1. 利用完全平方公式计算$99^2$，下列变形最恰当的是()

A.$(100-1)^2$
B.$(101-2)^2$
C.$(98+1)^2$
D.$(50+49)^2$

A

【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，解题思路是：利用完全平方公式计算数的平方时，需将原数拆分为便于计算的两个数的和或差（优先选择整十、整百等易计算的数），从而简化运算，减少计算量和出错概率。对于$99^2$，需选择拆分后计算最简便的选项。
【解析】完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。要计算$99^2$，需将99变形为两个数的和或差，使展开后的各项计算简便：
选项A：$(100-1)^2$，100是整百数，1是个位数，展开后为$100^2 - 2×100×1 +1^2=10000-200+1=9801$，计算极为简便；
选项B：$(101-2)^2$，101和2的计算不如整百数便捷，步骤更多；
选项C：$(98+1)^2$，98不是整十/整百数，展开后$98^2$的计算更复杂；
选项D：$(50+49)^2$，50和49的拆分计算量远大于A选项。
因此最恰当的变形是A选项。
【答案】A
【知识点】完全平方公式
【点评】本题属于完全平方公式的基础应用，核心是掌握“拆分原数为易计算的数”的技巧，难度较低，适合巩固公式应用能力。
【难度系数】0.8

2. 已知AD,AE分别是$△ ABC$的高和中线,若$BD=2$,$CD=1$,则DE的长为()

A.0.5
B.1
C.1.5
D.0.5或1.5

D

【分析】
要解决这道题，需明确AD是△ABC的高（D为BC所在直线上的垂足）、AE是中线（E为BC中点）；由于垂足D的位置不确定（可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上），因此需分两种情况讨论，结合线段的和差关系计算DE的长度。
【解析】
因为AE是△ABC的中线，所以E为BC的中点，即$BE=EC=\frac{1}{2}BC$，分两种情况讨论：
1. 当点D在线段BC上时：
此时$BC=BD+CD=2+1=3$，因此$BE=\frac{1}{2}×3=1.5$，
则$DE=BD-BE=2-1.5=0.5$；
2. 当点D在线段BC的延长线上（靠近B的一侧）时：
此时$BC=BD-CD=2-1=1$，因此$BE=\frac{1}{2}×1=0.5$，
则$DE=BD-BE=2-0.5=1.5$；
综上，DE的长为0.5或1.5，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高、中线，分类讨论思想
【点评】
本题考查三角形高和中线的性质，核心是通过分类讨论确定垂足的位置，避免漏解，是需注意细节的基础题。
【难度系数】
0.5

3.若$M=(x-3)(x-4),N=(x-2)(x-5)$,则$M-N$的值为()

A.2
B.3
C.4
D.无法确定

A

【分析】要计算M-N的值，需先利用多项式乘多项式法则分别展开M和N，再通过整式的加减（合并同类项）化简，最终得出结果。
【解析】先展开多项式M：
$M=(x-3)(x-4)=x^2 -4x -3x +12=x^2 -7x +12$
再展开多项式N：
$N=(x-2)(x-5)=x^2 -5x -2x +10=x^2 -7x +10$
计算M-N：
$M-N=(x^2 -7x +12)-(x^2 -7x +10)=x^2 -7x +12 -x^2 +7x -10=2$
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式、整式的加减
【点评】本题考查多项式的展开与整式的加减运算，属于基础题型，解题时需注意去括号的符号变化，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】0.8

4. 赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法。例如：已知$(2x-3)^2 = ax^2 + bx + c$，若给$x$赋值使$x=0$，则$c=9$；若给$x$赋值使$x=1$，则$a+b+c=1$；若给$x$赋值使$x=-1$，则$a-b=\_\_\_\_\_\_$。

16

【分析】本题运用赋值法求解代数式的值，解题思路为：根据已知的等式，给x赋值为-1，代入后可得到包含a、b、c的等式；再结合赋值x=0时求出的c的值，即可计算出a - b的结果。
【解析】已知$(2x - 3)^2 = ax^2 + bx + c$，
当$x = -1$时，左边=$(2×(-1) - 3)^2 = (-5)^2 = 25$，右边=$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，因此$a - b + c = 25$；
当$x = 0$时，左边=$(0 - 3)^2 = 9$，右边=$0 + 0 + c = c$，所以$c = 9$；
将$c = 9$代入$a - b + c = 25$，得$a - b = 25 - 9 = 16$。
【答案】16
【知识点】代数式求值、赋值法
【点评】本题考查赋值法在代数式求值中的应用，通过给变量赋特殊值建立等式关系，进而求解目标表达式，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

5. 有4双不同颜色的手套，至少拿只才能保证有两只手套是成对的。

5

【分析】这是一道抽屉原理的应用题，解题时需运用“最不利原则”：要保证有两只手套成对，需先考虑最不利的情况，即先拿出的手套每种颜色各1只，此时再拿1只，必然能和之前某只配对，从而保证有两只成对。
【解析】把4种不同颜色看作4个“抽屉”，要保证有一个抽屉里至少有2只手套（成对），根据最不利原则，先每个抽屉放1只手套，共拿了4只；此时再拿1只，无论是什么颜色，都会与之前某只同色，形成一对。所以至少拿的数量为：4 + 1 = 5（只）。
【答案】5
【知识点】抽屉原理
【点评】本题考查抽屉原理中最不利原则的实际应用，核心是找到“最坏情况”的数量，再在此基础上加1即可得到答案，属于基础的逻辑推理应用题。
【难度系数】0.5

