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1 一个长方体水箱,从里面量长是14 dm,宽是10 dm,高是16 dm,里面装了10 dm深的水(如图)。李明将一块石头放入水中后,水面上升到12.5 dm,石头的体积是多少立方分米?(水箱厚度忽略不计)
方法一 水的体积：
水和石头的体积：
石头的体积：
方法二 上升部分水的体积：
我发现:石头的体积就是
方法一 水的体积：
$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$
水和石头的体积：
$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$
石头的体积：
$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二 上升部分水的体积：
$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
我发现:石头的体积就是
上升部分水的体积
。答案
1. 方法一:$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$
$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$
$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二:$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
我发现:上升部分水的体积
解析 用“排水法”可以求出不规则物体的体积，水箱中上升部分水的体积就是不规则物体的体积。
$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$
$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二:$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
我发现:上升部分水的体积
解析 用“排水法”可以求出不规则物体的体积，水箱中上升部分水的体积就是不规则物体的体积。
解析
【分析】
要计算不规则石头的体积，我们可以利用“排水法”的思路：
1. 方法一的思路：先算出水箱中原来水的体积，再算出放入石头后水和石头的总体积，用总体积减去原来水的体积，差值就是石头的体积，因为石头放入后占据水的空间，使总体积增加，增加的部分就是石头体积。
2. 方法二的思路：放入石头后水面上升，上升部分的水形成一个新的长方体，这个长方体的体积等于石头的体积，直接计算该部分体积即可。
【解析】
方法一：
1. 计算原来水的体积：根据长方体体积公式$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，可得水的体积为$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算水和石头的总体积：此时水面高度为$12.5\mathrm{dm}$，总体积为$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算石头的体积：用总体积减去水的体积，即$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二：
计算上升部分水的体积：先算出水面上升的高度$12.5-10=2.5(\mathrm{dm})$，再根据长方体体积公式可得上升部分水的体积为$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
我发现:石头的体积就是上升部分水的体积。
【答案】
方法一：$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$；$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$；$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二：$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
石头的体积是$350$立方分米，且石头的体积就是上升部分水的体积。
【知识点】
排水法求体积；长方体体积计算
【点评】
本题考查利用排水法求不规则物体的体积，核心是理解“上升部分水的体积等于不规则物体的体积”，通过两种思路计算，既巩固了长方体体积公式的应用，也加深了对排水法原理的理解。
【难度系数】
0.8
要计算不规则石头的体积，我们可以利用“排水法”的思路：
1. 方法一的思路：先算出水箱中原来水的体积，再算出放入石头后水和石头的总体积，用总体积减去原来水的体积，差值就是石头的体积，因为石头放入后占据水的空间，使总体积增加，增加的部分就是石头体积。
