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7. 某校为了解八年级学生的跳绳情况(满分10分),随机抽取了部分八年级学生进行跳绳测试,整理数据如表所示.
| 组别 | 成绩$x/$分 | 频数 | 频率 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $x=10$ | 84 | 0.7 |
| B | $7≤ x≤9$ | 18 | $a$ |
| C | $4≤ x≤6$ | $b$ | 0.1 |
| D | $1≤ x≤3$ | 6 | 0.05 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$;
(2)请估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩.
| 组别 | 成绩$x/$分 | 频数 | 频率 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | $x=10$ | 84 | 0.7 |
| B | $7≤ x≤9$ | 18 | $a$ |
| C | $4≤ x≤6$ | $b$ | 0.1 |
| D | $1≤ x≤3$ | 6 | 0.05 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$;
(2)请估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩.
答案
7.解:(1)0.15;12
(2)$\frac{1}{120}×(10×84+8×18+5×12+6×2)=8.8$(分).答:估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩为8.8分.
(2)$\frac{1}{120}×(10×84+8×18+5×12+6×2)=8.8$(分).答:估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩为8.8分.
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是利用频数、频率、总人数三者的关系：总人数=频数÷对应频率，所有组的频率之和为1，频数=总人数×对应频率。首先根据A组的频数和频率求出抽取的总人数，再分别计算a和b的值。（2）解决第二问需要用加权平均数计算样本的平均成绩，每组取组中值作为该组成绩的代表，用每组组中值乘对应频数求和后除以总人数，再用样本平均成绩估计总体的平均成绩即可。
【解析】
解：（1）先计算抽取的学生总人数：$84÷0.7=120$（人）
B组的频率$a=18÷120=0.15$（也可通过$a=1-0.7-0.1-0.05=0.15$计算）
C组的频数$b=120×0.1=12$
（2）取每组的组中值作为该组的代表成绩：A组组中值为10，B组$7≤ x≤9$的组中值为$\frac{7+9}{2}=8$，C组$4≤ x≤6$的组中值为$\frac{4+6}{2}=5$，D组$1≤ x≤3$的组中值为$\frac{1+3}{2}=2$。
样本平均成绩为：
$\frac{10×84 + 8×18 + 5×12 + 2×6}{120}=\frac{840+144+60+12}{120}=\frac{1056}{120}=8.8$（分）
用样本估计总体，可得该校八年级全体学生的平均跳绳成绩。
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.15}$；$\boldsymbol{12}$
（2）估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩为$\boldsymbol{8.8}$分。
【知识点】
频数与频率；加权平均数；用样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的基础题型，重点考查频数、频率、总数三者的转换关系，以及加权平均数的计算方法，需要熟练掌握组中值的选取规则，理解用样本特征估计总体特征的统计思想。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问的核心是利用频数、频率、总人数三者的关系：总人数=频数÷对应频率，所有组的频率之和为1，频数=总人数×对应频率。首先根据A组的频数和频率求出抽取的总人数，再分别计算a和b的值。（2）解决第二问需要用加权平均数计算样本的平均成绩，每组取组中值作为该组成绩的代表，用每组组中值乘对应频数求和后除以总人数，再用样本平均成绩估计总体的平均成绩即可。
【解析】
解：（1）先计算抽取的学生总人数：$84÷0.7=120$（人）
B组的频率$a=18÷120=0.15$（也可通过$a=1-0.7-0.1-0.05=0.15$计算）
C组的频数$b=120×0.1=12$
（2）取每组的组中值作为该组的代表成绩：A组组中值为10，B组$7≤ x≤9$的组中值为$\frac{7+9}{2}=8$，C组$4≤ x≤6$的组中值为$\frac{4+6}{2}=5$，D组$1≤ x≤3$的组中值为$\frac{1+3}{2}=2$。
样本平均成绩为：
$\frac{10×84 + 8×18 + 5×12 + 2×6}{120}=\frac{840+144+60+12}{120}=\frac{1056}{120}=8.8$（分）
用样本估计总体，可得该校八年级全体学生的平均跳绳成绩。
【答案】
（1）$\boldsymbol{0.15}$；$\boldsymbol{12}$
