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1.如图,书架两侧摆放了若干本相同的书籍,左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角尺,其直角顶点 C 在书架底部 DE 上。当顶点 A 落在右侧书籍的上方边沿时,顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿。若每本书长 20 cm,厚度为 2 cm,则两摞书之间的距离 DE 为()
A.24 cm
B.23 cm
C.22 cm
D.21 cm
A.24 cm
B.23 cm
C.22 cm
D.21 cm
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们利用等腰直角三角尺的性质和全等三角形的判定推导。首先，等腰直角三角尺的直角顶点为C，故AC=BC，∠ACB=90°；再通过角的关系证明△ACE和△CBD全等，得到对应边长度，最终计算DE的长度。
【解析】
已知三角尺为等腰直角三角形，因此AC=BC，∠ACB=90°。
由图可知，∠ACE + ∠BCD = 90°，又因为∠ACE + ∠CAE = 90°（直角三角形两锐角互余），所以∠CAE=∠BCD。
同时∠AEC=∠CDB=90°，因此△ACE ≌ △CBD（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得CE=BD，CD=AE。
其中AE是右侧书的高度，为20cm；BD是左侧书的高度，为2cm，所以CE=2cm，CD=20cm。
因此DE=CD + CE = 20 + 2 = 22（cm）。
【答案】
22 cm
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查全等三角形的应用，核心是通过角的关系证明直角三角形全等，转化边的长度即可求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们利用等腰直角三角尺的性质和全等三角形的判定推导。首先，等腰直角三角尺的直角顶点为C，故AC=BC，∠ACB=90°；再通过角的关系证明△ACE和△CBD全等，得到对应边长度，最终计算DE的长度。
【解析】
已知三角尺为等腰直角三角形，因此AC=BC，∠ACB=90°。
由图可知，∠ACE + ∠BCD = 90°，又因为∠ACE + ∠CAE = 90°（直角三角形两锐角互余），所以∠CAE=∠BCD。
同时∠AEC=∠CDB=90°，因此△ACE ≌ △CBD（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得CE=BD，CD=AE。
其中AE是右侧书的高度，为20cm；BD是左侧书的高度，为2cm，所以CE=2cm，CD=20cm。
因此DE=CD + CE = 20 + 2 = 22（cm）。
【答案】
22 cm
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查全等三角形的应用，核心是通过角的关系证明直角三角形全等，转化边的长度即可求解，难度适中。
【难度系数】
0.5
2.如图,为了测量容器底部内径 CD,小明将两根细木条的中点固定在一起,通过测量 A,B 两点之间的距离,得到 CD 的长度。其依据的数学原理是()
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两点之间,线段最短
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两点之间,线段最短
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合题目操作，分析两个三角形的边与角的关系：两根细木条的中点固定，说明木条被交点分成的两段长度相等，再结合对顶角相等的性质，可推导两个三角形全等的依据，从而选出正确选项。
【解析】
设两根细木条的交点为点O，因为两根细木条的中点固定在一起，所以AO=BO，CO=DO；又∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角的性质，∠AOC=∠BOD。在△AOC和△BOD中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，满足“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（SAS），因此△AOC≌△BOD，可得CD=AB，故依据的数学原理是选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）
【点评】
本题考查全等三角形判定的实际应用，关键是从实际问题中提炼出全等三角形的边和角的对应关系，属于基础题型，需掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合题目操作，分析两个三角形的边与角的关系：两根细木条的中点固定，说明木条被交点分成的两段长度相等，再结合对顶角相等的性质，可推导两个三角形全等的依据，从而选出正确选项。
【解析】
设两根细木条的交点为点O，因为两根细木条的中点固定在一起，所以AO=BO，CO=DO；又∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角的性质，∠AOC=∠BOD。在△AOC和△BOD中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO，满足“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”（SAS），因此△AOC≌△BOD，可得CD=AB，故依据的数学原理是选项B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）
【点评】
本题考查全等三角形判定的实际应用，关键是从实际问题中提炼出全等三角形的边和角的对应关系，属于基础题型，需掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.6
