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1. 如图,已知∠A=∠D,添加一个条件可以证明△ABC≌△DCB 的是()
A.$AC=DB$
B.$AB=DC$
C.$∠ACB=∠DBC$
D.以上都不可以
A.$AC=DB$
B.$AB=DC$
C.$∠ACB=∠DBC$
D.以上都不可以
答案
C
解析
【分析】要证明△ABC≌△DCB，已知∠A=∠D，且BC是两三角形的公共边（BC=CB），需结合全等三角形的判定定理分析各选项：全等三角形的判定定理有AAS、ASA、SAS、SSS，SSA无法判定全等，据此逐一判断选项是否符合要求。
【解析】在△ABC和△DCB中，已知∠A=∠D，且BC为公共边，即BC=CB。
选项A：添加AC=DB，此时条件为∠A=∠D，AC=DB，BC=CB，属于“SSA”，不符合全等三角形判定定理，无法证明△ABC≌△DCB；
选项B：添加AB=DC，此时条件为∠A=∠D，AB=DC，BC=CB，同样属于“SSA”，无法证明△ABC≌△DCB；
选项C：添加∠ACB=∠DBC，此时在△ABC和△DCB中，∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，BC=CB，满足“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定定理，可证明△ABC≌△DCB。
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定
【点评】本题考查全等三角形的判定，需熟练掌握全等三角形的判定定理，注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，解题时要结合已知条件和公共边等隐含条件分析。
【难度系数】0.6
【解析】在△ABC和△DCB中，已知∠A=∠D，且BC为公共边，即BC=CB。
选项A：添加AC=DB，此时条件为∠A=∠D，AC=DB，BC=CB，属于“SSA”，不符合全等三角形判定定理，无法证明△ABC≌△DCB；
选项B：添加AB=DC，此时条件为∠A=∠D，AB=DC，BC=CB，同样属于“SSA”，无法证明△ABC≌△DCB；
选项C：添加∠ACB=∠DBC，此时在△ABC和△DCB中，∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，BC=CB，满足“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定定理，可证明△ABC≌△DCB。
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定
【点评】本题考查全等三角形的判定，需熟练掌握全等三角形的判定定理，注意“SSA”不能作为三角形全等的判定依据，解题时要结合已知条件和公共边等隐含条件分析。
【难度系数】0.6
2. 根据下列已知条件,能画出唯一△ABC的是()
A.$AB=5,BC=4,AC=1$
B.$AB=5,AC=4,∠B=60°$
C.$∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°$
D.$∠A=30°,∠B=60°,AB=5$
A.$AB=5,BC=4,AC=1$
B.$AB=5,AC=4,∠B=60°$
C.$∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°$
D.$∠A=30°,∠B=60°,AB=5$
答案
D
解析
【分析】要判断能否画出唯一△ABC，需结合三角形三边关系、全等三角形判定定理分析各选项：先验证是否满足构成三角形的条件，再判断是否能确定唯一三角形（即符合全等判定的条件）。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：已知AB=5，BC=4，AC=1，计算得BC+AC=4+1=5=AB，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故A错误。
2. 选项B：已知AB=5，AC=4，∠B=60°，属于“两边及其中一边的对角”（SSA），根据三角形全等判定规则，SSA不能判定三角形唯一，可画出多个不同的三角形，故B错误。
3. 选项C：已知∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，仅确定三个内角，三角形相似但边长可任意变化，能画出无数个相似三角形，不是唯一的，故C错误。
4. 选项D：已知∠A=30°，∠B=60°，AB=5，属于“两角及其夹边”（ASA），根据ASA全等判定定理，能确定唯一的三角形，故D正确。
【答案】D
【知识点】三角形三边关系、全等三角形判定、唯一三角形的确定
【点评】本题考查三角形的构成条件与唯一三角形的判定，核心是掌握三边关系和全等判定定理（区分ASA、SSA的不同），属于几何基础题，需仔细分析每个选项的条件。
【难度系数】0.6
【解析】
逐一分析各选项：
1. 选项A：已知AB=5，BC=4，AC=1，计算得BC+AC=4+1=5=AB，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故A错误。
2. 选项B：已知AB=5，AC=4，∠B=60°，属于“两边及其中一边的对角”（SSA），根据三角形全等判定规则，SSA不能判定三角形唯一，可画出多个不同的三角形，故B错误。
