7. 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件:________,使矩形ABCD是正方形.

7.$AB=AD$(答案不唯一)

【分析】
首先明确已知条件：四边形ABCD是矩形，我们需要添加条件将其判定为正方形。回忆特殊平行四边形的判定定理：对于矩形来说，只需满足“有一组邻边相等”或者“对角线互相垂直”这两个条件之一，就可以判定为正方形，我们从这两个方向选取合适的、无需添加辅助线的条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是矩形：
1. 根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，我们可以添加一组邻边相等的条件，例如AB=AD、AB=BC等；
2. 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”，我们也可以添加AC⊥BD这类条件。
以上条件任选其一即可，通常填写最直观的邻边相等条件。
【答案】
AB=AD(答案不唯一)
【知识点】
矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查矩形转化为正方形的判定条件，只要熟练掌握特殊平行四边形的相关判定定理就能快速作答，答案不唯一，符合判定要求即可。
【难度系数】
0.85

8. 如图所示，点O为正方形ABCD的两条对角线AC，BD的交点.若正方形ABCD的周长为8 cm，则阴影部分的面积为________.

8.$1\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
解题时首先根据正方形周长公式求出正方形的边长，进而计算出正方形的总面积；再结合正方形的中心对称性，观察阴影部分的构成，可通过割补法将两个分散的阴影三角形拼接成一个规则的、面积为正方形总面积四分之一的三角形，最终求出阴影部分的面积。
【解析】
解：已知正方形ABCD的周长为8 cm，
∴正方形的边长为 $8÷4=2\ \mathrm{cm}$，
正方形的面积为 $2×2=4\ \mathrm{cm^2}$。
∵正方形的两条对角线将正方形平均分成4个面积相等的等腰直角三角形，
∴每个三角形的面积为 $4÷4=1\ \mathrm{cm^2}$。
根据正方形的中心对称性可知，$S_{△ DOE}=S_{△ BOF}$，
因此阴影部分的面积和为 $S_{△ AOF}+S_{△ DOE}=S_{△ AOF}+S_{△ BOF}=S_{△ AOB}=1\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方形的性质；割补法求面积；中心对称的性质
【点评】
本题是典型的几何面积计算问题，解题核心是利用转化思想，通过割补将不规则的阴影部分转化为规则图形进行计算，无需分别求解两个阴影三角形的面积，可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7

9. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图(1)所示的菱形教具，此时测得$∠ D=60°$，对角线$AC$的长为$16\ \mathrm{cm}$. 改变教具的形状，使之成为如图(2)所示的正方形，则正方形的边长为________.

9.$16\ \mathrm{cm}$

【分析】
解题首先要抓住形变过程中木条长度不变，即正方形的边长等于原菱形的边长。第一步先利用菱形四边相等的性质得到AD=CD，结合已知∠D=60°，可判定△ACD是等边三角形，由此可求出菱形的边长，也就是正方形的边长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AD = CD，
又
∵ ∠D = 60°，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ AD = AC = 16 cm，即菱形的边长为16 cm。
∵ 改变形状过程中木条长度不变，
∴ 正方形的边长等于菱形的边长，为16 cm。
【答案】
16 cm
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；正方形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，核心是抓住图形形变前后边长不变的特点，结合菱形和等边三角形的性质即可快速求解，考查了对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

10.如图所示,图形①是一个边长为24 cm的正方形.从图形①中剪去两个等边三角形③(边长为8 cm)和④(边长为16 cm)后,形成了图形②,则图形②的周长是.

10.$120\ \mathrm{cm}$

【分析】
要计算图形②的周长，首先对比图形①和②的边的变化：先明确正方形的原有边长，再分析剪去两个等边三角形后，消失的边和新增的边分别是哪些，结合等边三角形三边相等的性质，分别计算各段长度再求和即可。
【解析】
1. 首先确定图形①是边长为24cm的正方形，剪去两个等边三角形后：
正方形的上、下、左侧三条边完整保留，总长度为 $24×3=72\ \mathrm{cm}$；
等边三角形③的边长为8cm，剪去后新增2条边长，总长度为 $8×2=16\ \mathrm{cm}$；
等边三角形④的边长为16cm，剪去后新增2条边长，总长度为 $16×2=32\ \mathrm{cm}$。
2. 图形②的总周长为上述边长之和：$72+16+32=120\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$120\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方形周长计算、等边三角形的性质、不规则图形周长计算
【点评】
本题考查图形剪拼过程中的周长变化，解题核心是准确判断剪拼前后增减的边，不要误算被剪掉的原正方形右边的边长，同时利用等边三角形三边相等的性质快速计算新增边长。
【难度系数】
0.7

11. 如图所示,在正方形ABCD中,AC,BD交于点O,BD=10,点E,F是BD上的两点,BE=DF=2.求四边形AECF的周长.

