23. (10分)综合与实践
老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动. 将直角∠MEN的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上(点E不与A,C重合),其中直角边EM与BC交于点F,直角边EN与CD交于点G.

(1)猜想:如图①,当EF与BC垂直时,填空:EF(填“＞”“=”或“＜”)EG.
(2)类比:如图②,当EF与BC不垂直时,EF与EG之间的数量关系是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请给出证明.
(3)拓展:当EF与BC不垂直时,以EF,EG为邻边构造矩形EFHG,连接CH,请直接写出∠BCH的度数.

23. (1)=(2分)
(2)EF=EG的结论不变.(3分)
证明:如图①,过点E作EP⊥BC于点P,作EQ⊥CD于点Q.

∴ ∠EPF=∠EQG=∠EQC=90°.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BCD=90°,CA平分∠BCD.
∴ 四边形EPCQ是矩形,EP=EQ.
∴ ∠PEQ=90°.
∵ ∠FEG=90°,
∴ ∠PEQ-∠FEQ=∠FEG-∠FEQ,即∠PEF=∠QEG.
∴ △EPF≌△EQG(ASA).
∴ EF=EG.(6分)
(3)$135°$或$45°$.(10分)
【解析】由(2)知EF=EG,且四边形EFHG是矩形,
∴ 四边形EFHG是正方形.
如图②,过点H作HJ⊥CD于点J,作HK⊥BC,交BC的延长线于点K,则∠HJG=∠K=90°.
∴ FH=GH,∠FHG=∠EGH=∠EFH=90°.
在四边形EFCG中,∠EGC+∠GCF+∠CFE+∠FEG=360°,即∠EGC+90°+∠CFH+90°+90°=360°,
∴ ∠EGC+∠CFH=90°.
∵ ∠HGJ+∠EGC=∠EGH=90°,
∴ ∠CFH=∠HGJ.
∴ △HGJ≌△HFK(AAS).
∴ HJ=HK.
∵ HJ⊥CD,HK⊥BC,
∴ CH平分∠DCK.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BCD=∠DCK=90°.
∴ ∠DCH = $\frac{1}{2}$∠DCK=45°.
∴ ∠BCH=∠BCD+∠DCH=90°+45°=135°.

如图③,过点H作HJ⊥BC于点J,作HK⊥DK交DC的延长线于点K,则∠HJC=∠JCK=∠K=90°.
∴ 四边形HKCJ是矩形.
∴ ∠JFH+∠FHJ=90°=∠FHJ+∠JHG.
∴ ∠JFH=∠JHG.
∵ HJ//DK,
∴ ∠JHG=∠HGC.
∵ ∠HJF=∠K=90°,FH=HG,
∴ △FHJ≌△GHK(AAS).
∴ HJ=HK.
∴ 矩形HKCJ是正方形.
∵ CH是对角线,
∴ ∠BCH=45°.
∴ ∠BCH的度数为135°或45°.