2. 方法二的思路：放入石头后水面上升，上升部分的水形成一个新的长方体，这个长方体的体积等于石头的体积，直接计算该部分体积即可。
【解析】
方法一：
1. 计算原来水的体积：根据长方体体积公式$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$，可得水的体积为$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$
2. 计算水和石头的总体积：此时水面高度为$12.5\mathrm{dm}$，总体积为$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$
3. 计算石头的体积：用总体积减去水的体积，即$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二：
计算上升部分水的体积：先算出水面上升的高度$12.5-10=2.5(\mathrm{dm})$，再根据长方体体积公式可得上升部分水的体积为$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
我发现:石头的体积就是上升部分水的体积。
【答案】
方法一：$14×10×10=1400(\mathrm{dm}^3)$；$14×10×12.5=1750(\mathrm{dm}^3)$；$1750 - 1400 = 350(\mathrm{dm}^3)$
方法二：$14×10×(12.5 - 10)=350(\mathrm{dm}^3)$
石头的体积是$350$立方分米，且石头的体积就是上升部分水的体积。
【知识点】
排水法求体积；长方体体积计算
【点评】
本题考查利用排水法求不规则物体的体积，核心是理解“上升部分水的体积等于不规则物体的体积”，通过两种思路计算，既巩固了长方体体积公式的应用，也加深了对排水法原理的理解。
【难度系数】
0.8
(1)一天,乌鸦要喝一个长方体容器中的水,但是由于水面高度比较低,它喝不到。于是乌鸦衔来了一些石子放入容器中,等水面高度上升到2 dm时,它顺利地喝到了水。仔细观察下图,乌鸦放入容器中的石子一共有(
0.6
)$\mathrm{dm}^{3}$,它一共喝了(0.4
)L水。答案
(1)0.6 0.4
解析 根据题意分析如下。
第一幅图:水的体积
增加部分为石子的体积
第二幅图:水的体积+石子的体积
减少部分为喝掉水的体积
第三幅图:剩下水的体积+石子的体积
解析 根据题意分析如下。
第一幅图:水的体积
增加部分为石子的体积
第二幅图:水的体积+石子的体积
减少部分为喝掉水的体积
第三幅图:剩下水的体积+石子的体积
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合长方体体积公式，通过水面的变化来分析对应体积：
1. 首先确定长方体容器的底面积为$1×1=1\mathrm{dm}^2$，容器底面积始终不变。
2. 放入石子后，水面从$1.4\mathrm{dm}$上升到$2\mathrm{dm}$，水面上升部分的体积就等于放入石子的体积，用底面积乘水面上升的高度即可计算。
3. 乌鸦喝水后，水面从$2\mathrm{dm}$下降到$1.6\mathrm{dm}$，水面下降部分的体积就是乌鸦喝掉的水的体积，用底面积乘水面下降的高度计算后，再进行单位换算（$1\mathrm{dm}^3=1\mathrm{L}$）。
【解析】
1. 计算容器底面积：
$ S = 1×1 = 1(\mathrm{dm}^2) $
2. 计算放入的石子体积：
水面上升高度：$2 - 1.4 = 0.6(\mathrm{dm})$
根据长方体体积公式$V=Sh$，石子体积为：
$ V_{\mathrm{石子}} = 1×0.6 = 0.6(\mathrm{dm}^3) $
3. 计算喝掉的水的体积：
水面下降高度：$2 - 1.6 = 0.4(\mathrm{dm})$
喝掉的水的体积为：
$ V_{\mathrm{喝水}} = 1×0.4 = 0.4(\mathrm{dm}^3) $
因为$1\mathrm{dm}^3=1\mathrm{L}$，所以$0.4\mathrm{dm}^3=0.4\mathrm{L}$
【答案】
0.6；0.4
【知识点】
长方体体积计算；体积与容积单位换算
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的实际应用，核心是理解水面上升、下降的体积分别对应石子体积、喝掉的水的体积，需要熟练运用长方体体积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合长方体体积公式，通过水面的变化来分析对应体积：
1. 首先确定长方体容器的底面积为$1×1=1\mathrm{dm}^2$，容器底面积始终不变。
2. 放入石子后，水面从$1.4\mathrm{dm}$上升到$2\mathrm{dm}$，水面上升部分的体积就等于放入石子的体积，用底面积乘水面上升的高度即可计算。
