18. 如图所示的是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸，设第$ x $个窗格上所贴“○”的个数为$ y $。
(1)填写下表.
| $ x $ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | $ x $ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ y $ | 5 | 8 | 11 | | 17 | (用含$ x $的式子表示) |
(2)若第$ x $个窗格上所贴的“○”的个数大于50，求$ x $的取值范围。

18.(1)14 $3x+2$
(2)解:根据题意,可得$3x+2＞50$,解得$x＞16$.

【分析】
(1) 首先观察给出的前3组x、y对应值，发现y随x增大每次增加3，属于公差为3的等差型规律，因此x=4时的y值可直接用x=3的y值加3得到；再总结通用规律：第1个y值为3×1+2=5，第2个为3×2+2=8，以此类推可推出第x个y的表达式。(2) 第二问要求y大于50，直接将第一问得到的y关于x的表达式代入，得到一元一次不等式，再按解一元一次不等式的步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
(1) 观察已知数据：
x=1时，y=5=3×1+2；
x=2时，y=8=3×2+2；
x=3时，y=11=3×3+2；
可知相邻两个窗格的剪纸数相差3，因此x=4时，y=11+3=14；
综上可得第x个窗格的剪纸数为$y=3x+2$。
(2) 由题意得剪纸个数大于50，即$y＞50$，将$y=3x+2$代入不等式：
$3x+2＞50$
移项得：$3x＞50-2$
计算得：$3x＞48$
两边同时除以3得：$x＞16$
【答案】
(1) $\boxed{14}$；$\boxed{3x+2}$
(2) $\boxed{x＞16}$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活场景考查规律探究能力和不等式的实际应用，解题核心是先通过已知数据推导出自变量和因变量的关系式，再结合题意列不等式求解，整体计算量小，掌握基础的规律探究方法和不等式解法即可解答。
【难度系数】
0.8

19. (教材题改编)已知三个正整数 $a,b,c$ 满足 $a＜b＜c$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$。
(1)求证: $\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$ (在下面的括号内,填上推理的依据).
证明: $\because a,b$ 为正整数, $\therefore ab＞0$(① ______).
$\because a＜b,\therefore \frac{a}{ab}＜\frac{b}{ab}$(② ______),即 $\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$;
(2)请利用不等式的性质,证明:$1＜a＜3$;
(3)求符合题意的 $a,b,c$ 的值.

19.(1)①两数相乘,同号得正 ②不等式的性质2
(2)证明:同(1),可证$\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{b}＜\dfrac{1}{a}$,$\therefore \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}＞\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$.
∵$a＞0$,
∴$1+1+1＞a$,即$a＜3$.
∵$a,b,c$为正整数且满足$a＜b＜c$,
∴$\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$,即$1＜a$.
∴$1＜a＜3$.
(3)解:
∵$1＜a＜3$,且$a$为正整数,
∴$a=2$.$\therefore \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$,即$\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$.
同(2),可证$2＜b＜4$,
∵$b$为正整数,
∴$b=3$.$\therefore \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$,即$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{6}$.$\therefore c=6$,
即$a=2,b=3,c=6$.

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1)第一问考查推理依据：两个正整数同号，相乘结果为正，依据有理数乘法的符号法则即可填写①；给不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，依据不等式的性质2即可填写②。
(2)第二问要证明$1＜a＜3$：首先根据$a＜b＜c$可得倒数满足$\frac{1}{c}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$，将原等式中的$\frac{1}{b}、\frac{1}{c}$都替换为更大的$\frac{1}{a}$，可推出$\frac{3}{a}＞1$，即$a＜3$；再结合$\frac{1}{a}$小于三个倒数的和1，可推出$a＞1$，即可完成证明。
(3)第三问求正整数解：先根据$a$的取值范围和正整数属性确定$a=2$，代入原等式得到$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，再用同样的方法推出$b$的取值范围，确定$b=3$，最后代入计算得到$c=6$即可。
【解析】
(1) ①$a、b$都是正整数，两数同号，相乘结果为正，依据是两数相乘，同号得正；
②给不等式$a＜b$两边同时除以正数$ab$，不等号方向不变，依据是不等式的性质2。
(2) 证明：由(1)的推导同理可得$\frac{1}{c}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}$，因此$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，即$\frac{3}{a}＞1$。
$\because a$是正整数，$a＞0$，给不等式两边同时乘正数$a$，不等号方向不变，得$3＞a$，即$a＜3$。
又$\because a＜b＜c$，三个数均为正整数，因此$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，给$\frac{1}{a}＜1$两边同时乘正数$a$，得$1＜a$。
综上，$1＜a＜3$。
(3) 解：$\because 1＜a＜3$，且$a$是正整数，$\therefore a=2$。
将$a=2$代入$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，得$\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，即$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$。
由$b＜c$可得$\frac{1}{c}＜\frac{1}{b}$，因此$\frac{1}{b}+\frac{1}{b} ＞ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，即$\frac{2}{b}＞\frac{1}{2}$，解得$b＜4$。
又$\because b＞a=2$，即$2＜b＜4$，且$b$是正整数，$\therefore b=3$。
将$b=3$代入$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{3}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{1}{c}=\frac{1}{6}$，即$c=6$。
【答案】
(1) ①两数相乘，同号得正；②不等式的性质2
(2) 证明见解析
(3) $a=2,b=3,c=6$
【知识点】
不等式的基本性质，倒数的性质，正整数的性质
【点评】
本题是不等式应用的典型题型，解题核心是利用数的大小关系推导倒数的大小关系，通过放缩逐步缩小未知数的取值范围，再结合正整数的特殊性求解，对逻辑推导的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.7