（2）估计该校八年级全体学生的平均跳绳成绩为$\boldsymbol{8.8}$分。
【知识点】
频数与频率；加权平均数；用样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的基础题型，重点考查频数、频率、总数三者的转换关系，以及加权平均数的计算方法，需要熟练掌握组中值的选取规则，理解用样本特征估计总体特征的统计思想。
【难度系数】
0.8
8. 为了解学生在假期里的阅读情况，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量.统计结果如表所示，那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为 （
A.4本,5本
B.5本,4本
C.4本,4本
D.5本,5本
C
）A.4本,5本
B.5本,4本
C.4本,4本
D.5本,5本
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分别计算看书数量的平均数和众数。首先回忆相关概念：1. 加权平均数：当一组数据中各数据的权重不同时，平均数等于所有数据乘以对应权重的和，再除以权重总和，这里的“权重”就是对应看书数量的人数；2. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，对应本题就是人数最多的那个看书数量。解题时先算总人数和总看书量求平均数，再找人数最多对应的看书数量得众数即可。
【解析】
第一步：计算全班总人数
总人数 = 6 + 6 + 10 + 8 + 5 = 35（人）
第二步：计算全班学生看书总数量
总看书量 = 2×6 + 3×6 + 4×10 + 5×8 + 6×5
= 12 + 18 + 40 + 40 + 30
= 140（本）
第三步：计算平均数
平均数 = 总看书量 ÷ 总人数 = 140 ÷ 35 = 4（本）
第四步：求众数
观察人数列，人数最多的是10人，对应的看书数量是4本，因此众数是4本。
综上，平均数为4本，众数为4本，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算，众数的定义
【点评】
本题是统计基础题，重点考查对数据集中趋势相关概念的理解和应用，计算时要注意加权平均数不要直接对看书数量求简单算术平均，需结合对应人数计算，众数直接找出现次数最多的数值即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要分别计算看书数量的平均数和众数。首先回忆相关概念：1. 加权平均数：当一组数据中各数据的权重不同时，平均数等于所有数据乘以对应权重的和，再除以权重总和，这里的“权重”就是对应看书数量的人数；2. 众数是一组数据中出现次数最多的数值，对应本题就是人数最多的那个看书数量。解题时先算总人数和总看书量求平均数，再找人数最多对应的看书数量得众数即可。
【解析】
第一步：计算全班总人数
总人数 = 6 + 6 + 10 + 8 + 5 = 35（人）
第二步：计算全班学生看书总数量
总看书量 = 2×6 + 3×6 + 4×10 + 5×8 + 6×5
= 12 + 18 + 40 + 40 + 30
= 140（本）
第三步：计算平均数
平均数 = 总看书量 ÷ 总人数 = 140 ÷ 35 = 4（本）
第四步：求众数
观察人数列，人数最多的是10人，对应的看书数量是4本，因此众数是4本。
综上，平均数为4本，众数为4本，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算，众数的定义
【点评】
本题是统计基础题，重点考查对数据集中趋势相关概念的理解和应用，计算时要注意加权平均数不要直接对看书数量求简单算术平均，需结合对应人数计算，众数直接找出现次数最多的数值即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 已知一组数据的平均数是88,中位数是85.若添加一个数据88,则关于这组新数据,下列说法正确的是
(
A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
(
B
)A.平均数不变,中位数变大
B.平均数不变,中位数无法确定
C.平均数变大,中位数变大
D.平均数不变,中位数变小
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先分别判断平均数和中位数的变化：①先根据平均数的计算公式，推导添加数据88后平均数是否变化；②再结合中位数的定义，分析原数据个数、分布未知的情况下，中位数的变化情况，可通过举不同的例子验证中位数是否确定。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
设原来共有$n$个数据，已知原平均数为88，则原数据总和为$88n$。
添加一个数据88后，新数据总和为$88n + 88$，数据总个数为$n+1$，
则新平均数为$\frac{88n+88}{n+1} = \frac{88(n+1)}{n+1} = 88$，即平均数不变，排除选项C。
2. 判断新数据的中位数：
中位数是将一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，取最中间的数；若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数。
原数据中位数为85，但原数据的总个数、其余数据的分布均未知，可举例验证：
