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一、选择题
1. 将一次函数$y=x-2$的图象沿$y$轴向上平移$m$个单位长度后经过点$(1,4)$，则$m$的值为（
A.6
B.5
C.$-5$
D.$-6$
1. 将一次函数$y=x-2$的图象沿$y$轴向上平移$m$个单位长度后经过点$(1,4)$，则$m$的值为（
B
）A.6
B.5
C.$-5$
D.$-6$
答案
∵一次函数$y=x-2$的图象沿$y$轴向上平移$m$个单位长度,
∴平移后的表达式为$y=x-2+m$.
∵平移后经过点$(1,4),∴4=1-2+m$,解得$m=5$.
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数沿y轴平移的规律：沿y轴向上平移m个单位时，函数表达式整体加m，即遵循“上加下减”的平移规则。得到平移后的函数表达式后，由于点(1,4)在平移后的图象上，该点的横纵坐标必然满足平移后的函数表达式，将点的坐标代入表达式即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
∵一次函数$y=x-2$的图象沿$y$轴向上平移$m$个单位长度，根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，
∴平移后的函数表达式为$y=x-2+m$。
又
∵平移后的图象经过点$(1,4)$，
∴将$x=1$、$y=4$代入平移后的表达式，可得：
$4=1-2+m$
解得$m=5$。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数图象平移规律
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数的平移规则和函数图象上点的坐标与函数表达式的对应关系，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆一次函数沿y轴平移的规律：沿y轴向上平移m个单位时，函数表达式整体加m，即遵循“上加下减”的平移规则。得到平移后的函数表达式后，由于点(1,4)在平移后的图象上，该点的横纵坐标必然满足平移后的函数表达式，将点的坐标代入表达式即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
∵一次函数$y=x-2$的图象沿$y$轴向上平移$m$个单位长度，根据一次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，
∴平移后的函数表达式为$y=x-2+m$。
又
∵平移后的图象经过点$(1,4)$，
∴将$x=1$、$y=4$代入平移后的表达式，可得：
$4=1-2+m$
解得$m=5$。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数图象平移规律
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查一次函数的平移规则和函数图象上点的坐标与函数表达式的对应关系，熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 若一个正数的两个不同的平方根分别为$a+3$和$2a-15$，则这个正数是 （
A.7
B.11
C.49
D.324
C
）A.7
B.11
C.49
D.324
答案
∵一个正数的两个不同的平方根分别为a+3和2a-15,
∴a+3+2a-15=0,
∴a=4,
∴a+3=7,
∴这个正数是49.
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根，它们的和为0。我们可以利用这个性质先列关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入其中一个平方根的表达式，再对结果平方就能得到这个正数。
【解析】
解：
∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数，其和为0
∴$a+3 + 2a - 15 = 0$
合并同类项得：$3a - 12 = 0$
解得：$a = 4$
将$a=4$代入$a+3$得：$4+3=7$
∴这个正数为$7^2=49$
故选C
【答案】C
【知识点】平方根的性质；解一元一次方程；平方运算
【点评】本题是基础概念应用题，核心考查正数平方根的性质，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，整体难度低，计算量小。
【难度系数】0.9
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根，它们的和为0。我们可以利用这个性质先列关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入其中一个平方根的表达式，再对结果平方就能得到这个正数。
【解析】
解：
∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数，其和为0
∴$a+3 + 2a - 15 = 0$
合并同类项得：$3a - 12 = 0$
解得：$a = 4$
将$a=4$代入$a+3$得：$4+3=7$
∴这个正数为$7^2=49$
故选C
【答案】C
【知识点】平方根的性质；解一元一次方程；平方运算
【点评】本题是基础概念应用题，核心考查正数平方根的性质，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，整体难度低，计算量小。
【难度系数】0.9
3. 已知直线 $ y = kx + b $ 经过第一、二、四象限，那么直线 $ y = bx + k $ 一定不经过 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
∵直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限,
∴$k＜0,b＞0$,
∴直线$y=bx+k$经过第一、三、四象限,一定不经过第二象限.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k$的正负决定图象的倾斜方向，$k＞0$时图象从左到右上升，$k＜0$时图象从左到右下降；$b$的正负决定图象与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交于$y$轴正半轴，$b＜0$时交于$y$轴负半轴。解题时先根据已知直线经过的象限判断出$k$、$b$的正负，再代入第二条直线的系数，判断第二条直线经过的象限，即可得出答案。
【解析】
∵直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，
∴根据一次函数图象与系数的关系可得：$k＜0,b＞0$，
