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12. [新课标·情境题]甲、乙两人分别计算一道整式乘法题：$(2x+a) · (3x+b)$，由于甲错把$+a$看成了$-a$，得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$；乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$，求$a,b$的值.
答案
12. 解:由题意可知,
甲:$(2x - a)(3x + b) = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab = 6x^2 + 11x - 10$,
乙:$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + (a + 2b)x + ab = 2x^2 - 9x + 10$,
所以$\begin{cases}2b - 3a = 11,\\a + 2b = -9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -5,\\b = -2.\end{cases}$
甲:$(2x - a)(3x + b) = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab = 6x^2 + 11x - 10$,
乙:$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + (a + 2b)x + ab = 2x^2 - 9x + 10$,
所以$\begin{cases}2b - 3a = 11,\\a + 2b = -9,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -5,\\b = -2.\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要根据甲、乙两人看错的条件，分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则将两个算式展开。因为两个展开式分别和两人得到的错误结果相等，所以对应同类项的系数相等，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：根据题意可得：
甲错把$+a$看成$-a$，实际计算的算式为：
$(2x - a)(3x + b) = 6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
已知甲得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$，对应一次项系数相等可得：$2b - 3a = 11$ ①
乙漏抄第二个多项式中x的系数，即第二个多项式变为$x+b$，实际计算的算式为：
$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
已知乙得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$，对应一次项系数相等可得：$a + 2b = -9$ ②
联立①②得二元一次方程组：
$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\a + 2b = -9 \end{cases}$
用②-①消去$2b$可得：$4a = -20$，解得$a=-5$
把$a=-5$代入②得：$-5 + 2b = -9$，解得$b=-2$
经检验，$ab=(-5)×(-2)=10$，符合两个算式的常数项对应关系，结果成立。
【答案】
$\begin{cases}a=-5 \\b=-2 \end{cases}$
【知识点】
1.整式乘法运算 2.二元一次方程组的解法 3.多项式相等的条件
【点评】
本题以整式乘法的错算情境为载体，考查学生对整式乘法法则的掌握程度和方程思想的应用能力，解题的关键是根据错算的条件正确列出对应的算式，再通过对应系数相等建立方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要根据甲、乙两人看错的条件，分别写出两人实际计算的整式乘法算式，再利用多项式乘多项式的法则将两个算式展开。因为两个展开式分别和两人得到的错误结果相等，所以对应同类项的系数相等，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
【解析】
解：根据题意可得：
甲错把$+a$看成$-a$，实际计算的算式为：
$(2x - a)(3x + b) = 6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
已知甲得到的结果为$6x^2 + 11x - 10$，对应一次项系数相等可得：$2b - 3a = 11$ ①
乙漏抄第二个多项式中x的系数，即第二个多项式变为$x+b$，实际计算的算式为：
$(2x + a)(x + b) = 2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
已知乙得到的结果为$2x^2 - 9x + 10$，对应一次项系数相等可得：$a + 2b = -9$ ②
联立①②得二元一次方程组：
$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\a + 2b = -9 \end{cases}$
用②-①消去$2b$可得：$4a = -20$，解得$a=-5$
把$a=-5$代入②得：$-5 + 2b = -9$，解得$b=-2$
经检验，$ab=(-5)×(-2)=10$，符合两个算式的常数项对应关系，结果成立。
【答案】
$\begin{cases}a=-5 \\b=-2 \end{cases}$
【知识点】
1.整式乘法运算 2.二元一次方程组的解法 3.多项式相等的条件
【点评】
本题以整式乘法的错算情境为载体，考查学生对整式乘法法则的掌握程度和方程思想的应用能力，解题的关键是根据错算的条件正确列出对应的算式，再通过对应系数相等建立方程求解。
【难度系数】
0.6
13. 已知 $ x(x - m) + n(x + m) = x^2 + 5x - 6 $ 对任意实数 $ x $ 都成立，求 $ m(n - 1) + n(m + 1) $ 的值.
答案
13. 解:$x(x - m) + n(x + m) = x^2 - mx + nx + mn = x^2 + (n - m)x + mn = x^2 + 5x - 6$,所以$n - m = 5, mn = -6$,
所以$m(n - 1) + n(m + 1) = mn - m + mn + n = 2mn + n - m = -12 + 5 = -7$.
所以$m(n - 1) + n(m + 1) = mn - m + mn + n = 2mn + n - m = -12 + 5 = -7$.
解析
【分析】
这是整式恒等与代数式求值的综合题，解题思路分为两步：第一步，题目明确等式对任意实数x都成立，说明等号左右两边的多项式是恒等的，我们先将等号左侧的整式展开、合并同类项，再和右侧多项式对比，同类项的系数必须相等，就能得到n-m与mn的值；第二步，把要求的代数式m(n-1)+n(m+1)展开化简，整理为含有n-m和mn的形式，整体代入已求出的值计算即可，不需要单独求解m、n的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
首先化简等式左侧的整式：
$\begin{aligned}x(x - m) + n(x + m) &= x^2 - mx + nx + mn \\&= x^2 + (n - m)x + mn\end{aligned}$
由于等式对任意实数x都成立，因此左右两边同类项的系数相等，可得：
$\begin{cases}n - m = 5 \\ mn = -6\end{cases}$
再化简待求的代数式：
$\begin{aligned}m(n - 1) + n(m + 1) &= mn - m + mn + n \\&= 2mn + (n - m)\end{aligned}$
将$n - m = 5$、$mn = -6$代入上式计算：
原式$=2×(-6) + 5 = -12 + 5 = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式乘法运算，多项式恒等性质，代数式求值
【点评】
本题重点考查整式的化简运算与多项式恒等性质的应用，解题核心是利用恒等式对应同类项系数相等得到相关代数式的值，通过整体代入的方法计算结果，可有效简化运算，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.7
这是整式恒等与代数式求值的综合题，解题思路分为两步：第一步，题目明确等式对任意实数x都成立，说明等号左右两边的多项式是恒等的，我们先将等号左侧的整式展开、合并同类项，再和右侧多项式对比，同类项的系数必须相等，就能得到n-m与mn的值；第二步，把要求的代数式m(n-1)+n(m+1)展开化简，整理为含有n-m和mn的形式，整体代入已求出的值计算即可，不需要单独求解m、n的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
首先化简等式左侧的整式：
$\begin{aligned}x(x - m) + n(x + m) &= x^2 - mx + nx + mn \\&= x^2 + (n - m)x + mn\end{aligned}$
由于等式对任意实数x都成立，因此左右两边同类项的系数相等，可得：
$\begin{cases}n - m = 5 \\ mn = -6\end{cases}$
再化简待求的代数式：
$\begin{aligned}m(n - 1) + n(m + 1) &= mn - m + mn + n \\&= 2mn + (n - m)\end{aligned}$
将$n - m = 5$、$mn = -6$代入上式计算：
原式$=2×(-6) + 5 = -12 + 5 = -7$
【答案】
$-7$
【知识点】
整式乘法运算，多项式恒等性质，代数式求值
【点评】
本题重点考查整式的化简运算与多项式恒等性质的应用，解题核心是利用恒等式对应同类项系数相等得到相关代数式的值，通过整体代入的方法计算结果，可有效简化运算，避免不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.7