例1：原数据为[84,85,95]（共3个，中位数85），添加88后排序为[84,85,88,95]，新中位数为$(85+88)÷2=86.5$，比原中位数大；
例2：原数据为[82,85,85,96]（共4个，中位数为$(85+85)÷2=85$），添加88后排序为[82,85,85,88,96]，新中位数为85，和原中位数相等。
因此添加数据后，中位数可能变大也可能不变，无法确定。
综上，平均数不变，中位数无法确定，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题重点考查对平均数和中位数概念的灵活运用，易错点是容易忽略原数据的个数和分布未知这一前提，主观判断中位数的变化，解题时可通过举不同实例验证结论是否唯一。
【难度系数】
0.6
解题时先分别判断平均数和中位数的变化：①先根据平均数的计算公式，推导添加数据88后平均数是否变化；②再结合中位数的定义，分析原数据个数、分布未知的情况下，中位数的变化情况，可通过举不同的例子验证中位数是否确定。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
设原来共有$n$个数据，已知原平均数为88，则原数据总和为$88n$。
添加一个数据88后，新数据总和为$88n + 88$，数据总个数为$n+1$，
则新平均数为$\frac{88n+88}{n+1} = \frac{88(n+1)}{n+1} = 88$，即平均数不变，排除选项C。
2. 判断新数据的中位数：
中位数是将一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，若数据个数为奇数，取最中间的数；若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数。
原数据中位数为85，但原数据的总个数、其余数据的分布均未知，可举例验证：
例1：原数据为[84,85,95]（共3个，中位数85），添加88后排序为[84,85,88,95]，新中位数为$(85+88)÷2=86.5$，比原中位数大；
例2：原数据为[82,85,85,96]（共4个，中位数为$(85+85)÷2=85$），添加88后排序为[82,85,85,88,96]，新中位数为85，和原中位数相等。
因此添加数据后，中位数可能变大也可能不变，无法确定。
综上，平均数不变，中位数无法确定，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算；中位数的定义
【点评】
本题重点考查对平均数和中位数概念的灵活运用，易错点是容易忽略原数据的个数和分布未知这一前提，主观判断中位数的变化，解题时可通过举不同实例验证结论是否唯一。
【难度系数】
0.6
10. 已知甲糖果的单价为 $ m $ 元/kg，乙糖果的单价为 10 元/kg，则 2 kg 甲糖果和 $ m $ kg 乙糖果混合而成的什锦糖果的单价为 ______ 元/kg.
答案
10.$\frac{2m+10n}{2+n}$
解析
【分析】
要计算什锦糖果的单价，需遵循“平均单价=总费用÷总质量”的核心思路求解。第一步先分别计算两种糖果的总费用，相加得到什锦糖的总费用；第二步计算两种糖果的总质量；最后用总费用除以总质量即可得到什锦糖的单价。
【解析】
首先计算2kg甲糖果的总费用：
甲糖果总费用 = 单价×质量 = $m × 2 = 2m$ 元
再计算$n$kg乙糖果的总费用：
乙糖果总费用 = 单价×质量 = $10 × n = 10n$ 元
什锦糖的总费用 = 甲总费用 + 乙总费用 = $2m + 10n$ 元
什锦糖的总质量 = 甲质量 + 乙质量 = $2 + n$ kg
根据单价计算公式可得：
什锦糖单价 = 总费用÷总质量 = $\frac{2m + 10n}{2 + n}$ 元/kg
【答案】
$\frac{2m+10n}{2+n}$
【知识点】
加权平均数，列代数式
【点评】
本题是平均价格计算的基础题型，解题核心是区分加权平均数和算术平均数的适用场景，注意不能直接将两种糖果的单价求平均，需结合各自的质量权重计算，掌握总费用除以总质量的计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
要计算什锦糖果的单价，需遵循“平均单价=总费用÷总质量”的核心思路求解。第一步先分别计算两种糖果的总费用，相加得到什锦糖的总费用；第二步计算两种糖果的总质量；最后用总费用除以总质量即可得到什锦糖的单价。
【解析】
首先计算2kg甲糖果的总费用：
甲糖果总费用 = 单价×质量 = $m × 2 = 2m$ 元
再计算$n$kg乙糖果的总费用：
乙糖果总费用 = 单价×质量 = $10 × n = 10n$ 元
什锦糖的总费用 = 甲总费用 + 乙总费用 = $2m + 10n$ 元
什锦糖的总质量 = 甲质量 + 乙质量 = $2 + n$ kg
根据单价计算公式可得：
什锦糖单价 = 总费用÷总质量 = $\frac{2m + 10n}{2 + n}$ 元/kg
【答案】
$\frac{2m+10n}{2+n}$
【知识点】
加权平均数，列代数式
【点评】
本题是平均价格计算的基础题型，解题核心是区分加权平均数和算术平均数的适用场景，注意不能直接将两种糖果的单价求平均，需结合各自的质量权重计算，掌握总费用除以总质量的计算逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
11.为了解某路公共汽车的运营情况，公交部门统计了11月某天该路公共汽车共50班次的载客量，绘制成如下表格：
(1)表中$m=$
(2)求这天该路公共汽车平均每班的载客量；
(3)请估计11月份(共30天)该路公共汽车的总载客量.