3. 选项C：已知∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，仅确定三个内角，三角形相似但边长可任意变化，能画出无数个相似三角形，不是唯一的，故C错误。
4. 选项D：已知∠A=30°，∠B=60°，AB=5，属于“两角及其夹边”（ASA），根据ASA全等判定定理，能确定唯一的三角形，故D正确。
【答案】D
【知识点】三角形三边关系、全等三角形判定、唯一三角形的确定
【点评】本题考查三角形的构成条件与唯一三角形的判定，核心是掌握三边关系和全等判定定理（区分ASA、SSA的不同），属于几何基础题，需仔细分析每个选项的条件。
【难度系数】0.6
3. 如图，若$AB=AD$，$∠ BAC=∠ DAC$，则判定$△ ABC≌△ ADC$的依据是（）
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
B
解析
【分析】要判定△ABC≌△ADC，需分析两个三角形的对应边、对应角关系：已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，且AC是两个三角形的公共边，即AC=AC。观察这三个条件，AB与AD是一组对应边，∠BAC与∠DAC是这组边的夹角，AC为公共边，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定条件。
【解析】在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD（已知）,\\∠BAC = ∠DAC（已知）,\\AC = AC（公共边）,\end{array} $
根据“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”，可判定△ABC≌△ADC，因此选B。
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【点评】本题考查三角形全等的SAS判定定理，属于基础题型，需准确掌握判定定理的条件，即两边和它们的夹角对应相等。
【难度系数】0.8
【解析】在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD（已知）,\\∠BAC = ∠DAC（已知）,\\AC = AC（公共边）,\end{array} $
根据“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”，可判定△ABC≌△ADC，因此选B。
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【点评】本题考查三角形全等的SAS判定定理，属于基础题型，需准确掌握判定定理的条件，即两边和它们的夹角对应相等。
【难度系数】0.8
4.小明同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的三角形玻璃，他可以带的碎片组合是()
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案
A
解析
【分析】要配一块完全一样的三角形玻璃，需利用三角形全等的判定条件，找到能确定原三角形形状和大小的碎片组合，核心是判断碎片是否满足全等三角形的判定定理。
【解析】根据三角形全等的“角边角（ASA）”判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。观察图形，碎片①和②的组合，包含了原三角形的两个内角以及这两个角的夹边，满足ASA的全等条件，因此带①②可以配出与原三角形完全一样的玻璃。其他选项的组合（②③、③④、②④）均无法同时满足两个角和夹边的条件，不能确定原三角形的形状和大小。
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用
【点评】本题结合实际生活场景，考查全等三角形判定的应用，关键是分析碎片中包含的角和边的关系，找到符合ASA条件的组合，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
【解析】根据三角形全等的“角边角（ASA）”判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。观察图形，碎片①和②的组合，包含了原三角形的两个内角以及这两个角的夹边，满足ASA的全等条件，因此带①②可以配出与原三角形完全一样的玻璃。其他选项的组合（②③、③④、②④）均无法同时满足两个角和夹边的条件，不能确定原三角形的形状和大小。
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用
【点评】本题结合实际生活场景，考查全等三角形判定的应用，关键是分析碎片中包含的角和边的关系，找到符合ASA条件的组合，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
5. 如图,在四边形ABCD中,AB=12 cm,BC=8 cm,CD=14 cm,∠B=∠C,E为线段AB的中点。点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CD上由点C向点D运动。当点Q的运动速度为多少时,△BPE与以C,P,Q三点为顶点的三角形全等?