6.若$a=m^2 - mn + 1,b=mn - n^2 - 2,c=m - n - 1$,则$a,b,c$之间的数量关系为。

$a = b + c^2 + 2c + 4$（等价形式$a - b = c^2 + 2c + 4$也可）

【分析】要找出a、b、c之间的数量关系，观察a和b的表达式都含mn项，可先计算a与b的差，消去mn项得到关于m、n的式子；再结合c的表达式，利用完全平方公式将式子转化为仅含c的形式，进而推导三者关系。
【解析】先计算a - b：
$\begin{aligned}a - b&=(m^2 - mn +1)-(mn -n^2 -2)\\&=m^2 - mn +1 - mn +n^2 +2\\&=m^2 - 2mn +n^2 +3\\&=(m -n)^2 +3\end{aligned}$
已知$c = m -n -1$，则$m -n = c +1$，代入上式：
$\begin{aligned}a - b&=(c +1)^2 +3\\&=c^2 +2c +1 +3\\&=c^2 +2c +4\end{aligned}$
整理得$a = b + c^2 +2c +4$。
【答案】$a = b + c^2 + 2c + 4$（或$a - b = c^2 + 2c + 4$）
【知识点】整式的加减运算、完全平方公式
【点评】本题通过整式的加减运算消去中间变量，结合完全平方公式进行变形，考查学生对整式运算和公式应用的掌握，解题关键是合理选择计算a与b的差，再利用c的表达式转化关系。
【难度系数】0.5

7. 如图,点 B,F,E,C 在同一条直线上,$AE// DF,∠B=∠C,CE=BF$。请说明:$△ ABE≌△ DCF$。

通过角边角（ASA）判定，可证得$△ ABE ≌ △ DCF$，证明过程如上。

【分析】要证明△ABE≌△DCF，需找到对应边和对应角相等。已知AE//DF，根据平行线的性质可得到一组内错角相等；已知∠B=∠C，还需推导一组对应边相等，结合CE=BF，通过线段和差关系可推出BE=CF，最后利用角边角（ASA）判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AE//DF（已知），
∴ ∠AEB = ∠DFC（两直线平行，内错角相等）。
∵ CE = BF（已知），
∴ CE - EF = BF - EF（等式的性质），
即 BE = CF。
在△ABE和△DCF中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠C（已知）, \\BE = CF（已证）, \\∠AEB = ∠DFC（已证）,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △DCF（ASA）。
【答案】△ABE≌△DCF，证明过程如上。
【知识点】全等三角形的判定（ASA）、平行线的性质
【点评】本题考查全等三角形的判定，需结合平行线性质和线段和差推导对应边、角相等，是几何证明的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

8. 如图，已知 $MS ⊥ PS$，$MN ⊥ SN$，$PQ ⊥ SN$，垂足分别为 $S,N,Q$，且 $MS=PS$。请说明：$△ MNS ≌ △ SQP$。

证明过程如下：
$\because MS ⊥ PS$，$MN ⊥ SN$，$PQ ⊥ SN$
$\therefore ∠N = ∠PQS = ∠MSP = 90°$
$\therefore ∠MSN + ∠PSQ = 90°$，$∠SPQ + ∠PSQ = 90°$
$\therefore ∠MSN = ∠SPQ$（同角的余角相等）
在$△ MNS$和$△ SQP$中：
$\begin{cases}∠N = ∠SQP \\∠MSN = ∠SPQ \\MS = PS\end{cases}$
$\therefore △ MNS ≌ △ SQP$（AAS）

【分析】要证明△MNS≌△SQP，已知MS=PS，且存在多处垂直关系，可先由垂直得到直角，再通过同角的余角相等推导另一组对应角相等，最后结合AAS全等判定定理完成证明。
【解析】
$\because MS ⊥ PS$，$MN ⊥ SN$，$PQ ⊥ SN$，
$\therefore ∠N = ∠PQS = ∠MSP = 90°$，
$\therefore ∠MSN + ∠PSQ = 90°$，$∠SPQ + ∠PSQ = 90°$，
$\therefore ∠MSN = ∠SPQ$（同角的余角相等），
在$△ MNS$和$△ SQP$中：
$\begin{cases}∠N = ∠SQP \\∠MSN = ∠SPQ \\MS = PS\end{cases}$
$\therefore △ MNS ≌ △ SQP$（AAS）
【答案】
证明过程如下：
$\because MS ⊥ PS$，$MN ⊥ SN$，$PQ ⊥ SN$
$\therefore ∠N = ∠PQS = ∠MSP = 90°$
$\therefore ∠MSN + ∠PSQ = 90°$，$∠SPQ + ∠PSQ = 90°$
$\therefore ∠MSN = ∠SPQ$（同角的余角相等）
在$△ MNS$和$△ SQP$中：
$\begin{cases}∠N = ∠SQP \\∠MSN = ∠SPQ \\MS = PS\end{cases}$
$\therefore △ MNS ≌ △ SQP$（AAS）
【知识点】
全等三角形判定（AAS）、余角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，核心是利用垂直关系得到直角，再通过同角的余角相等推导对应角相等，结合已知边相等，运用AAS定理完成全等证明，考查学生对全等判定定理和余角性质的掌握。
【难度系数】
0.6