(1)表中$m=$
50
，$n=$10
；(2)求这天该路公共汽车平均每班的载客量；
(3)请估计11月份(共30天)该路公共汽车的总载客量.
答案
11.解:(1)50;10
(2)$\frac{1}{50}×(5×10+15×30+20×50+10×70)=44$(人).答:这天该路公共汽车平均每班的载客量是44人.
(3)$44×50×30=66000$(人).答:估计11月份(共30天)该路公共汽车的总载客量是66000人.
(2)$\frac{1}{50}×(5×10+15×30+20×50+10×70)=44$(人).答:这天该路公共汽车平均每班的载客量是44人.
(3)$44×50×30=66000$(人).答:估计11月份(共30天)该路公共汽车的总载客量是66000人.
解析
【分析】
(1)首先明确组中值的定义：组中值是一组数据区间上下限的平均值，据此可计算$m$的值；再结合总班次为50，用总班次减去其余三组的频数即可求出$n$的值。
(2)计算平均每班载客量需用加权平均数的计算方法，以每组的组中值代表该组的载客量，乘以对应班次的频数，求和后除以总班次即可得到结果。
(3)要估计11月总载客量，用求出的平均每班载客量乘以每天的总班次，再乘以11月的天数30即可，属于用样本特征估计总体特征的应用。
【解析】
(1)对于载客量区间$40≤ x＜60$，组中值$m=\frac{40+60}{2}=50$；
已知总班次为50，因此$n=50-5-15-20=10$。
(2)根据加权平均数的计算公式：
平均每班载客量$=\frac{10×5 + 30×15 + 50×20 + 70×10}{50}$
$=\frac{50+450+1000+700}{50}$
$=\frac{2200}{50}=44$（人）
答：这天该路公共汽车平均每班的载客量是44人。
(3)11月共30天，每天有50班次，因此总载客量约为：
$44×50×30=66000$（人）
答：估计11月份该路公共汽车的总载客量是66000人。
【答案】
(1)$50$；$10$
(2)44人
(3)66000人
【知识点】
组中值的计算；加权平均数；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查对组中值、加权平均数的理解与计算能力，以及用样本特征估算总体情况的应用能力，掌握相关基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)首先明确组中值的定义：组中值是一组数据区间上下限的平均值，据此可计算$m$的值；再结合总班次为50，用总班次减去其余三组的频数即可求出$n$的值。
(2)计算平均每班载客量需用加权平均数的计算方法，以每组的组中值代表该组的载客量，乘以对应班次的频数，求和后除以总班次即可得到结果。
(3)要估计11月总载客量，用求出的平均每班载客量乘以每天的总班次，再乘以11月的天数30即可，属于用样本特征估计总体特征的应用。
【解析】
(1)对于载客量区间$40≤ x＜60$，组中值$m=\frac{40+60}{2}=50$；
已知总班次为50，因此$n=50-5-15-20=10$。
(2)根据加权平均数的计算公式：
平均每班载客量$=\frac{10×5 + 30×15 + 50×20 + 70×10}{50}$
$=\frac{50+450+1000+700}{50}$
$=\frac{2200}{50}=44$（人）
答：这天该路公共汽车平均每班的载客量是44人。
(3)11月共30天，每天有50班次，因此总载客量约为：
$44×50×30=66000$（人）
答：估计11月份该路公共汽车的总载客量是66000人。
【答案】
(1)$50$；$10$
(2)44人
(3)66000人
【知识点】
组中值的计算；加权平均数；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查对组中值、加权平均数的理解与计算能力，以及用样本特征估算总体情况的应用能力，掌握相关基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
