1[2026河南平顶山质检,中]某同学的茶杯是圆柱形,旁边还紧挨着一个正方体盒子,如图是茶杯和盒子的立体图,茶杯与盒子一样高.在圆柱侧面中间B处有一只蚂蚁,它发现正方体盒子一条棱的中点C处有食物,但考虑独自搬不动,于是先到A处叫伙伴,再一起爬行到C处搬食物.如果蚂蚁爬行路线(B→A→C)最短,请在平面展开图上画出这条最短路线.(A,B,C均在外部)

1.【解】蚂蚁爬行路线如图所示.

2[2025山西太原质检,中]如图,将一个三阶魔方表面涂色,则会出现有的小正方体有一面涂色,有的小正方体有两面涂色,有的小正方体有三面涂色,有的小正方体各面都没有涂色的情况.观察并回答下列问题:
(1)其中各面都没有涂色的小正方体有个,有一面涂色的小正方体有个,有两面涂色的小正方体有个,有三面涂色的小正方体有个;
(2)如果换成四阶魔方,则各面都没有涂色的小正方体有个,有三面涂色的小正方体有个;
(3)如果是$n(n≥2)$阶魔方,则各面都没有涂色的小正方体有个(用含$n$的式子表示).

2.【解】(1)把正方体的棱3等分,然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,其中有三面涂色的小正方体有8个,有两面涂色的小正方体有12个,有一面涂色的小正方体有6个,各面都没有涂色的小正方体有27-8-12-6=1(个),故答案为1,6,12,8.
(2)把正方体的棱4等分,然后沿等分线把正方体切开,得到64个小正方体,其中有三面涂色的小正方体有8个,有两面涂色的小正方体有24个,有一面涂色的小正方体有24个,各面都没有涂色的小正方体有64-8-24-24=8(个),故答案为8,8.
(3)把正方体的棱3等分,有$(3-2)^3=1$(个)小正方体是各面都没有涂色的;把正方体的棱4等分,有$(4-2)^3=8$(个)小正方体是各面都没有涂色的,…,则把正方体的棱n等分,有$(n-2)^3$个小正方体是各面都没有涂色的,故答案为$(n-2)^3$.

3[2025福建福州期末,中]综合与实践
小乐在学习完绘制五角星后,对五角星的画法和剪法做了深入的研究:如图(1),由于五角星可由10个基本图形ABO组成,其他“n角福星”也有类似特征.受此启发,小乐尝试用一刀剪“n角福星”,具体操作如下:
如图(2),将一张圆心为O的圆形纸片沿直径对折,折痕为AB;如图(3),取圆上合适的一点C,将OC下方的部分沿OC对折,得到OD;再将折叠后的部分继续沿OD对折,得到OE(如图(4));…,重复此操作,使最后一次折叠的起始边与OA重合,最终得到的扇形如图(5)所示.在半径OG上取一点P,并沿图中虚线PQ剪开,得到纸片OPQ,设∠QPG = α.例如,当∠BOC=36°,α=54°时,纸片展开后的图形便是“5角福星”.

(1)设上述折叠操作的次数为m(m＞3),测量得到如下数据:
|折叠次数m|∠BOC的度数|α的度数|形状|
|----|----|----|----|
|4|36°|54°|5角福星|
|5|30°|图2|6角福星|
|6|①|②|7角福星|
|…|…|…|…|
根据上表,①②处的内容分别是,,m与α的数量关系是
(用含m的式子表示α).
(2)在图形设计环节,小乐发现,“6角福星”每个顶角均为60°,可以分割成五块或者六块,并拼成一个等边三角形,请完成这个设计(画出一种即可).
(要求:用直尺在图(6)中画出分割线(线段),用数字①②…给分割出的每一块标注,然后借助图(7)将拼接成的等边三角形画好,并对应标注每一块)

3.【解】(1)由题意得,取圆上合适的一点C,将OC下方的部分沿OC对折,折叠m次后,半圆被平分成(m+1)份,每份圆心角大小都与∠BOC相等,所以$∠ BOC=\frac{180°}{m+1}$.根据表格中数据可知,∠BOC与α互余,所以当m=6时,$∠ BOC=\frac{180°}{7}$,$α=90°-\frac{180°}{7}=\frac{450°}{7}$.故答案为$\frac{180°}{7}$,$\frac{450°}{7}$,$α=90°-\frac{180°}{m+1}$.
(2)如图(1)、图(2)所示.(答案不唯一)