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1. 抛物线$y=(x-a)^2+a-1$的顶点一定不在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
∵$y=(x-a)^2+a-1$,
∴该抛物线的顶点坐标为$(a,a-1)$. 当$a＞1$时,$a-1＞0$,此时顶点在第一象限,故A不符合题意; 当$0＜a＜1$时,$a-1＜0$,此时顶点在第四象限,故D不符合题意; 当$a＜0$时,$a-1＜0$,此时顶点在第三象限,故C不符合题意.
2. [2025威海] 已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2 + c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
2.C
3. 已知二次函数$y=a(x-1)^2 - a(a≠0)$，当$-1≤x≤4$时，$y$的最小值为$-4$，则$a$的值为（
A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
D
）A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
答案
3.D
4.把二次函数$y=x^2-2x+1$化为$y=a(x-h)^2+k$的形式，那么$h+k=$
1
.答案
4.1
5.在平面直角坐标系中，抛物线$y=2x^2+4x-1$不动，把x轴向下平移3个单位长度，y轴向左平移1个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为
$y=2x^2$
。答案
5.$y=2x^2$
6. 新考法数形结合法 二次函数 $ y = ax^2 + bx $ 的图象如图，则一次函数 $ y = x + b $ 的图象一定不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
6.D
7.[2025广州]在平面直角坐标系中,两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物线$y=ax^2 - 2ax(a＞0)$上,则下列结论中正确的是 (
A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＜0$时,则$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时,则$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＞0$时,则$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时,则$y_1＜y_2$
A
)A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＜0$时,则$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时,则$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＞0$时,则$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时,则$y_1＜y_2$
答案
7.A 【点拨】由$y=ax^2-2ax(a＞0)$知,该抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$. 把$x=1$代入$y=ax^2-2ax$,得$y=a-2a=-a$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-a)$.
∵两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,
∴当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＜0$时,$y_1＞0$(因$x＜0$时,抛物线在$x$轴上方),
∴$y_2＜0$,此时$0＜x_2＜2$. 故A选项的结论正确; 当$x_1＜x_2＜1$时,抛物线在$x＜1$时递减,故$x_2$越大,$y_2$越小,即$y_1＞y_2$,故B选项的结论错误; 当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故C选项的结论错误; 当$x_1＞x_2＞1$时,抛物线在$x＞1$时递增,故$x_1$越大,$y_1$越大,即$y_1＞y_2$,故D选项的结论错误. 故选A.
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-a)$.
∵两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,
∴当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＜0$时,$y_1＞0$(因$x＜0$时,抛物线在$x$轴上方),
∴$y_2＜0$,此时$0＜x_2＜2$. 故A选项的结论正确; 当$x_1＜x_2＜1$时,抛物线在$x＜1$时递减,故$x_2$越大,$y_2$越小,即$y_1＞y_2$,故B选项的结论错误; 当$x_1＜0$且$y_1 · y_2＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故C选项的结论错误; 当$x_1＞x_2＞1$时,抛物线在$x＞1$时递增,故$x_1$越大,$y_1$越大,即$y_1＞y_2$,故D选项的结论错误. 故选A.
8. [2025安徽] 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
8.C 【点拨】
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象开口向上,
∴$a＞0$.
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$,$a＞0$,
∴$-b＞0$,即$b＜0$.
∵抛物线与$y$轴的交点在负半轴,
∴$c＜0$.
∴$abc＞0$,故选项A错误;
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}$,由题图知对称轴$x＜1$,即$-\frac{b}{2a}＜1$. 又
∵$a＞0$,
∴两边乘$2a$,得$-b＜2a$,
∴$2a+b＞0$,故选项B错误; 当$x=-1$时,由题图可知$y=a-b+c＞0$,故选项D错误; 易知$4a-4b+4c＞0$. 当$x=2$时,$y=4a+2b+c=0$,
∴$(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)＜0$,整理,得$2b-c＜0$,故选项C正确.
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象开口向上,
∴$a＞0$.
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$,$a＞0$,
∴$-b＞0$,即$b＜0$.
∵抛物线与$y$轴的交点在负半轴,
∴$c＜0$.
∴$abc＞0$,故选项A错误;
∵对称轴$x=-\frac{b}{2a}$,由题图知对称轴$x＜1$,即$-\frac{b}{2a}＜1$. 又
∵$a＞0$,
∴两边乘$2a$,得$-b＜2a$,
∴$2a+b＞0$,故选项B错误; 当$x=-1$时,由题图可知$y=a-b+c＞0$,故选项D错误; 易知$4a-4b+4c＞0$. 当$x=2$时,$y=4a+2b+c=0$,
∴$(4a+2b+c)-(4a-4b+4c)＜0$,整理,得$2b-c＜0$,故选项C正确.
