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1. 计算$(-2x)^{3} · x$的结果是 （
A.$-2x^{4}$
B.$-6x^{4}$
C.$6x^{4}$
D.$-8x^{4}$
D
）A.$-2x^{4}$
B.$-6x^{4}$
C.$6x^{4}$
D.$-8x^{4}$
答案
1.D
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确运算顺序，有乘方先算乘方，再算乘法。第一步计算$(-2x)^3$时，要用到积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，这里要注意$-2$也要乘方，负数的奇次幂是负数；第二步计算乘方结果和$x$的乘积，用到同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：①先计算积的乘方：
根据积的乘方法则，$(-2x)^3=(-2)^3· x^3=-8x^3$
②再计算同底数幂的乘法：
$x$可以写成$x^1$，根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，可得：
$-8x^3· x=-8x^{3+1}=-8x^4$
所以计算结果为$-8x^4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考察幂的相关运算法则的应用，计算时需要注意不要遗漏系数的乘方运算，同时要准确判断负数乘方的符号，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要明确运算顺序，有乘方先算乘方，再算乘法。第一步计算$(-2x)^3$时，要用到积的乘方法则：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，这里要注意$-2$也要乘方，负数的奇次幂是负数；第二步计算乘方结果和$x$的乘积，用到同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，计算后对应选项即可得到答案。
【解析】
解：①先计算积的乘方：
根据积的乘方法则，$(-2x)^3=(-2)^3· x^3=-8x^3$
②再计算同底数幂的乘法：
$x$可以写成$x^1$，根据同底数幂相乘，底数不变、指数相加，可得：
$-8x^3· x=-8x^{3+1}=-8x^4$
所以计算结果为$-8x^4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考察幂的相关运算法则的应用，计算时需要注意不要遗漏系数的乘方运算，同时要准确判断负数乘方的符号，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是 （
A.$a^2(a + 1) = a^3 + 1$
B.$-b(b + 2a) = -b^2 + 2ab$
C.$2m(mn^2 - 3m^2) = 2m^2n^2 - 6m^3$
D.$a^2(a^3 - 2a) = a^6 - 2a^3$
C
）A.$a^2(a + 1) = a^3 + 1$
B.$-b(b + 2a) = -b^2 + 2ab$
C.$2m(mn^2 - 3m^2) = 2m^2n^2 - 6m^3$
D.$a^2(a^3 - 2a) = a^6 - 2a^3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算中还要结合同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）以及去括号的符号规则，逐一计算四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据单项式乘多项式的法则逐一计算各选项：
A选项：$a^2(a + 1) = a^2· a + a^2·1 = a^3 + a^2 ≠ a^3 + 1$，故A错误；
B选项：$-b(b + 2a) = -b· b + (-b)·2a = -b^2 - 2ab ≠ -b^2 + 2ab$，故B错误；
C选项：$2m(mn^2 - 3m^2) = 2m· mn^2 + 2m·(-3m^2) = 2m^2n^2 - 6m^3$，计算正确，故C正确；
D选项：$a^2(a^3 - 2a) = a^2· a^3 + a^2·(-2a) = a^5 - 2a^3 ≠ a^6 - 2a^3$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；去括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，易错点在于运算时容易弄错符号，或者计算同底数幂乘法时误将指数相乘，解题时要注意逐项计算，避免漏乘多项式的项，同时牢记相关运算法则。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算中还要结合同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加）以及去括号的符号规则，逐一计算四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据单项式乘多项式的法则逐一计算各选项：
