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1. 正方形具有而菱形不具有的性质是 （
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
）A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先明确正方形和菱形的性质，再逐一对比选项，找出仅正方形具有、菱形不具有的性质。首先我们知道正方形是特殊的菱形，所以菱形的所有性质正方形都具备，我们只需要找到正方形特有的性质即可。解题时先回忆两者的性质，再逐个排除不符合要求的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对角相等：菱形和正方形作为特殊平行四边形，对角都相等，该性质两者都有，不符合题意；
B. 对边相等：菱形和正方形的对边都平行且相等，该性质两者都有，不符合题意；
C. 对角线相等：正方形的对角线相等，而菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，该性质仅正方形具有，符合题意；
D. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形和正方形都是特殊平行四边形，都具有该性质，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础题，核心考查正方形与菱形的性质差异，解题的关键是熟练掌握两类特殊四边形的性质，明确正方形是特殊的菱形，在具备菱形所有性质的基础上，还拥有对角线相等、四个角都是直角等独有特性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先明确正方形和菱形的性质，再逐一对比选项，找出仅正方形具有、菱形不具有的性质。首先我们知道正方形是特殊的菱形，所以菱形的所有性质正方形都具备，我们只需要找到正方形特有的性质即可。解题时先回忆两者的性质，再逐个排除不符合要求的选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 对角相等：菱形和正方形作为特殊平行四边形，对角都相等，该性质两者都有，不符合题意；
B. 对边相等：菱形和正方形的对边都平行且相等，该性质两者都有，不符合题意；
C. 对角线相等：正方形的对角线相等，而菱形的对角线仅互相垂直平分，不一定相等，该性质仅正方形具有，符合题意；
D. 对角线互相平分：所有平行四边形的对角线都互相平分，菱形和正方形都是特殊平行四边形，都具有该性质，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、特殊四边形性质辨析
【点评】
本题属于基础题，核心考查正方形与菱形的性质差异，解题的关键是熟练掌握两类特殊四边形的性质，明确正方形是特殊的菱形，在具备菱形所有性质的基础上，还拥有对角线相等、四个角都是直角等独有特性。
【难度系数】
0.8
2. 已知正方形的对角线长为 4，则正方形的面积为 （
A.16
B.12
C.8
D.4
C
）A.16
B.12
C.8
D.4
答案
2.C
解析
【分析】
解题时可以从两种思路入手：① 常规思路：正方形面积=边长²，我们需要结合已知的对角线长度求边长的平方。正方形的两条邻边和对角线构成等腰直角三角形，可利用勾股定理建立边长和对角线的关系，无需开方求边长，直接得到边长平方就是面积。② 简便思路：正方形是特殊的菱形，菱形面积=对角线乘积的一半，直接代入对角线数值计算即可。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$。
∵正方形的内角为直角，四条边长相等
∴由勾股定理可得：$a^2 + a^2 = 4^2$
整理得：$2a^2=16$，解得$a^2=8$
∵正方形面积$S=a^2$，
∴正方形面积为8。
方法二：正方形属于特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半。
已知正方形对角线长为4，两条对角线长度相等，因此面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查正方形相关性质的应用，解题时可灵活选择计算方法，直接通过边长平方或对角线乘积计算面积，可省去求边长的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可以从两种思路入手：① 常规思路：正方形面积=边长²，我们需要结合已知的对角线长度求边长的平方。正方形的两条邻边和对角线构成等腰直角三角形，可利用勾股定理建立边长和对角线的关系，无需开方求边长，直接得到边长平方就是面积。② 简便思路：正方形是特殊的菱形，菱形面积=对角线乘积的一半，直接代入对角线数值计算即可。
【解析】
方法一：设正方形的边长为$a$。
∵正方形的内角为直角，四条边长相等
∴由勾股定理可得：$a^2 + a^2 = 4^2$
整理得：$2a^2=16$，解得$a^2=8$
∵正方形面积$S=a^2$，
∴正方形面积为8。
方法二：正方形属于特殊的菱形，菱形面积等于两条对角线乘积的一半。
已知正方形对角线长为4，两条对角线长度相等，因此面积$S=\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题属于基础题，考查正方形相关性质的应用，解题时可灵活选择计算方法，直接通过边长平方或对角线乘积计算面积，可省去求边长的步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,2),则点C的坐标为 （
A.$(-2,1)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(1,-2)$
A
）A.$(-2,1)$
B.$(-1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(1,-2)$
答案
3.A
解析
【分析】
要求点C的坐标，可结合正方形的性质构造全等三角形求解：首先正方形的邻边垂直且相等，可得OA=OC、∠AOC=90°，过A、C分别作x轴的垂线，可得到两个直角三角形，利用同角的余角相等可证两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合A点坐标求出C点横纵坐标的绝对值，最后根据C点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEO=∠ODA=90°，因此∠OCE+∠COE=90°。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=180°-90°=90°，
∴∠OCE=∠AOD（同角的余角相等）。
