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13.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是
（
A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=BC$
C.(3)处可填$AB=AD$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
（
B
）A.(1)处可填$∠ A=90°$
B.(2)处可填$AD=BC$
C.(3)处可填$AB=AD$
D.(4)处可填$∠ A=90°$
答案
13.B
解析
【分析】
要判断各选项条件添加是否正确，需先明确特殊四边形的转化判定规则：平行四边形添加“有一个内角为直角”可转化为矩形；矩形添加“邻边相等”可转化为正方形；平行四边形添加“一组邻边相等”可转化为菱形；菱形添加“有一个内角为直角”可转化为正方形，再逐一对应四个位置验证条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形，添加$∠ A=90°$，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定，条件正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形，矩形的对边本来就相等，$AD$和$BC$是矩形的一组对边，添加$AD=BC$无法使矩形变为正方形，需添加邻边相等类条件，该条件错误，符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形，添加$AB=AD$，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，条件正确，不符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形，添加$∠ A=90°$，符合“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定，条件正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊四边形判定；矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查各类特殊四边形之间的转化关系，解题核心是准确区分不同特殊四边形的判定定理，不要将图形本身的固有性质当作转化所需的添加条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.75
要判断各选项条件添加是否正确，需先明确特殊四边形的转化判定规则：平行四边形添加“有一个内角为直角”可转化为矩形；矩形添加“邻边相等”可转化为正方形；平行四边形添加“一组邻边相等”可转化为菱形；菱形添加“有一个内角为直角”可转化为正方形，再逐一对应四个位置验证条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. (1)处是平行四边形转化为矩形，添加$∠ A=90°$，符合“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定，条件正确，不符合题意；
B. (2)处是矩形转化为正方形，矩形的对边本来就相等，$AD$和$BC$是矩形的一组对边，添加$AD=BC$无法使矩形变为正方形，需添加邻边相等类条件，该条件错误，符合题意；
C. (3)处是平行四边形转化为菱形，添加$AB=AD$，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定，条件正确，不符合题意；
D. (4)处是菱形转化为正方形，添加$∠ A=90°$，符合“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定，条件正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊四边形判定；矩形的性质；正方形的判定
【点评】
本题考查各类特殊四边形之间的转化关系，解题核心是准确区分不同特殊四边形的判定定理，不要将图形本身的固有性质当作转化所需的添加条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.75
14. 如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$D$从点$B$出发沿$BC$边向点$C$运动,运动到点$C$停止,过点$D$分别作$DE // AC$交$AB$于点$E$,$DF // AB$交$AC$于点$F$,则四边形$AEDF$形状的变化依次为 （
A.矩形→菱形→矩形
B.矩形→正方形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→正方形→平行四边形
B
）A.矩形→菱形→矩形
B.矩形→正方形→矩形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→正方形→平行四边形
答案
14.B
解析
【分析】
首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先判断四边形AEDF的基础形状，再结合∠A=90°的条件，可确定初始状态下它是矩形；接下来分析点D运动过程中边的变化，当邻边DE和DF长度相等时，符合正方形的判定条件；后续点D继续向C运动时，始终满足矩形的判定要求，因此最后又回到矩形，据此即可选出正确选项。
【解析】
解：①初始阶段：
∵$DE// AC$，$DF// AB$，
∴四边形$AEDF$是平行四边形，又
∵$∠ A=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知此时四边形$AEDF$是矩形；
②运动中间阶段：当点D运动到某一位置时，若$DE=DF$，根据“邻边相等的矩形是正方形”，此时四边形$AEDF$变为正方形；
③后续运动阶段：点D继续向点C运动，仍然满足$DE// AC$、$DF// AB$，且$∠ A=90°$，所以四边形$AEDF$仍然是矩形，直到D到达点C停止运动。
综上，四边形$AEDF$形状的变化依次为矩形→正方形→矩形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合动点情境考查特殊四边形的判定，解题关键是熟练掌握各类特殊四边形的判定定理，结合运动过程中边和角的特征判断形状变化，是几何基础类题目。
