16. 实践与操作.
【背景阅读】
宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.
【实践操作】
下面我们折出一个黄金矩形.
第一步:在一张宽为2的矩形纸片的一端,利用如图(1)所示的方法折出一个正方形$MNCB$,然后把纸片展平;
第二步:如图(2)所示,把这个正方形对折成两个大小相等的矩形$MNAF$和$FACB$,再把纸片展平;
第三步:如图(3)所示,折出矩形$FACB$的对角线$AB$,并沿$AQ$折叠纸片,使点$B$落在$AC$延长线上的点$D$处;
第四步:展平纸片,过点$D$折出$DE$,使$DE ⊥ CD$,得到矩形$BCDE$,如图(4)所示,则矩形$BCDE$就是黄金矩形.
【问题解决】
(1)图(3)中,$AB=$,$ND=$;(结果均保留根号)
(2)请根据折纸的过程,写出图(4)中矩形$BCDE$是黄金矩形的理由.

16.(1)$\sqrt{5}\quad 1+\sqrt{5}$
(2)解:由折叠可得 $AD=AB=\sqrt{5},AN=AC=1,BC=MN=2,$
$∠ CBM=∠ M=90°,∠ BCN=∠ N=90°,$
$\therefore BC⊥ BE,BC⊥ CD.$ 又 $DE⊥ CD,\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是矩形.
$\because CD=AD-AC=\sqrt{5}-1,BC=2,\therefore\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
$\therefore$ 矩形 $BCDE$ 是黄金矩形.

【分析】
(1) 首先根据折纸操作确定已知边长：第一步折出的正方形MNCB边长等于纸片宽2，因此BC=NC=2；第二步对折正方形后，AC为NC的一半，即AC=1。在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长度；再根据折叠的性质得AD=AB，先求出CD的长度，再结合ND=NC+CD即可算出ND的长度。
(2) 要证明矩形BCDE是黄金矩形，首先根据折叠的性质和垂直的条件证明四边形BCDE是矩形，再计算宽与长的比值，判断是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可。
【解析】
(1) 由折纸第一步可知，正方形MNCB的边长为2，
∴BC=NC=2，∠ACB=90°；
第二步对折正方形，得AC=$\frac{1}{2}$NC=1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
由第三步折叠的性质可得AD=AB=$\sqrt{5}$，
∴$CD=AD-AC=\sqrt{5}-1$，
∴$ND=NC+CD=2+(\sqrt{5}-1)=1+\sqrt{5}$。
(2) 由折叠可得 $AD=AB=\sqrt{5},AC=1,BC=MN=2$，
$∠CBM=∠M=90°,∠BCN=∠N=90°,$
$\therefore BC⊥ BE,BC⊥ CD$。又 $DE⊥ CD$，
$\therefore$ 四边形 $BCDE$ 是矩形。
$\because CD=AD-AC=\sqrt{5}-1,BC=2$，
$\therefore\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金矩形的定义，
$\therefore$ 矩形$BCDE$是黄金矩形。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；$1+\sqrt{5}$
(2) 矩形BCDE是黄金矩形，证明过程如上。
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；矩形的判定
【点评】
本题结合折纸实践操作考查几何核心知识，需要学生准确梳理折叠过程中的等量关系，兼顾了动手能力和逻辑推理能力的考查，趣味性和实用性较强。
【难度系数】
0.7