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10. 如图,在梯形$ABCD$中,$AB// CD$,$∠ A=∠ B=60°$,$AB=2CD=10\ \mathrm{cm}$.
(1)求证:$AD=BC$;
(2)求$AB$与$CD$的距离.
(1)求证:$AD=BC$;
(2)求$AB$与$CD$的距离.
答案
10.(1)证明:过点 C 作 CE//AD,交 AB 于点 E.
∵AB//CD，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∴CE=AD.
∵∠A=∠B=60°,CE//AD，
∴∠CEB=∠A=∠B=60°，
∴△BEC 是等边三角形，
∴BC=CE，
∴AD=BC.
(2)解:作 CF⊥AB 于点 F.
∵AB=2CD=10 cm，
∴AE=DC=5 cm，
∴BC=BE=AB-AE=5(cm)，
∴CF=BC·sin B = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$(cm).
∴AB 与 CD 的距离为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm.
解析
【分析】
(1) 要证明AD=BC，可通过平移腰的辅助线将两条线段转化到同一个三角形中推导：过点C作CE//AD交AB于E，先利用两组对边分别平行判定四边形ADCE是平行四边形，得到AD=CE；再结合∠A=∠B=60°推出△BEC是等边三角形，得到CE=BC，通过等量代换即可证得AD=BC。
(2) AB与CD的距离就是梯形ABCD的高，过点C作CF⊥AB于F，CF就是所求距离。先根据AB=2CD=10cm得到CD=5cm，结合平行四边形对边相等的性质得AE=CD=5cm，从而算出BE=AB-AE=5cm；再由△BEC是等边三角形得BC=BE=5cm，最后利用60°角的三角函数值即可算出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：过点 C 作 CE//AD，交 AB 于点 E。
∵AB//CD，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∴CE=AD。
∵∠A=∠B=60°，CE//AD，
∴∠CEB=∠A=∠B=60°，
∴△BEC 是等边三角形，
∴BC=CE，
∴AD=BC。
(2) 解：作 CF⊥AB 于点 F。
∵AB=2CD=10 cm，
∴AE=DC=5 cm，
∴BC=BE=AB-AE=10-5=5(cm)，
∴CF=BC·sinB = $5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$(cm)。
∴AB 与 CD 的距离为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm。
【答案】
(1) AD=BC得证；(2) $\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；梯形辅助线作法
【点评】
本题是梯形的典型基础题，核心是通过平移腰、作高两种常用梯形辅助线，将梯形问题转化为熟悉的平行四边形、三角形问题求解，体现了几何中的转化思想，熟练掌握梯形常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD=BC，可通过平移腰的辅助线将两条线段转化到同一个三角形中推导：过点C作CE//AD交AB于E，先利用两组对边分别平行判定四边形ADCE是平行四边形，得到AD=CE；再结合∠A=∠B=60°推出△BEC是等边三角形，得到CE=BC，通过等量代换即可证得AD=BC。
(2) AB与CD的距离就是梯形ABCD的高，过点C作CF⊥AB于F，CF就是所求距离。先根据AB=2CD=10cm得到CD=5cm，结合平行四边形对边相等的性质得AE=CD=5cm，从而算出BE=AB-AE=5cm；再由△BEC是等边三角形得BC=BE=5cm，最后利用60°角的三角函数值即可算出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：过点 C 作 CE//AD，交 AB 于点 E。
∵AB//CD，
∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∴CE=AD。
∵∠A=∠B=60°，CE//AD，
∴∠CEB=∠A=∠B=60°，
∴△BEC 是等边三角形，
∴BC=CE，
∴AD=BC。
(2) 解：作 CF⊥AB 于点 F。
∵AB=2CD=10 cm，
∴AE=DC=5 cm，
∴BC=BE=AB-AE=10-5=5(cm)，
∴CF=BC·sinB = $5×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$(cm)。
∴AB 与 CD 的距离为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm。
【答案】
(1) AD=BC得证；(2) $\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；梯形辅助线作法
【点评】
本题是梯形的典型基础题，核心是通过平移腰、作高两种常用梯形辅助线，将梯形问题转化为熟悉的平行四边形、三角形问题求解，体现了几何中的转化思想，熟练掌握梯形常用辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11.阅读材料，我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：