【难度系数】
0.7
首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先判断四边形AEDF的基础形状，再结合∠A=90°的条件，可确定初始状态下它是矩形；接下来分析点D运动过程中边的变化，当邻边DE和DF长度相等时，符合正方形的判定条件；后续点D继续向C运动时，始终满足矩形的判定要求，因此最后又回到矩形，据此即可选出正确选项。
【解析】
解：①初始阶段：
∵$DE// AC$，$DF// AB$，
∴四边形$AEDF$是平行四边形，又
∵$∠ A=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知此时四边形$AEDF$是矩形；
②运动中间阶段：当点D运动到某一位置时，若$DE=DF$，根据“邻边相等的矩形是正方形”，此时四边形$AEDF$变为正方形；
③后续运动阶段：点D继续向点C运动，仍然满足$DE// AC$、$DF// AB$，且$∠ A=90°$，所以四边形$AEDF$仍然是矩形，直到D到达点C停止运动。
综上，四边形$AEDF$形状的变化依次为矩形→正方形→矩形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合动点情境考查特殊四边形的判定，解题关键是熟练掌握各类特殊四边形的判定定理，结合运动过程中边和角的特征判断形状变化，是几何基础类题目。
【难度系数】
0.7
15.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-1,0),点E在边CD上.将$△ BCE$沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则AB的长为
5
,点E的坐标为$(\dfrac{3}{2},5)$
.答案
15.$5$；$(\dfrac{3}{2},5)$
解析
【分析】
解题时先求AB的长度：利用折叠前后对应边相等，可得BF=BC，而BC是正方形的边长即等于AB，我们设AB长为a，先根据A点坐标表示出B点坐标，再结合F点坐标用两点间距离公式列方程即可求出a；再求E点坐标：E在CD上，纵坐标等于正方形的边长，设E的横坐标为x，同样利用折叠性质得EF=CE，结合两点间距离公式列方程求解x即可得到E点坐标。
【解析】
1. 求AB的长
设正方形ABCD的边长AB为a。
已知点A坐标为(-1,0)，AB在x轴上，因此点B坐标为$(a-1,0)$，正方形边长BC=a。
由折叠的性质可知，折叠后对应边相等，即$BF=BC=a$。
已知F点坐标为(0,3)，根据两点间距离公式：
$BF=\sqrt{(a-1-0)^2+(0-3)^2}=a$
两边平方得：$(a-1)^2+9=a^2$
展开化简：$a^2-2a+1+9=a^2$，即$-2a+10=0$，解得$a=5$，因此AB的长为5。
2. 求点E的坐标
由AB=5可得，点B坐标为$(4,0)$，点C坐标为$(4,5)$，CD边所有点的纵坐标均为5，设E点坐标为$(x,5)$，则$CE=4-x$。
由折叠性质得$EF=CE=4-x$，再根据两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(x-0)^2+(5-3)^2}=\sqrt{x^2+4}$
因此$\sqrt{x^2+4}=4-x$，两边平方得：$x^2+4=16-8x+x^2$
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，因此E点坐标为$(\frac{3}{2},5)$。
【答案】
$5$；$(\dfrac{3}{2},5)$
【知识点】
折叠的性质，正方形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠结合的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合几何图形坐标特征建立方程求解，能够较好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先求AB的长度：利用折叠前后对应边相等，可得BF=BC，而BC是正方形的边长即等于AB，我们设AB长为a，先根据A点坐标表示出B点坐标，再结合F点坐标用两点间距离公式列方程即可求出a；再求E点坐标：E在CD上，纵坐标等于正方形的边长，设E的横坐标为x，同样利用折叠性质得EF=CE，结合两点间距离公式列方程求解x即可得到E点坐标。
【解析】
1. 求AB的长
设正方形ABCD的边长AB为a。
已知点A坐标为(-1,0)，AB在x轴上，因此点B坐标为$(a-1,0)$，正方形边长BC=a。
由折叠的性质可知，折叠后对应边相等，即$BF=BC=a$。
已知F点坐标为(0,3)，根据两点间距离公式：
$BF=\sqrt{(a-1-0)^2+(0-3)^2}=a$
两边平方得：$(a-1)^2+9=a^2$
展开化简：$a^2-2a+1+9=a^2$，即$-2a+10=0$，解得$a=5$，因此AB的长为5。
2. 求点E的坐标
由AB=5可得，点B坐标为$(4,0)$，点C坐标为$(4,5)$，CD边所有点的纵坐标均为5，设E点坐标为$(x,5)$，则$CE=4-x$。
由折叠性质得$EF=CE=4-x$，再根据两点间距离公式：
$EF=\sqrt{(x-0)^2+(5-3)^2}=\sqrt{x^2+4}$
因此$\sqrt{x^2+4}=4-x$，两边平方得：$x^2+4=16-8x+x^2$
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，因此E点坐标为$(\frac{3}{2},5)$。
【答案】
$5$；$(\dfrac{3}{2},5)$
【知识点】
折叠的性质，正方形的性质，两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何折叠结合的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，结合几何图形坐标特征建立方程求解，能够较好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
16. 如图所示,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且E,F两点关于对角线AC所在的直线对称,连接AE,AF,EF,∠EAF=60°.
