登录
12. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(-\frac{3}{2},2),(\frac{5}{2},2)$,连接AB.若函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$的图象与线段AB有交点,则h的取值范围是
$-\frac{7}{2}≤ h≤ \frac{9}{2}$
.答案
12.$-\frac{7}{2}≤ h≤ \frac{9}{2}$ 【点拨】易知函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$的图象的对称轴为直线$x=h$,点A,B所在的直线为$y=2$.在$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$中,令$y=2$,则$\frac{1}{2}(x-h)^2=2$,解得$x_1=h-2,x_2=h+2$.当$x_2=-\frac{3}{2}$时,$h=-\frac{7}{2}$;当$x_2=\frac{5}{2}$时,$h=\frac{1}{2}$,即当$-\frac{7}{2}≤ h≤ \frac{1}{2}$时,抛物线右半部分$(x＞h)$与线段AB有交点.当$x_1=-\frac{3}{2}$时,$h=\frac{1}{2}$;当$x_1=\frac{5}{2}$时,$h=\frac{9}{2}$,即当$\frac{1}{2}≤ h≤ \frac{9}{2}$时,抛物线左半部分$(x＜h)$与线段AB有交点.$\therefore$当$-\frac{7}{2}≤ h≤ \frac{9}{2}$时,该函数的图象与线段AB有交点.
13. 如图，直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A$，且经过点$B$.
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$，使$PO+PB$的值最小，直接写出点$P$的坐标.
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上，求$m$的值.
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$，使$PO+PB$的值最小，直接写出点$P$的坐标.
答案
13.【解】(1)对于$y=-x-2$,当$x=0$时,$y=-2$;当$y=0$时,$x=-2$,$\therefore B(0,-2)$,$A(-2,0)$.$\because$抛物线的顶点为$A(-2,0)$,$\therefore y=a(x+2)^2$.又$\because$抛物线经过点$B(0,-2)$,$\therefore -2=4a$,解得$a=-\frac{1}{2}$,$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$.
(2)$\because$点$C(m,-\frac{9}{2})$在抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$上,$\therefore -\frac{1}{2}(m+2)^2=-\frac{9}{2}$,解得$m_1=1$,$m_2=-5$,$\therefore m$的值为1或-5.
(3)点P的坐标为$(-2,-1)$. 【点拨】
如图,设点B关于对称轴$x=-2$的对称点为$B'$,$\therefore$点$B'$的坐标为$(-4,-2)$.连接$OB'$交对称轴$x=-2$于点P,点P即为所求的点.易知直线$OB'$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$.联立,得$\begin{cases}x=-2,\\y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=-1.\end{cases}$ 故点P的坐标为$(-2,-1)$. 
14. 新视角存在性探究题 如图,已知二次函数图象的顶点坐标为$M(1,0)$,直线$y=x+m$与该二次函数的图象交于$A,B$两点,其中$A$点的坐标为$(3,4)$,$B$点在$y$轴上.
(1)求$m$的值及这个二次函数的表达式.
(2)连接$BM,AM$,求$△ MAB$的面积.
(3)若$P(a,0)$是$x$轴上的一个动点,过点$P$作$x$轴的垂线分别与直线$AB$、二次函数的图象交于$D,E$两点.
①当$0＜a＜3$时,求线段$DE$长度的最大值.
②若直线$AB$与抛物线的对称轴交于点$N$,问是否存在一点$P$,使以$M,N,D,E$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出此时点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$m$的值及这个二次函数的表达式.
(2)连接$BM,AM$,求$△ MAB$的面积.
(3)若$P(a,0)$是$x$轴上的一个动点,过点$P$作$x$轴的垂线分别与直线$AB$、二次函数的图象交于$D,E$两点.
①当$0＜a＜3$时,求线段$DE$长度的最大值.
②若直线$AB$与抛物线的对称轴交于点$N$,问是否存在一点$P$,使以$M,N,D,E$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出此时点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
14.【解】(1)设这个二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2$.$\because$点$A(3,4)$在抛物线上,$\therefore 4=a(3-1)^2$,解得$a=1$.$\therefore$这个二次函数的表达式为$y=(x-1)^2$.$\because$点$A(3,4)$也在直线$y=x+m$上,$\therefore 4=3+m$,解得$m=1$.
(2)对于$y=x+1$,当$x=1$时,$y=2$.$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×2×3=3$.
(3)①由题知点P的坐标为$(a,0)$,则易知点E的坐标为$(a,a^2-2a+1)$,点D的坐标为$(a,a+1)$,$\therefore DE=y_D-y_E=a+1-(a^2-2a+1)=-a^2+3a=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}(0＜a＜3)$.$\therefore$线段DE长度的最大值是$\frac{9}{4}$.
②点P的坐标是$(2,0)$或$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},0)$或$(\frac{3-\sqrt{17}}{2},0)$.
【点拨】存在一点P,使以M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形.$\because M(1,0)$,由(2)知$N(1,2)$,$\therefore MN=2$.要使以M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形,则$DE=MN=2$,易知$DE=|-a^2+3a|$,$\therefore 2=|-a^2+3a|$,解得$a_1=2$,$a_2=1$,$a_3=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$a_4=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.$\because$当$a=1$时,点P与点M重合,$\therefore a=1$舍去.$\therefore$点P的坐标是$(2,0)$或$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},0)$或$(\frac{3-\sqrt{17}}{2},0)$.
(2)对于$y=x+1$,当$x=1$时,$y=2$.$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}×2×3=3$.
(3)①由题知点P的坐标为$(a,0)$,则易知点E的坐标为$(a,a^2-2a+1)$,点D的坐标为$(a,a+1)$,$\therefore DE=y_D-y_E=a+1-(a^2-2a+1)=-a^2+3a=-(a-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}(0＜a＜3)$.$\therefore$线段DE长度的最大值是$\frac{9}{4}$.
②点P的坐标是$(2,0)$或$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},0)$或$(\frac{3-\sqrt{17}}{2},0)$.
【点拨】存在一点P,使以M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形.$\because M(1,0)$,由(2)知$N(1,2)$,$\therefore MN=2$.要使以M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形,则$DE=MN=2$,易知$DE=|-a^2+3a|$,$\therefore 2=|-a^2+3a|$,解得$a_1=2$,$a_2=1$,$a_3=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$a_4=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.$\because$当$a=1$时,点P与点M重合,$\therefore a=1$舍去.$\therefore$点P的坐标是$(2,0)$或$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},0)$或$(\frac{3-\sqrt{17}}{2},0)$.
