数学广角
完美矩形
在装修房屋时，客厅地面铺设地砖，通常使用同样大小的正方形地砖.若客厅里的矩形地面上，正方形地砖的大小各不相同，砖与砖之间、砖与墙之间没有空隙，并且能使每块地砖都保持完整，那将是多么奇特、别致啊！
如果一个矩形的内部能用一些大小各不相同的正方形铺满(既不重叠也无缝隙)，那么就称它为完美矩形.
如图(1)所示的是一个完美矩形的例子.它是用10个不同大小的正方形拼成的，其中最小的一个正方形内写着数字3，表示它的边长是3，其他正方形内用相应数字表示边长.
完美矩形的例子带给我们启示：日常生活中隐含着许多数学道理，同时完美矩形向我们展示了数学美.
如图(1)所示的矩形由10个大小各不相同的正方形拼成，称为10阶完美矩形.这是一个非常好的例子，矩形的长和宽很小，正方形个数也相对较少.组成完美矩形的正方形个数能否更少呢？
由9个大小各不相同的正方形拼成的矩形，称为9阶完美矩形.可以证明完美矩形最少由9个大小各不相同的正方形拼成.如图(2)所示，图中字母表示相应正方形的边长.
你能否结合图(2)及矩形的性质算出图(2)中9阶完美矩形中各正方形的边长？
假期作业 9
年月日 星期

解:由矩形对边相等结合图(2),可得$\begin{cases}(2y-5z)+(y-2z)+(y-z)=(2x+y)+(x+y),\\(2x+y)+(2y-5z)=(x+y)+y+(y-z),\end{cases}$
即$\begin{cases}3x-2y+8z=0,\\x-4z=0.\end{cases}$
令 $z=1,$得 $x=4,y=10.$
代入图中即可得到图(2)中各正方形的边长分别为 18,14,4,10,15,1,7,8,9.(各正方形的边长随 $z$ 的取值变化而变化)

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先根据正方形四条边相等的性质，可将图中所有正方形的边长用x、y、z三个字母表示；其次利用矩形对边相等的性质，分别用两种不同的方式表示矩形的长和宽，就能列出关于x、y、z的方程组；最后因为正方形边长均为正整数，可给数值最小的变量z赋最小正整数值，依次求出x、y的值，再代入计算即可得到所有正方形的边长。
【解析】
根据矩形对边相等的性质，结合图中各正方形边长的关系，列方程组：
$\begin{cases}(2y-5z)+(y-2z)+(y-z)=(2x+y)+(x+y)\\(2x+y)+(2y-5z)=(x+y)+y+(y-z)\end{cases}$
化简后可得：
$\begin{cases}3x-2y+8z=0\\x-4z=0\end{cases}$
由于正方形边长都为正整数，令$z=1$，代入第二个方程得$x=4$，再将$x=4$、$z=1$代入第一个方程，解得$y=10$。
将$x=4$、$y=10$、$z=1$代入各正方形边长的表达式，即可求出所有正方形的边长。
【答案】
各正方形的边长随z的取值变化而变化，当z=1时，各正方形的边长分别为18,14,4,10,15,1,7,8,9。
【知识点】
矩形的性质
方程组的应用
正方形的性质
【点评】
本题将几何图形性质与方程建模思想结合，需要学生通过观察梳理各正方形边长的数量关系，再利用矩形对边相等的性质列方程求解，既考查了读图分析能力，也体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.4