对于直线$y=bx+k$，其一次项系数$b＞0$，因此图象从左到右上升，常数项$k＜0$，因此图象与$y$轴交于负半轴，
由此可得直线$y=bx+k$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数图象与系数的关系 2.函数图象象限判断
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，解题的核心是熟练掌握一次函数中一次项系数、常数项的取值对图象经过象限的影响，解题时注意区分两条直线中$k$、$b$的角色，避免混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：$k$的正负决定图象的倾斜方向，$k＞0$时图象从左到右上升，$k＜0$时图象从左到右下降；$b$的正负决定图象与$y$轴的交点位置，$b＞0$时交于$y$轴正半轴，$b＜0$时交于$y$轴负半轴。解题时先根据已知直线经过的象限判断出$k$、$b$的正负，再代入第二条直线的系数，判断第二条直线经过的象限，即可得出答案。
【解析】
∵直线$y=kx+b$经过第一、二、四象限，
∴根据一次函数图象与系数的关系可得：$k＜0,b＞0$，
对于直线$y=bx+k$，其一次项系数$b＞0$，因此图象从左到右上升，常数项$k＜0$，因此图象与$y$轴交于负半轴，
由此可得直线$y=bx+k$经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数图象与系数的关系 2.函数图象象限判断
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，解题的核心是熟练掌握一次函数中一次项系数、常数项的取值对图象经过象限的影响，解题时注意区分两条直线中$k$、$b$的角色，避免混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ C=54°$,$AD$是斜边$BC$上的中线.将$△ ABD$沿$AD$翻折,使点$B$落在点$F$处,线段$AF$与$BC$相交于点$E$,则$∠ AED$的度数为 （
A.$120°$
B.$108°$
C.$72°$
D.$36°$
C
）A.$120°$
B.$108°$
C.$72°$
D.$36°$
答案
∵∠BAC=90°,∠C=54°,
∴∠ABD=90°-54°=36°.
∵AD是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边BC上的中线,
∴AD=BD=CD,
∴∠DAB=∠ABD=36°.
∵将△ABD沿AD翻折,使点B落在点F处,线段AF与BC相交于点E,
∴∠EAD=∠DAB=36°,
∴∠EAB=∠EAD+∠DAB=36°+36=72°,
∴∠AED=180°-∠EAB-∠ABE=180°-72°-36°=72°.
解析
【分析】
解题可按以下步骤展开：1. 先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；2. 结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，推出等腰△ABD的底角∠DAB=∠B；3. 根据翻折前后对应角相等的性质，得到∠EAD=∠DAB，进而算出∠EAB的度数；4. 最后在△ABE中用三角形内角和定理，就能求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，∠C=54°，
∴∠ABD=90°-∠C=90°-54°=36°。
∵AD是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠DAB=∠ABD=36°。
∵将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，
∴∠EAD=∠DAB=36°，
∴∠EAB=∠EAD+∠DAB=36°+36°=72°，
∴∠AED=180°-∠EAB-∠ABE=180°-72°-36°=72°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，翻折的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查了直角三角形、等腰三角形、图形翻折的相关性质，解题关键是理清角度间的数量关系，熟练运用对应性质推导角度即可。
【难度系数】
0.7
解题可按以下步骤展开：1. 先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；2. 结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，推出等腰△ABD的底角∠DAB=∠B；3. 根据翻折前后对应角相等的性质，得到∠EAD=∠DAB，进而算出∠EAB的度数；4. 最后在△ABE中用三角形内角和定理，就能求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，∠C=54°，
∴∠ABD=90°-∠C=90°-54°=36°。
∵AD是$\mathrm{Rt}△ABC$斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠DAB=∠ABD=36°。
∵将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，
∴∠EAD=∠DAB=36°，
∴∠EAB=∠EAD+∠DAB=36°+36°=72°，
∴∠AED=180°-∠EAB-∠ABE=180°-72°-36°=72°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，翻折的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查了直角三角形、等腰三角形、图形翻折的相关性质，解题关键是理清角度间的数量关系，熟练运用对应性质推导角度即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=9$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$M$为$AD$上任一点,则$MC^2 - MB^2$的值为 （
A.9
B.25
C.36
D.45
D
）A.9
B.25
C.36
D.45
答案
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△ADC$中,$BD^2=AB^2-AD^2$,
$CD^2=AC^2-AD^2$,在$\mathrm{Rt}△BDM$和$\mathrm{Rt}△CDM$中,$BM^2=BD^2+MD^2=AB^2-AD^2+MD^2$,$MC^2=CD^2+MD^2=AC^2-AD^2+MD^2$,
∴$MC^2-MB^2=(AC^2-AD^2+MD^2)-(AB^2-AD^2+MD^2)=AC^2-AB^2=45$.