3. 如图,河的同一侧有两个工厂A和B,AD,BC的长分别表示两个工厂到河岸的距离,其中E是进水口,D,C为两个排水口。已知$AE=BE,∠AEB=90°,AD⊥DC,BC⊥DC$,点D,E,C在同一条直线上。若$AD=150\ \mathrm{m},BC=350\ \mathrm{m}$,则两个排水口之间的水平距离DC是$\mathrm{m}$。
答案
500
解析
【分析】
要计算DC的长度，需将DC拆分为DE和EC两段分别求解。已知AD⊥DC、BC⊥DC可得直角，结合∠AEB=90°，通过同角的余角相等可证得∠DAE=∠BEC，再结合AE=BE，利用AAS证明△ADE与△ECB全等，从而得到对应边相等，进而计算DC的总长度。
【解析】
∵ AD⊥DC，BC⊥DC，
∴ ∠D = ∠C = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE + ∠AED = 90°，
又
∵ ∠AEB = 90°，且∠AED + ∠AEB + ∠BEC = 180°，
∴ ∠AED + ∠BEC = 90°，
∴ ∠DAE = ∠BEC（同角的余角相等）。
在△ADE和△ECB中：
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠C \\∠DAE = ∠BEC \\AE = BE\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ECB（AAS），
∴ AD = EC = 150 m，DE = BC = 350 m，
∴ DC = DE + EC = 350 + 150 = 500 m。
【答案】
500
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际问题中的基础应用，核心是通过角度关系推导全等条件，将未知线段转化为已知线段求解，思路清晰，属于常见的几何应用题。
【难度系数】
0.6
要计算DC的长度，需将DC拆分为DE和EC两段分别求解。已知AD⊥DC、BC⊥DC可得直角，结合∠AEB=90°，通过同角的余角相等可证得∠DAE=∠BEC，再结合AE=BE，利用AAS证明△ADE与△ECB全等，从而得到对应边相等，进而计算DC的总长度。
【解析】
∵ AD⊥DC，BC⊥DC，
∴ ∠D = ∠C = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠DAE + ∠AED = 90°，
又
∵ ∠AEB = 90°，且∠AED + ∠AEB + ∠BEC = 180°，
∴ ∠AED + ∠BEC = 90°，
∴ ∠DAE = ∠BEC（同角的余角相等）。
在△ADE和△ECB中：
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠C \\∠DAE = ∠BEC \\AE = BE\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ECB（AAS），
∴ AD = EC = 150 m，DE = BC = 350 m，
∴ DC = DE + EC = 350 + 150 = 500 m。
【答案】
500
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际问题中的基础应用，核心是通过角度关系推导全等条件，将未知线段转化为已知线段求解，思路清晰，属于常见的几何应用题。
【难度系数】
0.6
4. 如图①,在光的反射现象中,根据光的反射定律,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线的两侧,法线垂直于反射面;反射角∠r等于入射角∠i。如图②,小红站在点A处使用手电筒进行光学实验。手电筒的灯泡在点G处,平面镜水平放置于地面,手电筒的光照到平面镜上点B处反射后,恰好经过木板的边缘点F,并落在墙上的点E处。点F离地面的高度$FC=1.5\ \mathrm{m}$,点A,C到点B的距离相等,图中点A,B,C,D在同一条直线上,求手电筒离地面的高度$GA$。
答案
手电筒离地面的高度$GA$为$1.5\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合光的反射定律和全等三角形的知识：首先根据光的反射定律得出入射角等于反射角，进而推导角相等；再结合图形中垂直关系、线段相等的条件，证明两个三角形全等，从而求出GA的长度。
【解析】
根据光的反射定律，反射角等于入射角，因此∠i=∠r。
因为GA垂直地面，FC垂直地面，所以∠GAB=∠FCB=90°。
已知点A、C到点B的距离相等，即AB=CB。
在△GAB和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠GAB=∠FCB \\AB=CB \\∠GBA=∠FBC\end{array} $
所以△GAB≌△FCB（ASA），
因此GA=FC=1.5 m。
【答案】
手电筒离地面的高度GA为1.5 m
【知识点】
光的反射定律、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将物理中的光的反射定律与几何中的全等三角形知识结合，考查学生跨学科应用知识的能力，解题关键是找到全等三角形的对应条件，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合光的反射定律和全等三角形的知识：首先根据光的反射定律得出入射角等于反射角，进而推导角相等；再结合图形中垂直关系、线段相等的条件，证明两个三角形全等，从而求出GA的长度。
【解析】
根据光的反射定律，反射角等于入射角，因此∠i=∠r。
因为GA垂直地面，FC垂直地面，所以∠GAB=∠FCB=90°。
已知点A、C到点B的距离相等，即AB=CB。
在△GAB和△FCB中：
$\{\begin{array}{l}∠GAB=∠FCB \\AB=CB \\∠GBA=∠FBC\end{array} $
所以△GAB≌△FCB（ASA），
因此GA=FC=1.5 m。
【答案】
手电筒离地面的高度GA为1.5 m
【知识点】
光的反射定律、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将物理中的光的反射定律与几何中的全等三角形知识结合，考查学生跨学科应用知识的能力，解题关键是找到全等三角形的对应条件，难度适中。
【难度系数】
0.5
