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8. 如图,某市有一个长为$(3a+b)\mathrm{m}$,宽为$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,并在中间空白处修建一座雕像.
(1)用含$a,b$的式子表示绿化面积$S$；
(2)当$a=2,b=1$时,求绿化面积.
(1)用含$a,b$的式子表示绿化面积$S$；
(2)当$a=2,b=1$时,求绿化面积.
答案
8. 解:(1)$S=(3a + b)(2a + b) - (a + b)(a + b) = 6a^2 + 5ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = 5a^2 + 3ab (\mathrm{m}^2)$.
答:绿化面积$S$是$(5a^2 + 3ab)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=2,b=1$时,$S=5×2^2 + 3×2×1 = 20 + 6 = 26 (\mathrm{m}^2)$.
答:当$a=2,b=1$时,绿化面积为$26 \, \mathrm{m}^2$.
答:绿化面积$S$是$(5a^2 + 3ab)\mathrm{m}^2$.
(2)当$a=2,b=1$时,$S=5×2^2 + 3×2×1 = 20 + 6 = 26 (\mathrm{m}^2)$.
答:当$a=2,b=1$时,绿化面积为$26 \, \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1)求阴影部分的绿化面积，可采用“整体面积减空白面积”的思路：先计算外围大长方形的面积，再减去中间空白正方形的面积，后续通过整式乘法展开、合并同类项即可得到绿化面积S的表达式；(2)将a=2、b=1直接代入第一问化简得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到具体的绿化面积。
【解析】
(1) 绿化面积=大长方形面积-中间空白正方形面积
大长方形面积：$(3a+b)(2a+b)$
空白正方形面积：$(a+b)(a+b)=(a+b)^2$
因此：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
即绿化面积$S=(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。
(2)当$a=2,b=1$时，代入$S=5a^2+3ab$得：
$\begin{aligned}S&=5×2^2+3×2×1\\&=5×4+6\\&=20+6\\&=26\end{aligned}$
即此时绿化面积为$26\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$
(2) $26\mathrm{m}^2$
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，核心是掌握“整体减空白”的面积求解思路，熟练运用多项式乘法法则和合并同类项法则化简代数式，代入求值时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
(1)求阴影部分的绿化面积，可采用“整体面积减空白面积”的思路：先计算外围大长方形的面积，再减去中间空白正方形的面积，后续通过整式乘法展开、合并同类项即可得到绿化面积S的表达式；(2)将a=2、b=1直接代入第一问化简得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到具体的绿化面积。
【解析】
(1) 绿化面积=大长方形面积-中间空白正方形面积
大长方形面积：$(3a+b)(2a+b)$
空白正方形面积：$(a+b)(a+b)=(a+b)^2$
因此：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
即绿化面积$S=(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。
(2)当$a=2,b=1$时，代入$S=5a^2+3ab$得：
$\begin{aligned}S&=5×2^2+3×2×1\\&=5×4+6\\&=20+6\\&=26\end{aligned}$
即此时绿化面积为$26\mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$
(2) $26\mathrm{m}^2$
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，核心是掌握“整体减空白”的面积求解思路，熟练运用多项式乘法法则和合并同类项法则化简代数式，代入求值时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
9. 若单项式$-2x^{m}y^{2}$与$4x^{2}y^{n-1}$的积和$-x^{4}y^{3}$是同类项，则$mn$的值为（
A.1
B.4
C.7
D.12
B
）A.1
B.4
C.7
D.12
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先按照单项式乘单项式的运算法则计算两个单项式的乘积，再结合同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入mn计算即可得到结果。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(-2x^{m}y^{2}) · 4x^{2}y^{n-1} &= (-2 × 4) · x^{m+2} · y^{2 + (n-1)} \\&= -8x^{m+2}y^{n+1}\end{aligned}$
