1. [2026 天津东丽区期中] 如图，用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m. 设矩形菜园的边 AB 的长为 x m，面积为 S m²，其中 AD≥AB. 有下列结论：
①x 的取值范围为 $5≤ x≤10$；
②AB 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 $100\ \mathrm{m}^2$；
③矩形菜园 ABCD 的面积 S 的最大值为 $\dfrac{225}{2}$.
其中，正确结论的个数是 （）

A.0
B.1
C.2
D.3

（第1题）（第2题）

1.B 【点拨】$\because AB=x\ \mathrm{m},\therefore BC=(30-2x)\mathrm{m}.\because AD≥ AB,\therefore \begin{cases}30-2x≥ x,\\30-2x≤ 18,\end{cases}$解得$6≤ x≤ 10$，故①错误.依题意，得$S=x(30-2x)$，当$S=100$时，$x(30-2x)=100$，即$x^2-15x+50=0$，解得$x_1=10,x_2=5$.当$x_2=5$时，不在$6≤ x≤ 10$范围中，应舍去，当$x=10$时，满足题意.故②错误.$\because S=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-\dfrac{15}{2})^2+\dfrac{225}{2}$，$\therefore$当$x=7.5$时，$S$有最大值为$\dfrac{225}{2}$.故③正确，故选B.

2.用长为12 m的篱笆和一面足够长的墙围出一块苗圃.如图围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m²,则S的最大值为.

2.$12\sqrt{3}$ 【点拨】如图，连接$EC$，作$DF⊥ EC$，垂足为$F$，
$\because ∠ DCB=∠ CDE=∠ DEA,∠ EAB=∠ CBA=90°$，
$\therefore$结合五边形的内角和可得$∠ DCB=∠ CDE=∠ DEA=120°$.$\because DE=CD,\therefore ∠ DEC=∠ DCE=30°,\therefore ∠ CEA=∠ ECB=90°$，$\therefore$四边形$EABC$为矩形.$\because DE=x\ \mathrm{m}$，
$\therefore AE=(6-x)\mathrm{m},DF=\dfrac{1}{2}x\ \mathrm{m},EC=\sqrt{3}x\ \mathrm{m},\therefore S=\dfrac{1}{2}×\sqrt{3}x×\dfrac{1}{2}x+\sqrt{3}x·(6-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+6\sqrt{3}x-\sqrt{3}x^2=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x^2+6\sqrt{3}x=-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}(x-4)^2+12\sqrt{3}\ (0＜x＜6),\therefore$当$x=4$时，$S_{\mathrm{max}}=12\sqrt{3}$.

3.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙AB(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m.
(1)假设垂直于墙AB的一道墙长为x(m),饲养室面积为S(m²),求S关于x的函数关系式;
(2)求能建成的饲养室面积最大为多少平方米.

3.【解】(1)由题意得，$S=x(27+1× 3-3x)=-3x^2+30x$.
(2)由(1)知，$S=-3x^2+30x=-3(x-5)^2+75$，
$\because -3＜0$，
$\therefore$当$x=5$时，$S_{\mathrm{最大}}=75$.
答：能建成的饲养室面积最大为$75\ \mathrm{m}^2$.

4. 某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度$AE=1$ m的水池,且需保证总种植面积为$32\ \mathrm{m}^2$,试分别确定$CG,DG$的长.
(2)方案二:如图②,在Ⅰ区保留面积为$\frac{11}{4}\ \mathrm{m}^2$的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大,请问$BC$应设计为多长?此时最大总种植面积为多少?

4.【解】(1)$\because$围墙的长为12 m，
$\therefore$篱笆墙的宽为$AD=GH=BC=(21-12)÷ 3=3(\mathrm{m})$.
设$CG=a\ \mathrm{m}$，则$AH=DG=(12-a)\mathrm{m}$，由题意，得
$AD× DC-AE× AH=32\ \mathrm{m}^2$，
即$12× 3-1×(12-a)=32$，解得$a=8$，
$\therefore CG=8\ \mathrm{m},DG=4\ \mathrm{m}$.
(2)设围成的两块矩形总种植面积为$y\ \mathrm{m}^2$，$BC$长为$x\ \mathrm{m}$，
则$AD=HG=BC=x\ \mathrm{m},DC=(21-3x)\mathrm{m}$，
由题意，得$y=x·(21-3x)-\dfrac{11}{4}$，
$\therefore y=-3x^2+21x-\dfrac{11}{4}=-3(x-\dfrac{7}{2})^2+34$.
$\because 21-3x≤ 12,3x＜21,\therefore 3≤ x＜7$，
$\therefore$当$x=3.5$时，$y_{\mathrm{最大}}=34$，即当$BC=3.5\ \mathrm{m}$时，围成的两块矩形总种植面积最大，且最大种植面积为$34\ \mathrm{m}^2$.