9. 新考法表格信息法 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$之间满足的数量关系如下表，则$(9a-3b+c)(a-b+c)$的值为
1200
。答案
9.1200
10. 新趋势学科内综合 已知抛物线$C:y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -1$，顶点为$D$，将$C$沿水平方向向右平移$m(m＞0)$个单位长度，得到抛物线$C_1$，顶点为$D_1$，$C$与$C_1$相交于点$Q$，若$∠ DQD_1=60°$，则$m$等于（
A.$4\sqrt{3}$
B.$\pm2\sqrt{3}$
C.$-2$或$2\sqrt{3}$
D.$-4$或$4\sqrt{3}$
A
）A.$4\sqrt{3}$
B.$\pm2\sqrt{3}$
C.$-2$或$2\sqrt{3}$
D.$-4$或$4\sqrt{3}$
答案
10.A 【点拨】抛物线$C:y=\frac{1}{2}(x-1)^2-1$沿水平方向向右平移$m$个单位长度得到抛物线$C_1:y=\frac{1}{2}(x-m-1)^2-1$,则$D(1,-1)$,$D_1(m+1,-1)$,易得$Q$点的横坐标为$\frac{m+2}{2}$,代入$y=\frac{1}{2}(x-1)^2-1$,得$y=\frac{m^2}{8}-1$,
∴$Q(\frac{m+2}{2},\frac{m^2}{8}-1)$,若$∠DQD_1=60°$,则易得$△DQD_1$是等边三角形,
∴$QD=DD_1=m$. 过点$Q$作$QF⊥DD_1$于点$F$,则$DF^2+QF^2=DQ^2$. 易知$DF=\frac{m+2}{2}-1=\frac{m}{2}$,$FQ=\frac{m^2}{8}-1+1=\frac{m^2}{8}$,
∴$(\frac{m}{2})^2+(\frac{m^2}{8})^2=m^2$,解得$m=0$或$m=±4\sqrt{3}$.
∵$m＞0$,
∴$m=4\sqrt{3}$.
∴$Q(\frac{m+2}{2},\frac{m^2}{8}-1)$,若$∠DQD_1=60°$,则易得$△DQD_1$是等边三角形,
∴$QD=DD_1=m$. 过点$Q$作$QF⊥DD_1$于点$F$,则$DF^2+QF^2=DQ^2$. 易知$DF=\frac{m+2}{2}-1=\frac{m}{2}$,$FQ=\frac{m^2}{8}-1+1=\frac{m^2}{8}$,
∴$(\frac{m}{2})^2+(\frac{m^2}{8})^2=m^2$,解得$m=0$或$m=±4\sqrt{3}$.
∵$m＞0$,
∴$m=4\sqrt{3}$.
11. 将二次函数$y=x^2 -2mx +m^2 +m +1$配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大。如图，在矩形ABCD中，点$A(-1,1)$，点$D(2,1)$，则二次函数$y=x^2 -2mx +m^2 +m +1$的图象与矩形ABCD有交点时，$m$的取值范围是 （
A.$-2≤ m≤0$
B.$\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}≤ m≤0$
C.$-2≤ m≤2$
D.$\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}≤ m≤2$
B
）A.$-2≤ m≤0$
B.$\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}≤ m≤0$
C.$-2≤ m≤2$
D.$\dfrac{-2-\sqrt{5}}{2}≤ m≤2$
答案
11.B 【点拨】将$y=x^2-2mx+m^2+m+1$配成顶点式为$y=(x-m)^2+m+1$,
∴此二次函数图象的顶点坐标是$(m,m+1)$,开口向上,开口大小一定,易知此二次函数图象的顶点在直线$y=x+1$上运动,
当二次函数的图象与矩形ABCD第一次有交点时,二次函数图象经过点$A(-1,1)$,此时$m$取最小值,将点$A(-1,1)$的坐标代入$y=x^2-2mx+m^2+m+1$得,$1+2m+m^2+m+1=1$,解得$m_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$,$m_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$(不合题意,舍去),∴$m$的最小值是$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$;
当二次函数图象与矩形ABCD最后一次有交点时,二次函数图象的顶点为矩形与$y$轴的交点,即点$(0,1)$,此时$m$取最大值,将点$(0,1)$的坐标代入$y=x^2-2mx+m^2+m+1$得,$m^2+m+1=1$,解得$m_1=0$,$m_2=-1$(不合题意,舍去),∴$m$的最大值是0. 综上,$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}≤m≤0$.
