12. [2026 天津一中模拟] 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,0)$，且对称轴是直线$x=1$，则下列结论正确的有（）
①$a-b+c＜0$；
②$2a+b=0$；
③若$(m-2,y_1),(m,y_2)$是抛物线上的两点，则当$y_1＞y_2$时，$m$的取值范围是$m＞2$；
④若抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，当$m≤x≤4$时，函数$y$的最大值与最小值的差为6，则$m$的值为$1-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{3}$。

A.①②
B.②③
C.②④
D.②

12.B 【点拨】由函数图象可知,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,0)$,
∴$a-b+c=0$,故①错误;
∵抛物线的对称轴是直线$x=1$,
∴$x=-\frac{b}{2a}=1$,
∴$b=-2a$,
∴$2a+b=0$,故②正确;
∵抛物线开口向下,
∴离对称轴越近的点对应的$y$值越大. 又
∵$m-2＜m$,
∴点$(m-2,y_1)$在点$(m,y_2)$的左边. 当点$(m-2,y_1)$和点$(m,y_2)$都在对称轴左侧或点$(m-2,y_1)$在对称轴左侧,点$(m,y_2)$在顶点处时,则一定有$y_1＜y_2$. 当点$(m-2,y_1)$在对称轴左侧,点$(m,y_2)$在对称轴右侧时,
∵$y_1＞y_2$,
∴可得$0＜1-(m-2)＜m-1$,解得$2＜m＜3$,当点$(m-2,y_1)$和点$(m,y_2)$都在对称轴右侧或点$(m-2,y_1)$在顶点处,点$(m,y_2)$在对称轴右侧时,则一定有$y_1＞y_2$,此时$m-2≥1$,解得$m≥3$,综上所述,当$y_1＞y_2$时,$m$的取值范围是$m＞2$,故③正确;
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(-1,0)$,且对称轴是直线$x=1$,
∴抛物线与$x$轴的另一个交点坐标是$(3,0)$. 易知抛物线的表达式是$y=a(x+1)(x-3)$.
∵抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$,
∴$a×1×(-3)=3$,解得$a=-1$,
∴抛物线的表达式是$y=-(x+1)(x-3)$,整理,得$y=-(x-1)^2+4$,
∴抛物线的顶点坐标是$(1,4)$. 当$m=1-\sqrt{5}$时,$1-\sqrt{5}≤x≤4$,
∴当$x=1$时,函数$y$有最大值4,当$x=4$时,$y=-(x-1)^2+4=-5$,当$m=1-\sqrt{5}$时,$y=-(x-1)^2+4=-1$,此时函数的最大值是$y=4$,最小值是$y=-5$,最大值与最小值的差是$4-(-5)=4+5=9$; 当$m=1+\sqrt{3}$时,$1+\sqrt{3}≤x≤4$,当$x=1+\sqrt{3}$时,$y=-(x-1)^2+4=1$,当$x=4$时,$y=-(x-1)^2+4=-5$,此时函数的最大值是$y=1$,最小值是$y=-5$,最大值与最小值的差是$1-(-5)=1+5=6$,故④错误. 综上所述,正确的结论有②③.

13. 新考法 分类讨论法 如图，已知点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$在二次函数$y=a(x-2)^2-1(a＞0)$的图象上，且$x_2-x_1=3$。
(1)若二次函数的图象经过点$(3,1)$。
①求这个二次函数的表达式；
②若$y_1=y_2$，求顶点到直线$MN$的距离。
(2)当$x_1≤x≤x_2$时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点$M,N$在对称轴的异侧，请直接写出$a$的取值范围。

13.【解】(1)①
∵二次函数$y=a(x-2)^2-1(a＞0)$的图象经过点$(3,1)$,
∴$1=a-1$,解得$a=2$.
∴这个二次函数的表达式为$y=2(x-2)^2-1$.
②由①知,抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$,对称轴为直线$x=2$.
又
∵$y_1=y_2$,
∴点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$关于抛物线的对称轴对称.
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=2$.
又
∵$x_2-x_1=3$,
∴$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=\frac{7}{2}$.
当$x=\frac{1}{2}$时,$y_1=2(\frac{1}{2}-2)^2-1=\frac{7}{2}$.
∴当$y_1=y_2$时,顶点到直线$MN$的距离为$\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}$.
(2)$a$的取值范围为$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$. 【点拨】已知点$M,N$在对称轴的异侧,对称轴为直线$x=2$. 分两种情况讨论:
①若$y_1≥y_2$,则$x_2＞2$,且$2-x_1≥x_2-2$. 又
∵$x_2-x_1=3$,
∴$-1＜x_1≤\frac{1}{2}$.
∵函数的最大值为$y_1=a(x_1-2)^2-1$,最小值为$-1$,
∴$y_1-(-1)=1$,即$a(x_1-2)^2-1-(-1)=1$,解得$a=\frac{1}{(x_1-2)^2}$.
∵$-1＜x_1≤\frac{1}{2}$,
∴$\frac{9}{4}≤(x_1-2)^2＜9$.
∴$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$. ②若$y_1≤y_2$,同理可得$\frac{1}{2}≤x_1＜2$.
∵函数的最大值为$y_2=a(x_2-2)^2-1=a(x_1+1)^2-1$,最小值为$-1$,
∴$y_2-(-1)=1$,即$a(x_1+1)^2-1-(-1)=1$,解得$a=\frac{1}{(x_1+1)^2}$.
∵$\frac{1}{2}≤x_1＜2$,
∴$\frac{9}{4}≤(x_1+1)^2＜9$.
∴$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$.
综上所述,$a$的取值范围为$\frac{1}{9}＜a≤\frac{4}{9}$.

