所求角通过平行线的性质转化为直角三角形的内角求解，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

4.「2025山东中考」在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图所示的是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 （）


A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$

如图,连接$AB$,$DC$相交于点$O$,

$\because$ 正方形的内切圆的半径是2,
$\therefore AC=BC=4$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$,
$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ 阴影部分的面积$=π×(2\sqrt{2})^2-π×2^2=4π.$.
故选D.

【分析】
本题阴影部分为圆环，需用圆环面积公式$S_{圆环}=πR^2-πr^2$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径）求解。已知内圆（正方形内切圆）半径$r=2$，因此解题核心是求出外圆（正方形外接圆）半径$R$：首先根据内切圆半径求出正方形的边长，再利用勾股定理求出正方形的对角线长，外接圆直径等于正方形对角线长，即可得到$R$，最后代入公式计算即可。
【解析】
如图，连接$AB$、$DC$相交于点$O$，

$\because$ 正方形的内切圆的半径是2，
$\therefore$ 正方形的边长为$2×2=4$，即$AC=BC=4$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
$\therefore$ 正方形外接圆的半径$OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$，
阴影部分面积为外圆面积减去内圆面积，即：
$S_{阴影}=π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2=8π-4π=4π$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算；正方形与圆的位置关系；勾股定理
【点评】
本题结合传统文化玉璧的背景出题，既考查了几何相关的基础知识，也渗透了传统文化的内容。解题时只要明确内切圆、外接圆和正方形边长、对角线的关系，结合勾股定理和圆环面积公式即可求解，侧重对基础概念和公式应用的考查。
【难度系数】
0.8

5.「2025山东青岛中考」京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世,京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片,正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物,卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀,先随机抽取一张,再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果,并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.

解析 画树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能的结果,其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种,$\therefore$ 抽取到的两张卡片中有“生”的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

【分析】
本题为不放回的两步随机事件求概率问题，解题思路如下：首先明确两次抽取为不放回试验，第一次抽取有4种等可能结果，第二次抽取有3种等可能结果，我们通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的总结果；接下来在所有结果中筛选出两张卡片包含“生”的结果，统计符合条件的结果数；最后根据概率公式“$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$”计算所求概率即可。
【解析】
根据题意画树状图如下：

由树状图可知，本次试验一共有12种等可能的结果。
其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种，分别为：(生，旦)、(生，净)、(生，丑)、(旦，生)、(净，生)、(丑，生)。
代入概率公式计算得：$P(两张中有“生”)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
画树状图如下：

由树状图可知一共有12种等可能的结果,其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果有6种,$\therefore$ 抽取到的两张卡片中有“生”的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【知识点】
树状图法，概率计算，不放回抽样
【点评】
本题结合京剧文化背景考查概率的求解，核心是掌握用树状图列举不放回试验的所有等可能结果，再结合概率公式计算，既考查了数学知识的应用，也渗透了传统文化常识。
【难度系数】
0.8