（2）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，垂足为O.求证：$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$，即四边形ABCD是等平方和四边形。
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：
正方形(答案不唯一)
；（2）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，垂足为O.求证：$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$，即四边形ABCD是等平方和四边形。
答案
11.(1)正方形(答案不唯一)
(2)证明:
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°，
∴OA²+OD²=AD²,OB²+OC²=BC²,OA²+OB²=AB²,OD²+OC²=DC²，
∴AD²+BC²=AB²+DC²，
即四边形ABCD是等平方和四边形。
(2)证明:
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°，
∴OA²+OD²=AD²,OB²+OC²=BC²,OA²+OB²=AB²,OD²+OC²=DC²，
∴AD²+BC²=AB²+DC²，
即四边形ABCD是等平方和四边形。
解析
【分析】
（1）首先明确等平方和四边形的定义：若四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，就属于等平方和四边形。回忆学过的特殊四边形，比如正方形四条边长度相等，对边平方和必然相等，满足定义要求，矩形、菱形等也符合条件，任选其一即可。
（2）要证明四边形ABCD是等平方和四边形，核心是证明$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$。已知AC⊥BD，对角线相交形成4个直角三角形，我们可以借助勾股定理分别把四条边的平方用对角线上的线段平方表示，再分别计算两组对边平方和，对比就能发现二者相等，完成证明。
【解析】
（1）可直接选取符合定义的特殊四边形，例如正方形。
（2）证明：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°，
根据勾股定理可得：
$OA^2+OD^2=AD^2$，$OB^2+OC^2=BC^2$，
$OA^2+OB^2=AB^2$，$OD^2+OC^2=DC^2$，
∴$AD^2+BC^2=OA^2+OD^2+OB^2+OC^2$，
$AB^2+DC^2=OA^2+OB^2+OD^2+OC^2$，
∴$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$，
即四边形ABCD是等平方和四边形。
【答案】
(1) 正方形（答案不唯一）
(2) 证明成立，四边形ABCD是等平方和四边形。
【知识点】
勾股定理、垂直的性质、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识的应用，第一问难度较低，准确理解新定义即可作答；第二问需要结合垂直的性质，利用勾股定理转化边长关系完成证明，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确等平方和四边形的定义：若四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，就属于等平方和四边形。回忆学过的特殊四边形，比如正方形四条边长度相等，对边平方和必然相等，满足定义要求，矩形、菱形等也符合条件，任选其一即可。
（2）要证明四边形ABCD是等平方和四边形，核心是证明$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$。已知AC⊥BD，对角线相交形成4个直角三角形，我们可以借助勾股定理分别把四条边的平方用对角线上的线段平方表示，再分别计算两组对边平方和，对比就能发现二者相等，完成证明。
【解析】
（1）可直接选取符合定义的特殊四边形，例如正方形。
（2）证明：
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°，
根据勾股定理可得：
$OA^2+OD^2=AD^2$，$OB^2+OC^2=BC^2$，
$OA^2+OB^2=AB^2$，$OD^2+OC^2=DC^2$，
∴$AD^2+BC^2=OA^2+OD^2+OB^2+OC^2$，
$AB^2+DC^2=OA^2+OB^2+OD^2+OC^2$，
∴$AD^2 + BC^2 = AB^2 + DC^2$，
即四边形ABCD是等平方和四边形。
【答案】
(1) 正方形（答案不唯一）
(2) 证明成立，四边形ABCD是等平方和四边形。
【知识点】
勾股定理、垂直的性质、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识的应用，第一问难度较低，准确理解新定义即可作答；第二问需要结合垂直的性质，利用勾股定理转化边长关系完成证明，侧重考查基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
