19. (9分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(3,3)$,点$B(-3,1)$,点$C(1,-1)$.
(1)$AB$的长为;
(2)求证:$AC ⊥ BC$.

19. (1) $2\sqrt{10}$ (4分)
(2)
∵ A(3,3), B(-3,1), C(1,-1), 由勾股定理,得
$AC=2\sqrt{5}, BC=2\sqrt{5}, AB=2\sqrt{10}$ .
∵ $AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 =40$, $AB^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40$,
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$ .
∴ ∠ACB=90°.
∴ AC ⊥ BC .(9分)

20.(9分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,对角线AC与BD相交于点O,且点B,点D关于AC所在直线对称.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；

(2)过点D作BC的垂线交BC的延长线于点E,若CE=3,AD=5,求菱形ABCD的面积.

20. (1)
∵ 点B,点D关于AC所在直线对称,
∴ BD⊥AC, BO=DO.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABO=∠CDO.
在△ABO和△CDO中,
$\begin{cases} ∠ABO = ∠CDO, \\ BO = DO, \\ ∠AOB = ∠COD, \end{cases}$
∴ △ABO≌△CDO(ASA).
∴ AB=CD.
∵ AB//CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ BD⊥AC,
∴ 四边形ABCD是菱形.(5分)
(2)由(1)得四边形ABCD是菱形.
∴ CD=AD=5.
∵ DE⊥BC,
∴ ∠DEB=90°.
在Rt△CED中,由勾股定理,得
$DE = \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
∴ $S_{菱形ABCD}=BC·DE=5×4=20$.(9分)