答案
当点Q的运动速度为3 cm/s或4.5 cm/s时，△BPE与以C,P,Q为顶点的三角形全等。
解析
【分析】
要解决该问题，需结合全等三角形的性质，利用已知角相等的条件，分情况讨论对应边的关系。首先确定各线段的表达式，再根据全等的两种对应边情况计算时间，进而求出Q的运动速度。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t $秒，点Q的运动速度为$ v \, \mathrm{cm/s} $。
已知$ AB=12 \, \mathrm{cm} $，E为AB中点，故$ BE=\frac{1}{2}AB=6 \, \mathrm{cm} $；
点P速度为$ 3 \, \mathrm{cm/s} $，因此$ BP=3t \, \mathrm{cm} $，$ PC=BC-BP=(8-3t) \, \mathrm{cm} $；
点Q在CD上运动，故$ CQ=vt \, \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ B=∠ C $，所以$ △ BPE $与以C、P、Q为顶点的三角形全等分两种情况：
1. 当$ △ BPE ≌ △ CPQ $时，对应边$ BE=CP $，$ BP=CQ $：
由$ BE=CP $得：$ 6=8-3t $，解得$ t=\frac{2}{3} $；
由$ BP=CQ $得：$ 3t=vt $，代入$ t=\frac{2}{3} $，解得$ v=3 \, \mathrm{cm/s} $。
2. 当$ △ BPE ≌ △ CQP $时，对应边$ BE=CQ $，$ BP=CP $：
由$ BP=CP $得：$ 3t=8-3t $，解得$ t=\frac{4}{3} $；
由$ BE=CQ $得：$ 6=vt $，代入$ t=\frac{4}{3} $，解得$ v=4.5 \, \mathrm{cm/s} $。
综上，点Q的运动速度为$ 3 \, \mathrm{cm/s} $或$ 4.5 \, \mathrm{cm/s} $。
【答案】
当点Q的运动速度为3 cm/s或4.5 cm/s时，△BPE与以C,P,Q三点为顶点的三角形全等。
【知识点】
全等三角形判定、动点问题
【点评】
本题是几何动点与全等结合的题型，核心是根据相等的角分情况讨论对应边，避免漏解，需明确全等的对应关系，是初中几何的典型综合题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合全等三角形的性质，利用已知角相等的条件，分情况讨论对应边的关系。首先确定各线段的表达式，再根据全等的两种对应边情况计算时间，进而求出Q的运动速度。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t $秒，点Q的运动速度为$ v \, \mathrm{cm/s} $。
已知$ AB=12 \, \mathrm{cm} $，E为AB中点，故$ BE=\frac{1}{2}AB=6 \, \mathrm{cm} $；
点P速度为$ 3 \, \mathrm{cm/s} $，因此$ BP=3t \, \mathrm{cm} $，$ PC=BC-BP=(8-3t) \, \mathrm{cm} $；
点Q在CD上运动，故$ CQ=vt \, \mathrm{cm} $。
因为$ ∠ B=∠ C $，所以$ △ BPE $与以C、P、Q为顶点的三角形全等分两种情况：
1. 当$ △ BPE ≌ △ CPQ $时，对应边$ BE=CP $，$ BP=CQ $：
由$ BE=CP $得：$ 6=8-3t $，解得$ t=\frac{2}{3} $；
由$ BP=CQ $得：$ 3t=vt $，代入$ t=\frac{2}{3} $，解得$ v=3 \, \mathrm{cm/s} $。
2. 当$ △ BPE ≌ △ CQP $时，对应边$ BE=CQ $，$ BP=CP $：
由$ BP=CP $得：$ 3t=8-3t $，解得$ t=\frac{4}{3} $；
由$ BE=CQ $得：$ 6=vt $，代入$ t=\frac{4}{3} $，解得$ v=4.5 \, \mathrm{cm/s} $。
综上，点Q的运动速度为$ 3 \, \mathrm{cm/s} $或$ 4.5 \, \mathrm{cm/s} $。
【答案】
当点Q的运动速度为3 cm/s或4.5 cm/s时，△BPE与以C,P,Q三点为顶点的三角形全等。
【知识点】
全等三角形判定、动点问题
【点评】
本题是几何动点与全等结合的题型，核心是根据相等的角分情况讨论对应边，避免漏解，需明确全等的对应关系，是初中几何的典型综合题。
【难度系数】
0.5