3. 乌鸦喝水后，水面从$2\mathrm{dm}$下降到$1.6\mathrm{dm}$，水面下降部分的体积就是乌鸦喝掉的水的体积，用底面积乘水面下降的高度计算后，再进行单位换算（$1\mathrm{dm}^3=1\mathrm{L}$）。
【解析】
1. 计算容器底面积：
$ S = 1×1 = 1(\mathrm{dm}^2) $
2. 计算放入的石子体积：
水面上升高度：$2 - 1.4 = 0.6(\mathrm{dm})$
根据长方体体积公式$V=Sh$，石子体积为：
$ V_{\mathrm{石子}} = 1×0.6 = 0.6(\mathrm{dm}^3) $
3. 计算喝掉的水的体积：
水面下降高度：$2 - 1.6 = 0.4(\mathrm{dm})$
喝掉的水的体积为：
$ V_{\mathrm{喝水}} = 1×0.4 = 0.4(\mathrm{dm}^3) $
因为$1\mathrm{dm}^3=1\mathrm{L}$，所以$0.4\mathrm{dm}^3=0.4\mathrm{L}$
【答案】
0.6；0.4
【知识点】
长方体体积计算；体积与容积单位换算
【点评】
本题考查排水法求不规则物体体积的实际应用，核心是理解水面上升、下降的体积分别对应石子体积、喝掉的水的体积，需要熟练运用长方体体积公式解决实际问题。
【难度系数】
0.7
(2)把大、小两种不同规格的玻璃球放入量杯中,根据刻度得到3个不同的数据(如下图),1个大玻璃球的体积是(
7.5
)$\mathrm{cm}^{3}$,1个小玻璃球的体积是(4
)$\mathrm{cm}^{3}$。答案
(2)7.5 4
解析 $50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，$65\ \mathrm{mL}=65\ \mathrm{cm}^3$，$77\ \mathrm{mL}=77\ \mathrm{cm}^3$。
2个大玻璃球的体积为$65 - 50 = 15(\mathrm{cm}^3)$，所以1个大玻璃球的体积为$7.5\ \mathrm{cm}^3$。
3个小玻璃球的体积为$77 - 65 = 12(\mathrm{cm}^3)$，所以1个小玻璃球的体积为$4\ \mathrm{cm}^3$。
解析 $50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，$65\ \mathrm{mL}=65\ \mathrm{cm}^3$，$77\ \mathrm{mL}=77\ \mathrm{cm}^3$。
2个大玻璃球的体积为$65 - 50 = 15(\mathrm{cm}^3)$，所以1个大玻璃球的体积为$7.5\ \mathrm{cm}^3$。
3个小玻璃球的体积为$77 - 65 = 12(\mathrm{cm}^3)$，所以1个小玻璃球的体积为$4\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
首先要明确，放入玻璃球后量杯的刻度与原有水的刻度的差值，就是玻璃球的总体积，这是利用排水法求不规则物体体积的思路。先观察第一个量杯只有水，体积为50mL，第二个量杯是水加2个大玻璃球，体积为65mL，两者的差值就是2个大玻璃球的体积，由此可算出1个大玻璃球的体积；再看第三个量杯是在第二个量杯的基础上加入3个小玻璃球后体积变为77mL，用77mL减去65mL得到的就是3个小玻璃球的体积，进而算出1个小玻璃球的体积，同时要注意$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，单位可直接转换。
【解析】
先进行单位换算：$50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，$65\ \mathrm{mL}=65\ \mathrm{cm}^3$，$77\ \mathrm{mL}=77\ \mathrm{cm}^3$。
1. 计算1个大玻璃球的体积：
2个大玻璃球的总体积为$65 - 50 = 15(\mathrm{cm}^3)$，
则1个大玻璃球的体积为$15÷2=7.5(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算1个小玻璃球的体积：
3个小玻璃球的总体积为$77 - 65 = 12(\mathrm{cm}^3)$，
则1个小玻璃球的体积为$12÷3=4(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
7.5；4
【知识点】
排水法求体积、体积单位换算
【点评】
本题考查利用排水法计算不规则物体的体积，解题关键是通过量杯刻度的差值确定对应数量玻璃球的总体积，再计算单个玻璃球的体积，同时要注意体积单位$\mathrm{mL}$和$\mathrm{cm}^3$的等量关系。
【难度系数】
0.7
