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15. 根据以下素材，探索并完成任务.
背景 某学校拟向某公交公司租借A,B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动
素材1 A型车的最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元
素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2 900元(包含2 900元)以内
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2 900元省多少钱
背景 某学校拟向某公交公司租借A,B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动
素材1 A型车的最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元
素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2 900元(包含2 900元)以内
问题解决
任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案
任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2 900元省多少钱
答案
15.解:任务1 设租用A型车$a$辆,则租用B型车$(8-a)$辆,
根据题意,得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305, \\ 450a+300(8-a)≤2\ 900, \end{cases}$解得$\dfrac{5}{3}≤a≤\dfrac{10}{3}$.
又
∵$a$为正整数,
∴$a$可以为2,3.
∴共有2种租车方案.
方案1:租用A型车2辆,B型车6辆;方案2:租用A型车3辆,B型车5辆.
任务2 方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$(元).
方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$(元).
∵$2\ 700＜2\ 850$,$2\ 900-2\ 700=200$(元),
∴花费最少的方案比预算2 900元省200元钱.
根据题意,得$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305, \\ 450a+300(8-a)≤2\ 900, \end{cases}$解得$\dfrac{5}{3}≤a≤\dfrac{10}{3}$.
又
∵$a$为正整数,
∴$a$可以为2,3.
∴共有2种租车方案.
方案1:租用A型车2辆,B型车6辆;方案2:租用A型车3辆,B型车5辆.
任务2 方案1所需总租金为$450×2+300×6=2\ 700$(元).
方案2所需总租金为$450×3+300×5=2\ 850$(元).
∵$2\ 700＜2\ 850$,$2\ 900-2\ 700=200$(元),
∴花费最少的方案比预算2 900元省200元钱.
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：
1. 设未知数：设租用A型车$a$辆，因总共租8辆车，故B型车数量为$(8-a)$辆。
2. 提取不等关系：第一个限制是总载客量要至少容纳305名师生，即两种车的载客量之和≥305；第二个限制是总租金不能超过2900元预算，即两种车的租金之和≤2900。
3. 列不等式组求解，结合车辆数为正整数的实际要求，得到符合条件的$a$的取值，即可得出所有租车方案。
4. 计算各方案的总租金，对比找到花费最少的方案，用预算减去最少租金即可算出节省的费用。
【解析】
任务1
设租用A型车$a$辆，则租用B型车$(8-a)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305 \\ 450a+300(8-a)≤2900 \end{cases}$
解第一个不等式：
$50a+280-35a≥305$
$15a≥25$，得$a≥\dfrac{5}{3}$
解第二个不等式：
$450a+2400-300a≤2900$
$150a≤500$，得$a≤\dfrac{10}{3}$
因此不等式组的解集为$\dfrac{5}{3}≤a≤\dfrac{10}{3}$。
因为$a$为正整数，所以$a$可取2、3，对应两种租车方案：
方案1：租用A型车2辆，B型车$8-2=6$辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车$8-3=5$辆。
任务2
分别计算两种方案的总租金：
方案1总租金：$450×2+300×6=2700$（元）
方案2总租金：$450×3+300×5=2850$（元）
因为$2700＜2850$，所以花费最少的是方案1，
比预算节省的金额：$2900-2700=200$（元）
【答案】
任务1：共有2种满足条件的租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆。
任务2：花费最少的方案比预算2900元省200元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用、方案优化选择、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际租车场景考查不等式组的实际应用，解题时需要准确提取题目中的不等关系建立数学模型，同时要注意未知数的实际意义（车辆数为正整数）才能得到正确的可行方案，最后通过计算对比选出最优方案，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按以下思路思考：