在△OCE和△AOD中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEO=∠ ODA\\ ∠ OCE=∠ AOD\\ OC=OA\end{array} $
∴△OCE≌△AOD（AAS）。
∵A的坐标为(1,2)，
∴OD=1，AD=2，
由全等三角形对应边相等可得：OE=AD=2，CE=OD=1。
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为(-2,1)。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，将已知点的坐标转化为所求点的对应线段长度。
【难度系数】
0.7
要求点C的坐标，可结合正方形的性质构造全等三角形求解：首先正方形的邻边垂直且相等，可得OA=OC、∠AOC=90°，过A、C分别作x轴的垂线，可得到两个直角三角形，利用同角的余角相等可证两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，结合A点坐标求出C点横纵坐标的绝对值，最后根据C点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
则∠CEO=∠ODA=90°，因此∠OCE+∠COE=90°。
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=180°-90°=90°，
∴∠OCE=∠AOD（同角的余角相等）。
在△OCE和△AOD中：
$\{\begin{array}{l}∠ CEO=∠ ODA\\ ∠ OCE=∠ AOD\\ OC=OA\end{array} $
∴△OCE≌△AOD（AAS）。
∵A的坐标为(1,2)，
∴OD=1，AD=2，
由全等三角形对应边相等可得：OE=AD=2，CE=OD=1。
∵点C在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
∴点C的坐标为(-2,1)。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何图形结合的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，将已知点的坐标转化为所求点的对应线段长度。
【难度系数】
0.7
4.若菱形ABCD的周长是20，对角线BD=8，则菱形ABCD的面积是 （
A.20
B.16
C.25
D.244
D
）A.20
B.16
C.25
D.244
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的核心性质：①菱形四条边长度相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再利用对角线垂直的性质结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
已知菱形ABCD的周长为20，根据菱形四条边相等，可得边长为：
$ AB = 20 ÷ 4 = 5 $
设菱形对角线AC、BD交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分，已知BD=8，可得：
$ OB = BD ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 $，且$ △ AOB $为直角三角形
根据勾股定理，可求出AO的长度：
$ AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 $
则另一条对角线AC的长度为：$ AC = 2 × AO = 2 × 3 = 6 $
根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），可得面积为：
$ S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，对应选项D。
（注：题目选项D存在输入笔误，正确数值应为24）
【答案】D
【知识点】菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】本题属于基础几何计算题，核心考查菱形边与对角线的性质，只要熟练掌握特殊四边形的性质，结合勾股定理求解线段长度，代入面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】0.8
解题时首先回忆菱形的核心性质：①菱形四条边长度相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半。首先根据周长求出菱形的边长，再利用对角线垂直的性质结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
已知菱形ABCD的周长为20，根据菱形四条边相等，可得边长为：
$ AB = 20 ÷ 4 = 5 $
设菱形对角线AC、BD交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分，已知BD=8，可得：
$ OB = BD ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 $，且$ △ AOB $为直角三角形
根据勾股定理，可求出AO的长度：
$ AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 $
则另一条对角线AC的长度为：$ AC = 2 × AO = 2 × 3 = 6 $
根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），可得面积为：
$ S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $，对应选项D。
（注：题目选项D存在输入笔误，正确数值应为24）
【答案】D
【知识点】菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】本题属于基础几何计算题，核心考查菱形边与对角线的性质，只要熟练掌握特殊四边形的性质，结合勾股定理求解线段长度，代入面积公式即可快速得出结果。
【难度系数】0.8
5. 如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 (
A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥ BD$时,它是菱形
C.当$∠ ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是正方形
D
)A.当$AB=BC$时,它是菱形
B.当$AC⊥ BD$时,它是菱形
C.当$∠ ABC=90°$时,它是矩形
D.当$AC=BD$时,它是正方形
答案
5.D
解析
【分析】
