13. 阅读材料：
求$1+2^{-1}+2^{-2}+··· +2^{-2020}$的值.
解:设$S=1+2^{-1}+2^{-2}+··· +2^{-2020}$， ①
则$2S=2+1+2^{-1}+··· +2^{-2019}$， ②
②$-$①,得$S=2-2^{-2020}$，
所以原式$=2-2^{-2020}$.
请你仿照此解法计算:
(1)$1+3^{-1}+3^{-2}+··· +3^{-2020}$；
(2)$1+3^{-1}+3^{-2}+··· +3^{-n}$.

13.解:(1)设$M=1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-2020}$， ①
则$3M=3+1+3^{-1}+…+3^{-2019}$， ②
②$-$①,得$2M=3-3^{-2020}$,即$M=\frac{3-3^{-2020}}{2}$,所以原式$=\frac{3-3^{-2020}}{2}$.
(2)设$N=1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-n}$， ①
则$3N=3+1+3^{-1}+…+3^{-n+1}$， ②
②$-$①,得$2N=3-3^{-n}$,即$N=\frac{3-3^{-n}}{2}$,所以原式$=\frac{3-3^{-n}}{2}.$

【分析】
本题是材料仿照类计算题，解题方法可直接迁移题中给出的错位相减法：①先将要求的和式设为一个字母变量；②观察和式的公比为$\frac{1}{3}$，因此将等式两边同时乘3，得到的新等式会和原等式有大量重复的中间项；③用新等式减去原等式，即可消去所有重复的中间项，仅剩首尾两项的差，化简后就能求出原式的结果。两小问思路完全一致，第二问仅将具体的指数2020替换为字母n，注意末项指数的对应关系即可。
【解析】
(1) 设$M=1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-2020}$ ①
将①式左右两边同时乘3，得：
$3M=3+1+3^{-1}+…+3^{-2019}$ ②
用②式减去①式：
$3M-M=(3+1+3^{-1}+…+3^{-2019})-(1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-2020})$
化简后中间相同项全部抵消，得：
$2M=3-3^{-2020}$
两边同时除以2，得$M=\frac{3-3^{-2020}}{2}$
(2) 设$N=1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-n}$ ①
将①式左右两边同时乘3，得：
$3N=3+1+3^{-1}+…+3^{-n+1}$ ②
用②式减去①式：
$3N-N=(3+1+3^{-1}+…+3^{-n+1})-(1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-n})$
化简后中间相同项全部抵消，得：
$2N=3-3^{-n}$
两边同时除以2，得$N=\frac{3-3^{-n}}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{3-3^{-2020}}{2}}$
(2) $\boxed{\dfrac{3-3^{-n}}{2}}$
【知识点】
错位相减法求和；负整数指数幂；等式的基本性质
【点评】
本题核心考查对新方法的迁移应用能力，只要读懂材料中错位相减消去中间项的逻辑，就能顺利解题，解题时需注意相减后末项的符号和指数，避免运算失误。
【难度系数】
0.7