14. 新视角 存在性探究题 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过$(0,-3),(-b,c)$两点，其中$a,b,c$为常数，且$ab＞0$.
(1)$a=$，$c=$.
(2)若该二次函数的最小值是$-4$，且它的图象与$x$轴交于点$A,B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$.
①求该二次函数的表达式，并直接写出点$A,B$的坐标.
②如图，在$y$轴左侧该二次函数的图象上有一动点$P$，过点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$D$，与直线$AC$交于点$E$，连接$PC,CB,BE$. 是否存在点$P$，使$\frac{S_{△ PCE}}{S_{△ CBE}}=\frac{3}{8}$？若存在，请直接写出此时点$P$的横坐标；若不存在，请说明理由.

14.【解】(1)$1$;$-3$
(2)①
∵$a=1$,$c=-3$,
∴$y=x^2+bx-3$.
由(1)得二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2}$,
∴$y_{最小值}=(-\frac{b}{2})^2+b·(-\frac{b}{2})-3=-4$.
∴$b=±2$.
∵$ab＞0$,$a=1＞0$,
∴$b＞0$.
∴$b=2$.
∴该二次函数的表达式为$y=x^2+2x-3$.
∵该二次函数的图象与$x$轴交于$A,B$两点,且点$A$在点$B$的左侧,
∴易知$A(-3,0)$,$B(1,0)$.
②点$P$的横坐标为$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$.
【点拨】存在. 求解如下:设直线$AC$的表达式为$y=k_1x+b_1$,则$\begin{cases}-3k_1+b_1=0,\\b_1=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-1,\\b_1=-3,\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=-x-3$. 当点$P$在点$A$右侧时,过点$C$作$CF⊥PD$于点$F$, . 设$P(m,m^2+2m-3)(-3＜m＜0)$,则$E(m,-m-3)$,$D(m,0)$.
∴$PE=(-m-3)-(m^2+2m-3)=-m^2-3m$,$OD=0-m=-m$. 易知$OD=CF$,
∴$CF=-m$.
∴$S_{△PCE}=\frac{1}{2}PE·CF=\frac{1}{2}(-m^2-3m)·(-m)=\frac{1}{2}m(m^2+3m)$.
∵$AB=1-(-3)=4$,$OC=3$,$DE=0-(-m-3)=m+3$,
∴$S_{△CBE}=S_{△ABC}-S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·OC-\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×4×(m+3)=-2m$.
∵$\frac{S_{△PCE}}{S_{△CBE}}=\frac{3}{8}$,
∴$\frac{\frac{1}{2}m(m^2+3m)}{-2m}=\frac{3}{8}$,解得$m_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$,$m_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$.
∴点$P$的横坐标为$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$. 当点$P$在点$A$左侧时,过点$C$作$CF⊥PD$交$PD$延长线于点$F$, . 设$P(m,m^2+2m-3)(m＜-3)$,则$E(m,-m-3)$,$D(m,0)$,则$PE=(m^2+2m-3)-(-m-3)=m^2+3m$,$OD=0-m=-m$. 易知$OD=CF$,
∴$CF=-m$.
∴$S_{△PCE}=\frac{1}{2}PE·CF=\frac{1}{2}(m^2+3m)·(-m)=-\frac{1}{2}m(m^2+3m)$.
∵$AB=4$,$OC=3$,$DE=-m-3$,
∴$S_{△CBE}=S_{△ABC}+S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·OC+\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×4×3+\frac{1}{2}×4×(-m-3)=-2m$.
∴$\frac{S_{△PCE}}{S_{△CBE}}=\frac{3}{8}$,
∴$\frac{-\frac{1}{2}m(m^2+3m)}{-2m}=\frac{3}{8}$,解得$m_1=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$,$m_2=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$(舍去).
∴点$P$的横坐标为$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$. 综上所述,点$P$的横坐标为$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$.
【点方法】对于是否存在的探究问题,一般先假设存在,在存在的前提下求出结论,则说明存在,否则说明不存在.