4[2026山西吕梁期末,中]综合与探究
问题情境
已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,点N在边AD上,将∠NAE沿EN翻折得到∠NA'E,射线EA'与CD交于点F.点M在边BC上,将∠MBE沿EM翻折得到∠MB'E,射线EB'与CD交于点G.
初步探究
(1)现将长方形纸片按照图(1)所示的方式折叠,此时点F与点G重合,直接写出以E为顶点的两对相等的角,并求∠MEN的度数.

深入探究
(2)若将长方形纸片按照图(2)所示的方式折叠,此时点F在点G的左侧,且∠AEN=∠FEG+15°,∠BEM=∠FEG+20°,请你分别求出∠FEG与∠MEN的度数.
类比拓展
(3)若将长方形纸片按照图(3)所示的方式折叠,此时点F在点G的右侧,且∠FEG=α,请你直接写出∠MEN的度数(用含α的代数式表示).

4.【解】(1)由折叠可得∠AEN = ∠A'EN,∠BEM = ∠B'EM. 因为∠AEN + ∠A'EN + ∠BEM + ∠B'EM = 180°,所以$∠ A'EN + ∠ B'EM=\frac{1}{2}×180°=90°$,即∠NEM=90°.
(2) 因为∠AEN = ∠FEG + 15°, ∠BEM = ∠FEG + 20°, 所以由折叠可得∠A'EN = ∠AEN = ∠FEG + 15°, ∠B'EM = ∠BEM = ∠FEG+20°. 因为∠AEN + ∠A'EN + ∠FEG + ∠B'EM + ∠BEM = 180°, 所以∠FEG + 15° + ∠FEG+15°+∠FEG+∠FEG+20°+∠FEG+20°= 180°,所以∠FEG = 22°,所以∠A'EN = ∠AEN = ∠FEG + 15° = 22° + 15° = 37°, ∠B'EM = ∠BEM = ∠FEG + 20° = 22° + 20° = 42°, 所以 ∠MEN = ∠A'EN + ∠FEG + ∠B'EM = 101°.
(3) $∠ MEN=90°-\frac{1}{2}α$. 由折叠可得∠AEN = ∠A'EN, ∠BEM = ∠B'EM. 因为∠AEN + ∠A'EN - ∠FEG + ∠B'EM+ ∠BEM = 180°,所以∠AEN + ∠A'EN + ∠BEM + ∠B'EM = 180° + ∠FEG = 180° + α, 所以 ∠AEN + ∠BEM = $\frac{1}{2}(180°+α)=90°+\frac{1}{2}α$,所以∠MEN = 180° - $(∠ AEN+∠ BEM)=180°-(90°+\frac{1}{2}α)=90°-\frac{1}{2}α$.