已知该乘积与$-x^{4}y^{3}$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}m + 2 = 4 \\n + 1 = 3\end{cases}$
分别解两个方程：
由$m + 2 = 4$得$m = 4 - 2 = 2$；
由$n + 1 = 3$得$n = 3 - 1 = 2$。
所以$mn = 2 × 2 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘法法则
2. 同类项的定义
3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，将单项式乘法和同类项的概念结合考察，解题的核心是准确计算单项式乘积，再利用同类项的性质建立等式求解参数，掌握基础运算法则和概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先按照单项式乘单项式的运算法则计算两个单项式的乘积，再结合同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等，列出关于m、n的等式，求解得到m、n的值后，代入mn计算即可得到结果。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}(-2x^{m}y^{2}) · 4x^{2}y^{n-1} &= (-2 × 4) · x^{m+2} · y^{2 + (n-1)} \\&= -8x^{m+2}y^{n+1}\end{aligned}$
已知该乘积与$-x^{4}y^{3}$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}m + 2 = 4 \\n + 1 = 3\end{cases}$
分别解两个方程：
由$m + 2 = 4$得$m = 4 - 2 = 2$；
由$n + 1 = 3$得$n = 3 - 1 = 2$。
所以$mn = 2 × 2 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘法法则
2. 同类项的定义
3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，将单项式乘法和同类项的概念结合考察，解题的核心是准确计算单项式乘积，再利用同类项的性质建立等式求解参数，掌握基础运算法则和概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图是3个面积不相同的卡片，若要用图中的卡片拼成一个长为$(a+3b)$，宽为$(2a+b)$的长方形(卡片之间不重叠，无缝隙，且3种卡片都要用到)，则需要丙卡片________张。
答案
10.7
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用“拼接前后总面积相等”的思路：首先明确三种卡片各自对应的面积代数式，再计算待拼接大长方形的面积，将其展开为多项式形式后，丙卡片的面积对应代数式为ab，因此多项式中ab项的系数就是需要丙卡片的张数。
【解析】
首先计算三种卡片的面积：
甲是边长为a的正方形，面积$S_甲=a· a=a^2$；
乙是边长为b的正方形，面积$S_乙=b· b=b^2$；
丙是长为b、宽为a的长方形，面积$S_丙=a· b=ab$。
再计算长为$(a+3b)$、宽为$(2a+b)$的大长方形面积：
根据长方形面积公式，总面积$S=(a+3b)(2a+b)$，利用多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(a+3b)(2a+b)&=a·2a + a· b + 3b·2a +3b· b\\&=2a^2 +ab +6ab +3b^2\\&=2a^2 +7ab +3b^2\end{aligned}$
其中ab项的系数为7，对应丙卡片的数量。
【答案】
7
【知识点】
多项式乘多项式、整式的几何意义
【点评】
本题依托图形拼接考查整式乘法的应用，核心是抓住拼接前后面积不变的等量关系，正确展开多项式乘法后找到对应项的系数即可求解，解题时要注意不要漏乘或错算乘积项的系数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用“拼接前后总面积相等”的思路：首先明确三种卡片各自对应的面积代数式，再计算待拼接大长方形的面积，将其展开为多项式形式后，丙卡片的面积对应代数式为ab，因此多项式中ab项的系数就是需要丙卡片的张数。
【解析】
首先计算三种卡片的面积：
甲是边长为a的正方形，面积$S_甲=a· a=a^2$；
乙是边长为b的正方形，面积$S_乙=b· b=b^2$；
丙是长为b、宽为a的长方形，面积$S_丙=a· b=ab$。
再计算长为$(a+3b)$、宽为$(2a+b)$的大长方形面积：
根据长方形面积公式，总面积$S=(a+3b)(2a+b)$，利用多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(a+3b)(2a+b)&=a·2a + a· b + 3b·2a +3b· b\\&=2a^2 +ab +6ab +3b^2\\&=2a^2 +7ab +3b^2\end{aligned}$
其中ab项的系数为7，对应丙卡片的数量。
【答案】
7
【知识点】
多项式乘多项式、整式的几何意义
【点评】
本题依托图形拼接考查整式乘法的应用，核心是抓住拼接前后面积不变的等量关系，正确展开多项式乘法后找到对应项的系数即可求解，解题时要注意不要漏乘或错算乘积项的系数。
【难度系数】
0.7
11. 定义：
表示$3abc$，
表示$xz+wy$.