首先要明确，放入玻璃球后量杯的刻度与原有水的刻度的差值，就是玻璃球的总体积，这是利用排水法求不规则物体体积的思路。先观察第一个量杯只有水，体积为50mL，第二个量杯是水加2个大玻璃球，体积为65mL，两者的差值就是2个大玻璃球的体积，由此可算出1个大玻璃球的体积；再看第三个量杯是在第二个量杯的基础上加入3个小玻璃球后体积变为77mL，用77mL减去65mL得到的就是3个小玻璃球的体积，进而算出1个小玻璃球的体积，同时要注意$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，单位可直接转换。
【解析】
先进行单位换算：$50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，$65\ \mathrm{mL}=65\ \mathrm{cm}^3$，$77\ \mathrm{mL}=77\ \mathrm{cm}^3$。
1. 计算1个大玻璃球的体积：
2个大玻璃球的总体积为$65 - 50 = 15(\mathrm{cm}^3)$，
则1个大玻璃球的体积为$15÷2=7.5(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算1个小玻璃球的体积：
3个小玻璃球的总体积为$77 - 65 = 12(\mathrm{cm}^3)$，
则1个小玻璃球的体积为$12÷3=4(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
7.5；4
【知识点】
排水法求体积、体积单位换算
【点评】
本题考查利用排水法计算不规则物体的体积，解题关键是通过量杯刻度的差值确定对应数量玻璃球的总体积，再计算单个玻璃球的体积，同时要注意体积单位$\mathrm{mL}$和$\mathrm{cm}^3$的等量关系。
【难度系数】
0.7
3《齐民要术》记载了一种保存种子、果蔬的方法——沙藏法。利用沙藏法保存生姜能够保持生姜的湿度,防止其干瘪。李伯伯将今年收获的生姜放入长5 m、宽4 m的长方体土坑后盖上细沙,沙子刚好盖住生姜。等到售卖时取出生姜,沙子高度下降了8.5 dm,则这些生姜的体积是多少立方米?
答案
3. $8.5\ \mathrm{dm}=0.85\ \mathrm{m}$
$5×4×0.85=17(\mathrm{m}^3)$
答:这些生姜的体积是$17\ \mathrm{m}^3$。
解析 体积指物体所占空间的大小，生姜在土坑里占一定的空间，取出生姜后沙子高度下降，沙子下降的体积就是生姜的体积。
$5×4×0.85=17(\mathrm{m}^3)$
答:这些生姜的体积是$17\ \mathrm{m}^3$。
解析 体积指物体所占空间的大小，生姜在土坑里占一定的空间，取出生姜后沙子高度下降，沙子下降的体积就是生姜的体积。
解析
【分析】
首先要明确，生姜在土坑中占据的空间会被沙子填充，取出生姜后沙子下降，下降部分沙子的体积就等于生姜的体积。因此我们需要先统一单位，再利用长方体体积公式（体积=长×宽×高）计算下降沙子的体积，也就是生姜的体积。具体思考步骤：第一步统一单位，将分米转化为米，保证单位一致；第二步代入长方体体积公式进行计算。
【解析】
1. 单位换算：
因为长和宽的单位是米，所以把沙子下降的高度单位换算为米，$8.5\ \mathrm{dm}=0.85\ \mathrm{m}$。
2. 计算生姜体积：
下降沙子的体积即生姜的体积，根据长方体体积公式可得：
$5×4×0.85=17(\mathrm{m}^3)$
答:这些生姜的体积是$17\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
$17\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题考查体积概念的实际应用，核心是运用转化思想，将生姜的体积转化为沙子下降部分的长方体体积，解题时需注意单位统一，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.8
首先要明确，生姜在土坑中占据的空间会被沙子填充，取出生姜后沙子下降，下降部分沙子的体积就等于生姜的体积。因此我们需要先统一单位，再利用长方体体积公式（体积=长×宽×高）计算下降沙子的体积，也就是生姜的体积。具体思考步骤：第一步统一单位，将分米转化为米，保证单位一致；第二步代入长方体体积公式进行计算。
【解析】
1. 单位换算：
因为长和宽的单位是米，所以把沙子下降的高度单位换算为米，$8.5\ \mathrm{dm}=0.85\ \mathrm{m}$。
2. 计算生姜体积：
下降沙子的体积即生姜的体积，根据长方体体积公式可得：
$5×4×0.85=17(\mathrm{m}^3)$
答:这些生姜的体积是$17\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
$17\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
长方体体积计算、体积单位换算
【点评】
本题考查体积概念的实际应用，核心是运用转化思想，将生姜的体积转化为沙子下降部分的长方体体积，解题时需注意单位统一，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.8