A选项：$a^2(a + 1) = a^2· a + a^2·1 = a^3 + a^2 ≠ a^3 + 1$，故A错误；
B选项：$-b(b + 2a) = -b· b + (-b)·2a = -b^2 - 2ab ≠ -b^2 + 2ab$，故B错误；
C选项：$2m(mn^2 - 3m^2) = 2m· mn^2 + 2m·(-3m^2) = 2m^2n^2 - 6m^3$，计算正确，故C正确；
D选项：$a^2(a^3 - 2a) = a^2· a^3 + a^2·(-2a) = a^5 - 2a^3 ≠ a^6 - 2a^3$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；去括号法则
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，易错点在于运算时容易弄错符号，或者计算同底数幂乘法时误将指数相乘，解题时要注意逐项计算，避免漏乘多项式的项，同时牢记相关运算法则。
【难度系数】
0.8
3. 若三角形的某底边长为 $2m + 1$，该底边上的高为 $2m$，则此三角形的面积为
（
A.$4m^2 + 2m$
B.$4m^2 + 1$
C.$2m^2 + m$
D.$2m^2 + 1$
（
C
）A.$4m^2 + 2m$
B.$4m^2 + 1$
C.$2m^2 + m$
D.$2m^2 + 1$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，明确面积=1/2×底×底边上的高；接下来将题目给出的底和高的代数式代入公式，再按照整式乘法的运算规则展开化简，最后对应选项选出正确答案即可，计算时要注意不要遗漏面积公式里的1/2系数，单项式乘多项式时要做到各项都相乘，不要漏乘。
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$
将底$=2m+1$，高$=2m$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × (2m+1) × 2m \\&= (\frac{1}{2} × 2m) × (2m+1) \\&= m × (2m+1) \\&= 2m^2 + m\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察三角形面积公式的应用和整式乘法的基础运算，计算时需注意面积公式中的1/2系数，单项式乘多项式时要保证各项均参与运算，避免因粗心漏乘导致错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，明确面积=1/2×底×底边上的高；接下来将题目给出的底和高的代数式代入公式，再按照整式乘法的运算规则展开化简，最后对应选项选出正确答案即可，计算时要注意不要遗漏面积公式里的1/2系数，单项式乘多项式时要做到各项都相乘，不要漏乘。
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 底 × 底边上的高$
将底$=2m+1$，高$=2m$代入公式得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × (2m+1) × 2m \\&= (\frac{1}{2} × 2m) × (2m+1) \\&= m × (2m+1) \\&= 2m^2 + m\end{aligned}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式；单项式乘多项式；整式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察三角形面积公式的应用和整式乘法的基础运算，计算时需注意面积公式中的1/2系数，单项式乘多项式时要保证各项均参与运算，避免因粗心漏乘导致错误。
【难度系数】
0.9
4.若$(x+2)(x-5)=x^2+mx+n$，则$m,n$的值分别是 （
A.$-3,10$
B.$3,-10$
C.$3,10$
D.$-3,-10$
D
）A.$-3,10$
B.$3,-10$
C.$3,10$
D.$-3,-10$
答案
4.D
解析
【分析】
要确定m、n的值，首先需要将等号左边的多项式乘积展开，再合并同类项，最后将展开后的式子与等号右边的多项式对比，根据相同次数项的系数对应相等，就能求出m和n的取值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则计算左边的式子：
$\begin{aligned}(x+2)(x-5)&=x· x + x·(-5) + 2· x + 2·(-5)\\&=x^2 -5x +2x -10\\&=x^2 -3x -10\end{aligned}$
