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阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式 $ ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 变形为 $ a(x+m)^2 + n $ 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 $ ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的配方法. 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解. 例如：
$ x^2 + 11x + 24 = x^2 + 11x + ( \frac{11}{2} )^2 - ( \frac{11}{2} )^2 + 24 = ( x + \frac{11}{2} )^2 - \frac{25}{4} = ( x + \frac{11}{2} + \frac{5}{2} )( x + \frac{11}{2} - \frac{5}{2} ) = (x+8)(x+3). $
根据以上材料，解答下列问题：
(1) 用多项式的配方法将 $ x^2 + 8x -1 $ 化成 $ (x+m)^2 + n $ 的形式：
(2) 下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 $ x^2 - 3x - 40 $ 进行因式分解的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学的解答从步骤
(3) 证明：$ x,y $ 取任何实数时，多项式 $ x^2 + y^2 -2x -4y +16 $ 的值总为正数.
利用完全平方公式，可以将多项式 $ ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 变形为 $ a(x+m)^2 + n $ 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 $ ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的配方法. 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解. 例如：
$ x^2 + 11x + 24 = x^2 + 11x + ( \frac{11}{2} )^2 - ( \frac{11}{2} )^2 + 24 = ( x + \frac{11}{2} )^2 - \frac{25}{4} = ( x + \frac{11}{2} + \frac{5}{2} )( x + \frac{11}{2} - \frac{5}{2} ) = (x+8)(x+3). $
根据以上材料，解答下列问题：
(1) 用多项式的配方法将 $ x^2 + 8x -1 $ 化成 $ (x+m)^2 + n $ 的形式：
$(x+4)^2-17$
；(2) 下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 $ x^2 - 3x - 40 $ 进行因式分解的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学的解答从步骤
①
开始出现错误，然后请你重新写出一个完整的、正确的解答过程；(3) 证明：$ x,y $ 取任何实数时，多项式 $ x^2 + y^2 -2x -4y +16 $ 的值总为正数.
答案
(1)解:$(x+4)^2-17$(2)解:①,完整的、正确的解答过程如下：$x^2-3x-40=x^2-3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-40=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{169}{4}=(x-\frac{3}{2}+\frac{13}{2})(x-\frac{3}{2}-\frac{13}{2})=(x+5)(x-8).$(3)证明:$x^2+y^2-2x-4y+16=(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-1-4+16=(x-1)^2+(y-2)^2+11.$$\because (x-1)^2≥0,(y-2)^2≥0,$$\therefore (x-1)^2+(y-2)^2+11≥11＞0,$即$x,y$ 取任何实数时,多项式$x^2+y^2-2x-4y+16$的值总为正数.
解析
【分析】
(1) 对于二次项系数为1的多项式，配方时需给二次项、一次项的组合加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证多项式值不变，整理即可得到$(x+m)^2+n$的形式。本题一次项系数为8，一半是4，平方为16，按此规则变形即可。
(2) 首先判断错误步骤：配方法中一次项系数是-3，需要添加的是$(\frac{3}{2})^2$，该同学步骤①添加了$3^2$，不符合配方法规则，因此从步骤①开始出错。后续正确解法先按配方法补全完全平方，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式即可。
(3) 要证明多项式值恒为正，需将多项式分别对x、y分组配方，转化为非负式子加正数的形式，结合完全平方的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 对$x^2+8x-1$进行配方：
$\begin{aligned}x^2+8x-1&=x^2+8x+4^2-4^2-1\\&=(x+4)^2-16-1\\&=(x+4)^2-17\end{aligned}$
(2) 该同学步骤①添加的常数项不符合配方法要求，因此从步骤①开始出错。
正确解答过程：
$\begin{aligned}x^2-3x-40&=x^2-3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-40\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-\frac{160}{4}\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{169}{4}\\&=(x-\frac{3}{2}+\frac{13}{2})(x-\frac{3}{2}-\frac{13}{2})\\&=(x+5)(x-8)\end{aligned}$
(3) 证明：
$\begin{aligned}x^2+y^2-2x-4y+16&=(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-1-4+16\\&=(x-1)^2+(y-2)^2+11\end{aligned}$
∵ 无论x、y取任意实数，都有$(x-1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x-1)^2+(y-2)^2+11≥11＞0$
即x、y取任何实数时，多项式$x^2+y^2-2x-4y+16$的值总为正数。
【答案】
(1) $(x+4)^2-17$
(2) ①；正确解答过程见解析，因式分解结果为$(x+5)(x-8)$
(3) 证明见解析，结论成立。
【知识点】
配方法的应用；因式分解；完全平方的非负性
【点评】
本题围绕配方法设置三类题型，覆盖了配方法的基本变形、配方法在因式分解中的应用、利用配方法判断多项式取值范围三类考点，解题核心是掌握配方法的操作规则：二次项系数为1时，添加一次项系数一半的平方，同时减去该数保证原式值不变，再结合对应公式即可求解。
【难度系数】
0.7
(1) 对于二次项系数为1的多项式，配方时需给二次项、一次项的组合加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证多项式值不变，整理即可得到$(x+m)^2+n$的形式。本题一次项系数为8，一半是4，平方为16，按此规则变形即可。
(2) 首先判断错误步骤：配方法中一次项系数是-3，需要添加的是$(\frac{3}{2})^2$，该同学步骤①添加了$3^2$，不符合配方法规则，因此从步骤①开始出错。后续正确解法先按配方法补全完全平方，再利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解因式即可。
(3) 要证明多项式值恒为正，需将多项式分别对x、y分组配方，转化为非负式子加正数的形式，结合完全平方的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 对$x^2+8x-1$进行配方：
$\begin{aligned}x^2+8x-1&=x^2+8x+4^2-4^2-1\\&=(x+4)^2-16-1\\&=(x+4)^2-17\end{aligned}$
(2) 该同学步骤①添加的常数项不符合配方法要求，因此从步骤①开始出错。
正确解答过程：
$\begin{aligned}x^2-3x-40&=x^2-3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-40\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-\frac{160}{4}\\&=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{169}{4}\\&=(x-\frac{3}{2}+\frac{13}{2})(x-\frac{3}{2}-\frac{13}{2})\\&=(x+5)(x-8)\end{aligned}$
(3) 证明：
$\begin{aligned}x^2+y^2-2x-4y+16&=(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-1-4+16\\&=(x-1)^2+(y-2)^2+11\end{aligned}$
∵ 无论x、y取任意实数，都有$(x-1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x-1)^2+(y-2)^2+11≥11＞0$
即x、y取任何实数时，多项式$x^2+y^2-2x-4y+16$的值总为正数。
【答案】
(1) $(x+4)^2-17$
(2) ①；正确解答过程见解析，因式分解结果为$(x+5)(x-8)$
(3) 证明见解析，结论成立。
【知识点】
配方法的应用；因式分解；完全平方的非负性
【点评】
本题围绕配方法设置三类题型，覆盖了配方法的基本变形、配方法在因式分解中的应用、利用配方法判断多项式取值范围三类考点，解题核心是掌握配方法的操作规则：二次项系数为1时，添加一次项系数一半的平方，同时减去该数保证原式值不变，再结合对应公式即可求解。
【难度系数】
0.7
