21. (9分)如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=4,P是BC边上的动点.
(1)用尺规作出使PA+PD的值最小时点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求PA+PD的最小值.

21. (1)如图,点P即为所求.(3分)

(2)如图,过点D作DE⊥BC于点E.
∵ AD//BC,AB⊥BC,
∴ 四边形ABED是矩形.
∴ BE=AD=2.
∵ BC=CD=4,
∴ EC=2.
∴ AB=DE= $2\sqrt{3}$ .(6分)
∴ AA'=2AB= $4\sqrt{3}$ .
在Rt△AA'D中,由勾股定理,得
$A'D = \sqrt{AD^2 + AA'^2} = \sqrt{4 + 48} = 2\sqrt{13}$ .
∴ PA+PD的最小值为 $2\sqrt{13}$ .(9分)

22. (10分)如图,在$□ ABCD$中,E为AB的中点,F为ED的延长线上一点,连接AF,BF,过点B作$BG// AF$,交FE的延长线于点G,连接AG.
(1)求证:$△ AEF≌△ BEG.$

(2)已知(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),可证四边形AGBF是矩形,并证明你的结论.
条件①:$EF⊥ CD$;
条件②:$EF=\frac{1}{2}CD.$

22. (1)
∵ BG//AF,
∴ ∠AFE=∠BGE, ∠FAE=∠GBE.
∵ E是AB的中点,
∴ AE=BE.
在△AEF和△BEG中,
$\begin{cases} ∠AFE = ∠BGE, \\ ∠FAE = ∠GBE, \\ AE = BE, \end{cases}$
∴ △AEF≌△BEG(AAS).(4分)
(2)②(6分)
证明:由(1)知△AEF≌△BEG(AAS).
∴ AF=BG.
∵ AF//BG,
∴ 四边形AGBF是平行四边形.
∴ $EF = \frac{1}{2} FG$.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD.
∵ $EF = \frac{1}{2} CD$,
∴ $EF = \frac{1}{2} AB$.
∴ FG=AB.
∴ 四边形AGBF是矩形.(10分)