已知$(x+2)(x-5)=x^2+mx+n$，所以$x^2 -3x -10 = x^2 + mx + n$，对比等式两边相同次项的系数可得：$m=-3$，$n=-10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式乘多项式 2. 合并同类项 3. 多项式恒等条件
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查多项式乘法的运算能力，解题时要注意运算过程中的符号问题，熟练掌握多项式乘法法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定m、n的值，首先需要将等号左边的多项式乘积展开，再合并同类项，最后将展开后的式子与等号右边的多项式对比，根据相同次数项的系数对应相等，就能求出m和n的取值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的运算法则计算左边的式子：
$\begin{aligned}(x+2)(x-5)&=x· x + x·(-5) + 2· x + 2·(-5)\\&=x^2 -5x +2x -10\\&=x^2 -3x -10\end{aligned}$
已知$(x+2)(x-5)=x^2+mx+n$，所以$x^2 -3x -10 = x^2 + mx + n$，对比等式两边相同次项的系数可得：$m=-3$，$n=-10$。
【答案】
D
【知识点】
1. 多项式乘多项式 2. 合并同类项 3. 多项式恒等条件
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查多项式乘法的运算能力，解题时要注意运算过程中的符号问题，熟练掌握多项式乘法法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 一种计算机每秒可进行 $ 4 × 10^8 $ 次运算，它工作了 $ 6 × 10^5 $ s，共可进行 ______ 次运算。（用科学记数法表示）
答案
5. $2.4×10^{14}$
解析
【分析】
要计算计算机的总运算次数，可依据“总运算次数=每秒运算次数×工作时间”的数量关系列式。题目给出的两个数据均为科学记数法表示的形式，计算时先拆分系数和10的幂次两部分分别计算，再将结果调整为符合规范的科学记数法即可：第一步先算系数的乘积，第二步按同底数幂乘法法则计算10的幂次的乘积，第三步把得到的结果转化为$a×10^n$（$1≤a＜10$）的标准形式。
【解析】
根据题意，总运算次数为每秒运算次数乘以工作时间，列式得：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(6×10^5)\\=&(4×6)×(10^8×10^5) \quad \mathrm{（乘法交换律、结合律）}\\=&24×10^{8+5} \quad \mathrm{（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）}\\=&24×10^{13}\\=&2.4×10^{14} \quad \mathrm{（调整为科学记数法标准形式）}\end{aligned}$
【答案】
$2.4×10^{14}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合实际场景考查整式乘法和科学记数法的应用，解题时只要找准数量关系，牢记同底数幂的运算法则和科学记数法的规范要求，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
要计算计算机的总运算次数，可依据“总运算次数=每秒运算次数×工作时间”的数量关系列式。题目给出的两个数据均为科学记数法表示的形式，计算时先拆分系数和10的幂次两部分分别计算，再将结果调整为符合规范的科学记数法即可：第一步先算系数的乘积，第二步按同底数幂乘法法则计算10的幂次的乘积，第三步把得到的结果转化为$a×10^n$（$1≤a＜10$）的标准形式。
【解析】
根据题意，总运算次数为每秒运算次数乘以工作时间，列式得：
$\begin{aligned}&(4×10^8)×(6×10^5)\\=&(4×6)×(10^8×10^5) \quad \mathrm{（乘法交换律、结合律）}\\=&24×10^{8+5} \quad \mathrm{（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）}\\=&24×10^{13}\\=&2.4×10^{14} \quad \mathrm{（调整为科学记数法标准形式）}\end{aligned}$
【答案】
$2.4×10^{14}$
【知识点】
同底数幂的乘法；科学记数法；单项式乘法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合实际场景考查整式乘法和科学记数法的应用，解题时只要找准数量关系，牢记同底数幂的运算法则和科学记数法的规范要求，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
6. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式(一定成立的等式),请根据图示写出一个代数恒等式:________.