11.解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴$OD=OB$,$OA=OC$,$BD⊥AC$.
∵$BE=DF$,
∴$OE=OF$.
∴四边形AECF是平行四边形. 又
∵$EF⊥AC$,
∴四边形AECF为菱形.
∵$BD=10$,$BE=DF=2$,
∴$OE=5-2=3$,$OC=5$.
∴$CE=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.
∴菱形AECF的周长为$4\sqrt{34}$.

【分析】
解题时首先回忆正方形对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等。已知BE=DF，可推出OE=OF，结合AC与BD互相平分，先判断四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥BD，可判定该四边形是菱形；接下来只需利用勾股定理计算出菱形的一条边长，再根据菱形四边相等的性质计算周长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴$OD=OB=OA=OC=\frac{1}{2}BD=5$，且$BD⊥AC$。
∵$BE=DF=2$，
∴$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$。
∴四边形AECF的对角线互相平分，是平行四边形。
又
∵$EF⊥AC$，
∴平行四边形AECF是菱形，即$AE=EC=CF=AF$。
在$Rt△ COE$中，$OC=5$，$OE=OB-BE=5-2=3$，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。
∴四边形AECF的周长为$4CE=4\sqrt{34}$。
【答案】
$4\sqrt{34}$
【知识点】
正方形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，解题的核心是先结合正方形对角线的性质判断出目标四边形的形状为菱形，再利用勾股定理计算边长，解题过程中要熟练掌握各类特殊四边形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7

12. 如图所示,在正方形ABCD中,点E是BC上一点,连接AE,在AE上截取AM=BE,延长AD到点F,使AF=AE,连接MF,EF.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ FMA$;
(2)若$AB=4$,$BE=3$,求EF的长.

12.(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴$∠B=∠BAD=90°$.
∴$∠BAE+∠AEB=90°$,$∠BAE+∠EAF=90°$.
∴$∠AEB=∠EAF$.
在$△ABE$和$△FMA$中,$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠AEB=∠MAF,\\ BE=AM, \end{cases}$
∴$△ABE≌△FMA(\mathrm{SAS})$.
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵$△ABE≌△FMA$,
∴$AM=BE=3$,$FM=AB=4$,$∠AMF=∠ABC=90°$.
∴$ME=AE-AM=5-3=2$.
在$\mathrm{Rt}△EFM$中,$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△FMA，首先利用正方形的性质得到直角，通过同角的余角相等推出两个三角形的一组对应角相等，再结合题目给出的两组对应边相等的条件，即可用SAS判定定理证明全等；
(2) 先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE的长度，再根据全等三角形的性质得到对应边、对应角的关系，推出△EFM是直角三角形，求出直角边ME的长度后，再次用勾股定理即可算出EF的长。
【解析】
(1) 证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴$∠ B=∠ BAD=90°$.
∴$∠ BAE+∠ AEB=90°$,$∠ BAE+∠ EAF=90°$.
∴$∠ AEB=∠ EAF$.
在$△ ABE$和$△ FMA$中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠ AEB=∠ MAF,\\ BE=AM, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ FMA(\mathrm{SAS})$.
(2) 解:在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵$△ ABE≌△ FMA$,
∴$AM=BE=3$,$FM=AB=4$,$∠ AMF=∠ ABC=90°$.
∴$ME=AE-AM=5-3=2$.
在$\mathrm{Rt}△ EFM$中,$EF=\sqrt{EM^2+FM^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) $△ ABE≌△ FMA$成立；
(2) $EF$的长为$2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题逻辑链条清晰，先通过正方形性质推导全等所需的角相等条件，再借助全等三角形转化边角关系，最后用勾股定理计算线段长度，能够很好地考查学生对基础几何性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7