1. 设未知数：设租用A型车$a$辆，因总共租8辆车，故B型车数量为$(8-a)$辆。
2. 提取不等关系：第一个限制是总载客量要至少容纳305名师生，即两种车的载客量之和≥305；第二个限制是总租金不能超过2900元预算，即两种车的租金之和≤2900。
3. 列不等式组求解，结合车辆数为正整数的实际要求，得到符合条件的$a$的取值，即可得出所有租车方案。
4. 计算各方案的总租金，对比找到花费最少的方案，用预算减去最少租金即可算出节省的费用。
【解析】
任务1
设租用A型车$a$辆，则租用B型车$(8-a)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 50a+35(8-a)≥305 \\ 450a+300(8-a)≤2900 \end{cases}$
解第一个不等式：
$50a+280-35a≥305$
$15a≥25$，得$a≥\dfrac{5}{3}$
解第二个不等式：
$450a+2400-300a≤2900$
$150a≤500$，得$a≤\dfrac{10}{3}$
因此不等式组的解集为$\dfrac{5}{3}≤a≤\dfrac{10}{3}$。
因为$a$为正整数，所以$a$可取2、3，对应两种租车方案：
方案1：租用A型车2辆，B型车$8-2=6$辆；
方案2：租用A型车3辆，B型车$8-3=5$辆。
任务2
分别计算两种方案的总租金：
方案1总租金：$450×2+300×6=2700$（元）
方案2总租金：$450×3+300×5=2850$（元）
因为$2700＜2850$，所以花费最少的是方案1，
比预算节省的金额：$2900-2700=200$（元）
【答案】
任务1：共有2种满足条件的租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆。
任务2：花费最少的方案比预算2900元省200元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用、方案优化选择、有理数混合运算
【点评】
本题结合实际租车场景考查不等式组的实际应用，解题时需要准确提取题目中的不等关系建立数学模型，同时要注意未知数的实际意义（车辆数为正整数）才能得到正确的可行方案，最后通过计算对比选出最优方案，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
16. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 2k + 3, \\x - 2y = k\end{cases}$的解中$x$与$y$的和不大于$5$，则$k$的取值范围为 （ ）
A.$k≥2$
B.$k＞2$
C.$k≤2$
D.$k＜2$
A.$k≥2$
B.$k＞2$
C.$k≤2$
D.$k＜2$
答案
16.C
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路思考：首先，题目给出了含参数k的二元一次方程组，要求根据解的和的限制求k的范围，第一步需要得到x+y与k的关系：可以先解方程组，用含k的代数式分别表示出x、y，再相加得到x+y的表达式，也可以观察两个方程的系数特点，直接通过方程变形快速得到x+y的表达式；第二步，根据“x与y的和不大于5”，也就是x+y≤5，代入x+y的表达式得到关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式即可得到k的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
解法一：常规解方程组
已知方程组$\begin{cases}2x - y = 2k + 3&① \\x - 2y = k&②\end{cases}$
①×2，得：$4x - 2y = 4k + 6$ ③
③ - ②，得：$3x = 3k + 6$，解得$x = k + 2$
把$x = k + 2$代入②，得：$k + 2 - 2y = k$，移项化简得$-2y = -2$，解得$y = 1$
则$x + y = (k + 2) + 1 = k + 3$
根据题意，x与y的和不大于5，即$x + y ≤ 5$，代入得：
$k + 3 ≤ 5$
移项得$k ≤ 5 - 3$，即$k ≤ 2$
解法二：简便变形
用① - ②，得：$(2x - y) - (x - 2y) = (2k + 3) - k$
左边化简得$x + y$，右边化简得$k + 3$，即$x + y = k + 3$
后续步骤同解法一，可得$k ≤ 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式的解法
3. 列不等式解应用题
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，解题核心是先得到x+y关于参数k的表达式，再结合限制条件列不等式求解，既可以用常规的消元法解方程组，也可以通过观察方程系数简化运算，考查学生的计算能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路思考：首先，题目给出了含参数k的二元一次方程组，要求根据解的和的限制求k的范围，第一步需要得到x+y与k的关系：可以先解方程组，用含k的代数式分别表示出x、y，再相加得到x+y的表达式，也可以观察两个方程的系数特点，直接通过方程变形快速得到x+y的表达式；第二步，根据“x与y的和不大于5”，也就是x+y≤5，代入x+y的表达式得到关于k的一元一次不等式；第三步，解不等式即可得到k的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