答案
6. $2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$
解析
【分析】
要得到对应的代数恒等式，我们可以用“两种方法计算同一图形的面积，结果相等”的思路解题：第一步先从整体出发计算大长方形的面积，第二步分别计算各个小图形的面积之和，第三步让两个计算结果相等，整理后即可得到恒等式。
【解析】
方法1：整体计算大长方形的面积
观察图形可知，大长方形的长为 $a+a=2a$，宽为 $a+b$，根据长方形面积公式 $\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得大长方形面积为：
$S=2a(a+b)$
方法2：计算各小图形的面积和
图中4个小图形的面积分别为 $a^2$、$ab$、$ab$、$a^2$，将它们相加得到总面积：
$S=a^2+ab+ab+a^2=2a^2+2ab$
因为两种方法计算的是同一个图形的面积，结果相等，因此可得恒等式：
$2a(a+b)=2a^2+2ab$
【答案】
$2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$
【知识点】
单项式乘多项式，面积法推导恒等式，整式加减
【点评】
本题利用数形结合的思想，通过几何图形面积的不同计算方式验证整式乘法的运算规律，能帮助我们更直观地理解代数运算的几何意义，是整式乘法模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要得到对应的代数恒等式，我们可以用“两种方法计算同一图形的面积，结果相等”的思路解题：第一步先从整体出发计算大长方形的面积，第二步分别计算各个小图形的面积之和，第三步让两个计算结果相等，整理后即可得到恒等式。
【解析】
方法1：整体计算大长方形的面积
观察图形可知，大长方形的长为 $a+a=2a$，宽为 $a+b$，根据长方形面积公式 $\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得大长方形面积为：
$S=2a(a+b)$
方法2：计算各小图形的面积和
图中4个小图形的面积分别为 $a^2$、$ab$、$ab$、$a^2$，将它们相加得到总面积：
$S=a^2+ab+ab+a^2=2a^2+2ab$
因为两种方法计算的是同一个图形的面积，结果相等，因此可得恒等式：
$2a(a+b)=2a^2+2ab$
【答案】
$2a(a + b) = 2a^2 + 2ab$
【知识点】
单项式乘多项式，面积法推导恒等式，整式加减
【点评】
本题利用数形结合的思想，通过几何图形面积的不同计算方式验证整式乘法的运算规律，能帮助我们更直观地理解代数运算的几何意义，是整式乘法模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
7. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为 $ a \, \mathrm{m} $ 的正方形土地，第二块是长为 $ (a+10) \, \mathrm{m} $，宽为 $ (a+5) \, \mathrm{m} $ 的长方形土地，则第二块土地比第一块土地的面积多 $\_\_\_\_\_\_ \, \mathrm{m}^2$。
答案
7. $(15a + 50)$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确所求为第二块土地与第一块土地的面积差，解题思路分三步：第一步分别根据正方形、长方形的面积公式表示出两块土地的面积；第二步用第二块的面积减去第一块的面积列出代数式；第三步利用整式乘法法则展开代数式，再合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
首先计算两块土地的面积：
1. 第一块正方形土地的面积：$S_1 = a^2 \, \mathrm{m}^2$
2. 第二块长方形土地的面积：$S_2 = (a+10)(a+5) \, \mathrm{m}^2$
接下来计算面积差$S_2 - S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(a+10)(a+5)-a^2\\&=a^2 + 5a + 10a + 50 - a^2\\&=(a^2 - a^2) + (5a + 10a) + 50\\&=15a + 50\end{aligned}$
【答案】
$(15a + 50)$
【知识点】
面积公式应用；多项式乘多项式；整式加减运算
【点评】
本题属于整式运算的实际应用类基础题，核心是结合几何图形面积公式列出代数式，再按整式运算法则化简即可，计算时需注意多项式相乘时不要漏乘项，合并同类项时准确计算系数。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确所求为第二块土地与第一块土地的面积差，解题思路分三步：第一步分别根据正方形、长方形的面积公式表示出两块土地的面积；第二步用第二块的面积减去第一块的面积列出代数式；第三步利用整式乘法法则展开代数式，再合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
首先计算两块土地的面积：
1. 第一块正方形土地的面积：$S_1 = a^2 \, \mathrm{m}^2$
2. 第二块长方形土地的面积：$S_2 = (a+10)(a+5) \, \mathrm{m}^2$
接下来计算面积差$S_2 - S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(a+10)(a+5)-a^2\\&=a^2 + 5a + 10a + 50 - a^2\\&=(a^2 - a^2) + (5a + 10a) + 50\\&=15a + 50\end{aligned}$
【答案】
$(15a + 50)$
【知识点】
面积公式应用；多项式乘多项式；整式加减运算
【点评】
本题属于整式运算的实际应用类基础题，核心是结合几何图形面积公式列出代数式，再按整式运算法则化简即可，计算时需注意多项式相乘时不要漏乘项，合并同类项时准确计算系数。
【难度系数】
0.8