(1)求
$×\begin{array}{|cc|}\hline4 & n \\5 & 2m \\\hline\end{array}$的结果；
(2)若$|m+1|+\sqrt{n-2}=0$，求(1)中式子的值.
表示$3abc$，表示$xz+wy$.(1)求
$×\begin{array}{|cc|}\hline4 & n \\5 & 2m \\\hline\end{array}$的结果；(2)若$|m+1|+\sqrt{n-2}=0$，求(1)中式子的值.
答案
11. 解:(1)因为
$=3×3mn=9mn$，
$=4×2m + 5n = 8m + 5n$，所以
$=9mn×(8m + 5n) = 72m^2n + 45mn^2$.(2)由题意,得$m=-1,n=2$,所以$72m^2n + 45mn^2 = 72×1×2 + 45×(-1)×4 = -36$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：
1. 第一问首先明确题目的两个新定义规则：三角形符号表示内部三个数乘积的3倍，方框符号表示对角线上两个数乘积的和，先分别把两个新定义符号对应的代数式化简，再根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可。
2. 第二问利用绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的值，再代入第一问得到的代数式计算结果即可。
【解析】
(1) 根据新定义规则：
代表的代数式为$3× 3× m× n=9mn$；
$\begin{array}{|cc|}\hline4 & n \\5 & 2m \\\hline\end{array}$代表的代数式为$4× 2m + 5× n=8m+5n$；
因此的运算结果为：
$\begin{aligned}9mn×(8m+5n)&=9mn·8m + 9mn·5n\\&=72m^2n+45mn^2\end{aligned}$
(2) 因为$|m+1|≥0$，$\sqrt{n-2}≥0$，且$|m+1|+\sqrt{n-2}=0$，因此可得：
$\begin{cases}m+1=0\\n-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=2\end{cases}$。
将$m=-1$、$n=2$代入$72m^2n+45mn^2$得：
$\begin{aligned}原式&=72×(-1)^2×2 + 45×(-1)×2^2\\&=72×1×2 + 45×(-1)×4\\&=144-180\\&=-36\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{72m^2n + 45mn^2}$
(2) $\boldsymbol{-36}$
【知识点】
新定义运算，整式乘法，非负数的性质
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力，以及整式乘法、非负数性质的应用，解题核心是先准确将新定义符号转化为常规代数式，再按照代数运算法则逐步计算，能够有效检验知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路如下：
1. 第一问首先明确题目的两个新定义规则：三角形符号表示内部三个数乘积的3倍，方框符号表示对角线上两个数乘积的和，先分别把两个新定义符号对应的代数式化简，再根据单项式乘多项式的运算法则展开计算即可。
2. 第二问利用绝对值和算术平方根的非负性：两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的值，再代入第一问得到的代数式计算结果即可。
【解析】
(1) 根据新定义规则：
代表的代数式为$3× 3× m× n=9mn$；$\begin{array}{|cc|}\hline4 & n \\5 & 2m \\\hline\end{array}$代表的代数式为$4× 2m + 5× n=8m+5n$；
因此
的运算结果为：$\begin{aligned}9mn×(8m+5n)&=9mn·8m + 9mn·5n\\&=72m^2n+45mn^2\end{aligned}$
(2) 因为$|m+1|≥0$，$\sqrt{n-2}≥0$，且$|m+1|+\sqrt{n-2}=0$，因此可得：
$\begin{cases}m+1=0\\n-2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=2\end{cases}$。
将$m=-1$、$n=2$代入$72m^2n+45mn^2$得：
$\begin{aligned}原式&=72×(-1)^2×2 + 45×(-1)×2^2\\&=72×1×2 + 45×(-1)×4\\&=144-180\\&=-36\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{72m^2n + 45mn^2}$
(2) $\boldsymbol{-36}$
【知识点】
新定义运算，整式乘法，非负数的性质
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解能力，以及整式乘法、非负数性质的应用，解题核心是先准确将新定义符号转化为常规代数式，再按照代数运算法则逐步计算，能够有效检验知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