(1)∠BAE的度数是________;
(2)若对角线AC交EF于点G,$CF=\sqrt{2}$,则线段AG的长是________.
(1)∠BAE的度数是________;
(2)若对角线AC交EF于点G,$CF=\sqrt{2}$,则线段AG的长是________.
答案
16.(1)$15°$ (2)$\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 首先结合正方形的轴对称性质，E、F关于对角线AC对称，可得AE=AF、CE=CF；结合已知∠EAF=60°，可判定△AEF是等边三角形，得到∠AEF=60°；再由CE=CF、∠C=90°可知△ECF是等腰直角三角形，得到∠CEF=45°，进而求出∠AEB的度数，最后在Rt△ABE中利用直角三角形两锐角互余即可算出∠BAE的度数。
(2) 先在等腰直角△ECF中，已知CF=√2，用勾股定理求出EF的长度；再结合△AEF是等边三角形，AC垂直平分EF，利用勾股定理求出等边三角形的高AG的长度即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AC是正方形的对称轴，∠B=∠BCD=90°。
∵E、F关于AC对称，
∴AE=AF，CE=CF，AC垂直平分EF。
又
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
∵CE=CF，∠BCD=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-60°-45°=75°。
在Rt△ABE中，∠B=90°，
∴∠BAE=90°-∠AEB=90°-75°=15°。
(2) 在等腰Rt△ECF中，CE=CF=√2，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵△AEF是等边三角形，AC⊥EF，
∴由等边三角形三线合一可得，G是EF中点，即$EG=\frac{1}{2}EF=1$，且$AE=EF=2$。
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AE^2-EG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$15°$ (2)$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了对称的性质、特殊三角形的判定与性质，解题的关键是利用对称得到相等线段，结合特殊三角形的性质逐步推导，需要熟练掌握各类特殊三角形的相关结论。
【难度系数】
0.65
(1) 首先结合正方形的轴对称性质，E、F关于对角线AC对称，可得AE=AF、CE=CF；结合已知∠EAF=60°，可判定△AEF是等边三角形，得到∠AEF=60°；再由CE=CF、∠C=90°可知△ECF是等腰直角三角形，得到∠CEF=45°，进而求出∠AEB的度数，最后在Rt△ABE中利用直角三角形两锐角互余即可算出∠BAE的度数。
(2) 先在等腰直角△ECF中，已知CF=√2，用勾股定理求出EF的长度；再结合△AEF是等边三角形，AC垂直平分EF，利用勾股定理求出等边三角形的高AG的长度即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AC是正方形的对称轴，∠B=∠BCD=90°。
∵E、F关于AC对称，
∴AE=AF，CE=CF，AC垂直平分EF。
又
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
∵CE=CF，∠BCD=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=180°-60°-45°=75°。
在Rt△ABE中，∠B=90°，
∴∠BAE=90°-∠AEB=90°-75°=15°。
(2) 在等腰Rt△ECF中，CE=CF=√2，
由勾股定理得：$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
∵△AEF是等边三角形，AC⊥EF，
∴由等边三角形三线合一可得，G是EF中点，即$EG=\frac{1}{2}EF=1$，且$AE=EF=2$。
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AE^2-EG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$15°$ (2)$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了对称的性质、特殊三角形的判定与性质，解题的关键是利用对称得到相等线段，结合特殊三角形的性质逐步推导，需要熟练掌握各类特殊三角形的相关结论。
【难度系数】
0.65