解答本题首先要回忆平行四边形转化为菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一分析每个选项的条件是否符合对应特殊四边形的判定规则，找出不符合的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，对各选项逐一分析：
A选项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB、BC是平行四边形的邻边，故AB=BC时，该平行四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
B选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故AC⊥BD时，该平行四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
C选项：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故∠ABC=90°时，该平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，仅AC=BD只能判定其为矩形，无法判定为正方形（正方形还需满足菱形的判定条件），结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查特殊平行四边形的判定定理，解题的关键是准确区分不同特殊四边形的判定条件，避免混淆对角线相等、垂直分别对应的特殊图形类型。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要回忆平行四边形转化为菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一分析每个选项的条件是否符合对应特殊四边形的判定规则，找出不符合的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，对各选项逐一分析：
A选项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB、BC是平行四边形的邻边，故AB=BC时，该平行四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
B选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故AC⊥BD时，该平行四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
C选项：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故∠ABC=90°时，该平行四边形是矩形，结论正确，不符合题意；
D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，仅AC=BD只能判定其为矩形，无法判定为正方形（正方形还需满足菱形的判定条件），结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查特殊平行四边形的判定定理，解题的关键是准确区分不同特殊四边形的判定条件，避免混淆对角线相等、垂直分别对应的特殊图形类型。
【难度系数】
0.8
6. 两张全等的矩形纸片$ABCD$，$AECF$按如图所示方式交叉叠放在一起，$AB=AF$，$AE=BC$。若$AB=2$，$BC=6$，则图中阴影部分的面积为（
A.$4$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$6$
B
）A.$4$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{16}{3}$
D.$6$
答案
6.B
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先明确阴影是直角△ABG，只需求出直角边BG的长度即可计算面积。首先利用矩形对边平行的性质，推导得到∠GAC=∠GCA，可判定△AGC是等腰三角形，即AG=GC；接着设BG的长为x，用含x的式子表示AG的长度，再在Rt△ABG中利用勾股定理列方程求解x，最后代入三角形面积公式即可算出阴影面积。
【解析】
设BC与AE的交点为G。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，可得∠DAC=∠ACB。
∵矩形AECF与矩形ABCD全等，
∴∠CAE=∠ACB，即∠GAC=∠GCA，
∴AG=GC。
设BG=x，已知BC=6，因此GC=6-x，即AG=6-x。
在Rt△ABG中，AB=2，根据勾股定理：$AB^2+BG^2=AG^2$，
代入得：$2^2+x^2=(6-x)^2$，
展开计算：$4+x^2=36-12x+x^2$，
消去$x^2$整理得：12x=32，解得$x=\frac{8}{3}$。
阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× BG=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的突破口是通过角的等量关系得到AG=GC，将未知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先明确阴影是直角△ABG，只需求出直角边BG的长度即可计算面积。首先利用矩形对边平行的性质，推导得到∠GAC=∠GCA，可判定△AGC是等腰三角形，即AG=GC；接着设BG的长为x，用含x的式子表示AG的长度，再在Rt△ABG中利用勾股定理列方程求解x，最后代入三角形面积公式即可算出阴影面积。
【解析】
设BC与AE的交点为G。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，可得∠DAC=∠ACB。
∵矩形AECF与矩形ABCD全等，
∴∠CAE=∠ACB，即∠GAC=∠GCA，
∴AG=GC。
设BG=x，已知BC=6，因此GC=6-x，即AG=6-x。
在Rt△ABG中，AB=2，根据勾股定理：$AB^2+BG^2=AG^2$，
代入得：$2^2+x^2=(6-x)^2$，
展开计算：$4+x^2=36-12x+x^2$，
消去$x^2$整理得：12x=32，解得$x=\frac{8}{3}$。
阴影部分面积：$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× AB× BG=\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的突破口是通过角的等量关系得到AG=GC，将未知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