解法一：常规解方程组
已知方程组$\begin{cases}2x - y = 2k + 3&① \\x - 2y = k&②\end{cases}$
①×2，得：$4x - 2y = 4k + 6$ ③
③ - ②，得：$3x = 3k + 6$，解得$x = k + 2$
把$x = k + 2$代入②，得：$k + 2 - 2y = k$，移项化简得$-2y = -2$，解得$y = 1$
则$x + y = (k + 2) + 1 = k + 3$
根据题意，x与y的和不大于5，即$x + y ≤ 5$，代入得：
$k + 3 ≤ 5$
移项得$k ≤ 5 - 3$，即$k ≤ 2$
解法二：简便变形
用① - ②，得：$(2x - y) - (x - 2y) = (2k + 3) - k$
左边化简得$x + y$，右边化简得$k + 3$，即$x + y = k + 3$
后续步骤同解法一，可得$k ≤ 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的解法
2. 一元一次不等式的解法
3. 列不等式解应用题
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，解题核心是先得到x+y关于参数k的表达式，再结合限制条件列不等式求解，既可以用常规的消元法解方程组，也可以通过观察方程系数简化运算，考查学生的计算能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
17. 关于$ x $的一元一次不等式组$\begin{cases}3x - 5 ≥ 1, \\2x + a ＜ 8\end{cases}$有解，则$ a $的取值范围是（ ）
A.$ a ≥ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ≤ 4 $
D.$ a ＜ 4 $
A.$ a ≥ 4 $
B.$ a ＞ 4 $
C.$ a ≤ 4 $
D.$ a ＜ 4 $
答案
17.D
解析
【分析】
解决这类含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据不等式组有解的判定规则——两个解集存在公共部分，结合两个解集的形式列出关于参数a的不等式；最后解这个不等式就能得到a的取值范围，解题时要重点注意端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$3x - 5 ≥ 1$：
移项得$3x ≥ 1 + 5$，合并同类项得$3x ≥ 6$，两边同时除以3得$x ≥ 2$。
解不等式$2x + a ＜ 8$：
移项得$2x ＜ 8 - a$，两边同时除以2得$x ＜ \frac{8 - a}{2}$。
第二步：根据不等式组有解列不等式
不等式组有解，说明解集$x ≥ 2$和$x ＜ \frac{8 - a}{2}$有公共部分，因此需要满足$\frac{8 - a}{2} ＞ 2$（若$\frac{8 - a}{2}=2$，则解集为$x≥2$且$x＜2$，没有公共部分，不等式组无解，因此不能取等号）。
第三步：解关于a的不等式
$\frac{8 - a}{2} ＞ 2$，两边同时乘2得$8 - a ＞ 4$，移项得$-a ＞ 4 - 8$，即$-a ＞ -4$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变）得$a ＜ 4$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组有解的判定，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，解题关键是先求出每个不等式的解集，再结合“有解即解集存在公共部分”的规则列不等式求解，易错点是容易误判端点的取值，导致错选带等号的选项。
【难度系数】
0.7
解决这类含参数的一元一次不等式组有解的问题，可按以下思路思考：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据不等式组有解的判定规则——两个解集存在公共部分，结合两个解集的形式列出关于参数a的不等式；最后解这个不等式就能得到a的取值范围，解题时要重点注意端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式$3x - 5 ≥ 1$：
移项得$3x ≥ 1 + 5$，合并同类项得$3x ≥ 6$，两边同时除以3得$x ≥ 2$。
解不等式$2x + a ＜ 8$：
移项得$2x ＜ 8 - a$，两边同时除以2得$x ＜ \frac{8 - a}{2}$。
第二步：根据不等式组有解列不等式
不等式组有解，说明解集$x ≥ 2$和$x ＜ \frac{8 - a}{2}$有公共部分，因此需要满足$\frac{8 - a}{2} ＞ 2$（若$\frac{8 - a}{2}=2$，则解集为$x≥2$且$x＜2$，没有公共部分，不等式组无解，因此不能取等号）。
第三步：解关于a的不等式
$\frac{8 - a}{2} ＞ 2$，两边同时乘2得$8 - a ＞ 4$，移项得$-a ＞ 4 - 8$，即$-a ＞ -4$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变）得$a ＜ 4$。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式组有解的判定，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，解题关键是先求出每个不等式的解集，再结合“有解即解集存在公共部分”的规则列不等式求解，易错点是容易误判端点的取值，导致错选带等号的选项。
【难度系数】
0.7
