1.[2026龙岩期末]在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能为（）

1.A

2. 如果抛物线 $ y=ax^2+bx $ 经过第一、二、三象限，那么常数 $ a,b $ 的符号是 （）

A.$ a＞0,b＞0 $
B.$ a＞0,b＜0 $
C.$ a＜0,b＞0 $
D.$ a＜0,b＜0 $

2.A

3.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且$OP=1$，则下列结果不正确的是（）

A.$a＜0$
B.$b＞0$
C.$b^2-4ac＞0$
D.$a+b+c＜0$

3.B

4.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$(-1,2)$和$(1,0)$,下列结论:
①$abc＜0$;②$2a+b＞0$;③$a+b+c=0$;④$b=-1$.
其中正确结论的序号是.

4.②③④ 【点拨】观察图象得抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}＞0$,与y轴交于负半轴,$\therefore a＞0,c＜0.\therefore b＜0.\therefore abc＞0$,故①错误.观察图象得$-\frac{b}{2a}＜1,\therefore b＞-2a$.$\therefore 2a+b＞0$,故②正确.$\because$ 当$x=1$时,$y=0$,$\therefore a+b+c=0$,故③正确.$\because$ 图象经过点$(-1,2)$和$(1,0)$,$\therefore a+b+c=0$,$a-b+c=2.\therefore b=-1$,故④正确.$\therefore$ 正确结论的序号是②③④.

5.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，有下列四个结论：
①$abc＞0$；②$a+b+c＜0$；
③$a-b+c＞0$；④$4a+2b＜m(am+b)$.
其中正确的个数为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

5.B

6. 如图,若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的对称轴是直线$x=-1$,则下列四个结论中,错误的是（）

A.$abc＞0$
B.$4a+c＞2b$
C.$3b+2c＞0$
D.$a+b+c＜0$

6.C

7. ⋯ [2026 北京西城区模拟] 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的大致图象如图所示，其中顶点为$(-2,-9a)$. 下列结论:①$abc＜0$;②$4a+2b+c＞0$;③$5a-b+c=0$;④若方程$a(x+5)(x-1)=-1$有两根为$x_1$和$x_2$,且$x_1＜x_2$,则$-5＜x_1＜x_2＜1$;⑤若方程$|ax^2+bx+c|=1$有四个根,则这四个根的和为$-8$,其中正确的结论是（）

A.①②③④
B.①②③⑤
C.②③④⑤
D.①②④⑤

7.D 【点拨】$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(-2,-9a)$,$\therefore$ 二次函数表达式为$y=a(x+2)^2-9a=ax^2+4ax-5a=a(x+5)(x-1).\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-2$,$\therefore b=4a.\because$ 抛物线开口向上,$\therefore a＞0$,$\therefore b=4a＞0.\because$ 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,$\therefore c＜0$,$\therefore abc＜0$,故①正确.$\because$ 二次函数的表达式可整理为$y=a(x+5)(x-1)$,$\therefore$ 方程$a(x+5)(x-1)=0$的解为$x=-5$或$x=1$,$\therefore$ 抛物线与x轴的交点坐标为$(-5,0)$和$(1,0)$,$\therefore$ 当$x=2$时,$y=4a+2b+c＞0$,故②正确.由①可知$b=4a$,$c=-5a$,$\therefore 5a-b+c=5a-4a-5a=-4a≠0$,故③错误.$\because$ 方程$a(x+5)(x-1)=-1$有两根为$x_1,x_2$,$\therefore$ 二次函数$y=a(x+5)(x-1)$的图象与直线$y=-1$的两个交点的横坐标为$x_1,x_2$,$\therefore$ 由图象可知,$-5＜x_1＜x_2＜1$,故④正确.方程$|ax^2+bx+c|=1$,即方程$ax^2+bx+c=\pm1$,当$ax^2+bx+c-1=0$时,其两个根的和为$-\frac{b}{a}=-\frac{4a}{a}=-4$,当$ax^2+bx+c+1=0$时,其两个根的和也为$-\frac{b}{a}=-\frac{4a}{a}=-4$,$\therefore$ 这四个根的和为$-8$,故⑤正确.综上所述,正确的结论是①②④⑤.

8. [2025 南通] 在平面直角坐标系$xOy$中，五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$.若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点，则满足题意的$a$的值不可能为（）

A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

8.C 【点拨】$\because$ 抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$过五个点中的三个点,易知其对称轴为直线$x=2$,$\therefore$ 五个点中,B点和D点不能同时在抛物线上,A点和E点一定同时在抛物线上,据此分类得:①当A,D,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上时,将$(-1,5),(3,-1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\-1=a(3-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4},\\k=-\frac{7}{4}.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$,当$x=5$时,$y=\frac{3}{4}(5-2)^2-\frac{7}{4}=5$,$\therefore$ 点E在抛物线$y=\frac{3}{4}(x-2)^2-\frac{7}{4}$上,故当$a=\frac{3}{4}$时,抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时经过A,D,E三点.②当A,C,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上时,把$(-1,5)$,$(2,1)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\1=a(2-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{4}{9},\\k=1.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$.当$x=5$时,$y=\frac{4}{9}(5-2)^2+1=5$,$\therefore E(5,5)$在抛物线$y=\frac{4}{9}(x-2)^2+1$上,故当$a=\frac{4}{9}$时,抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,C,E三点.③当A,B,E三点在抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$上时,把$(-1,5)$,$(1,2)$代入得$\begin{cases}5=a(-1-2)^2+k,\\2=a(1-2)^2+k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\k=\frac{13}{8}.\end{cases}$ $\therefore y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$.把$x=5$代入,得$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}=\frac{3}{8}(5-2)^2+\frac{13}{8}=5$,$\therefore E(5,5)$在抛物线$y=\frac{3}{8}(x-2)^2+\frac{13}{8}$上,$\therefore$ 当$a=\frac{3}{8}$时,抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$同时过A,B,E三点.综上所述,满足题意的$a$的值分别是$\frac{3}{4},\frac{4}{9},\frac{3}{8}.\therefore a$的值不可能为$\frac{2}{3}$.