$CD^2=AC^2-AD^2$,在$\mathrm{Rt}△BDM$和$\mathrm{Rt}△CDM$中,$BM^2=BD^2+MD^2=AB^2-AD^2+MD^2$,$MC^2=CD^2+MD^2=AC^2-AD^2+MD^2$,
∴$MC^2-MB^2=(AC^2-AD^2+MD^2)-(AB^2-AD^2+MD^2)=AC^2-AB^2=45$.
解析
【分析】
题目中存在多个直角三角形，求解线段平方差的问题可优先考虑勾股定理。我们可以先分别在包含MB、MC的直角三角形中，用勾股定理表示出$MB^2$和$MC^2$，再将两者作差，化简后可以消去表达式中相同的未知项，最后代入已知的AB、AC的长度即可求出结果，不需要计算未知线段的具体长度，运用整体代换的思路即可解题。
【解析】
解：
∵$AD⊥BC$，
∴$△ABD$、$△ADC$、$△BDM$、$△CDM$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△ADC$中，根据勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2$，$CD^2=AC^2-AD^2$。
在$\mathrm{Rt}△BDM$和$\mathrm{Rt}△CDM$中，根据勾股定理得：
$BM^2=BD^2+MD^2=AB^2-AD^2+MD^2$，
$MC^2=CD^2+MD^2=AC^2-AD^2+MD^2$。
∴$MC^2-MB^2=(AC^2-AD^2+MD^2)-(AB^2-AD^2+MD^2)$
化简得：$MC^2-MB^2=AC^2-AB^2$
代入$AB=6$，$AC=9$得：
$MC^2-MB^2=9^2-6^2=81-36=45$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代换
【点评】
本题的解题核心是利用勾股定理将待求的线段平方转化为含公共未知项的表达式，通过作差消去无关的未知量，无需计算各未知线段的具体长度，整体代换的思想能够大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
题目中存在多个直角三角形，求解线段平方差的问题可优先考虑勾股定理。我们可以先分别在包含MB、MC的直角三角形中，用勾股定理表示出$MB^2$和$MC^2$，再将两者作差，化简后可以消去表达式中相同的未知项，最后代入已知的AB、AC的长度即可求出结果，不需要计算未知线段的具体长度，运用整体代换的思路即可解题。
【解析】
解：
∵$AD⊥BC$，
∴$△ABD$、$△ADC$、$△BDM$、$△CDM$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ABD$和$\mathrm{Rt}△ADC$中，根据勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2$，$CD^2=AC^2-AD^2$。
在$\mathrm{Rt}△BDM$和$\mathrm{Rt}△CDM$中，根据勾股定理得：
$BM^2=BD^2+MD^2=AB^2-AD^2+MD^2$，
$MC^2=CD^2+MD^2=AC^2-AD^2+MD^2$。
∴$MC^2-MB^2=(AC^2-AD^2+MD^2)-(AB^2-AD^2+MD^2)$
化简得：$MC^2-MB^2=AC^2-AB^2$
代入$AB=6$，$AC=9$得：
$MC^2-MB^2=9^2-6^2=81-36=45$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代换
【点评】
本题的解题核心是利用勾股定理将待求的线段平方转化为含公共未知项的表达式，通过作差消去无关的未知量，无需计算各未知线段的具体长度，整体代换的思想能够大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.7
6. 将 3.142 精确到 0.1，结果是
3.1
.答案
3.1
解析
【分析】
解题时首先要明确“精确到0.1”的含义，即需要将数值保留到十分位（小数点后第一位）。取近似值采用四舍五入法，需要观察十分位的下一位也就是百分位上的数字：若百分位数字≥5，则向十分位进1后舍去后面的数；若百分位数字＜5，则直接舍去十分位后面的所有数，按这个规则计算即可得到结果。
【解析】
精确到0.1即保留到十分位，需根据百分位的数字进行四舍五入：
3.142的十分位是1，百分位是4，因为4＜5，所以直接舍去十分位之后的所有数字，最终结果为3.1。
【答案】
3.1
【知识点】
近似数；四舍五入法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查近似数的精确度取值规则，掌握四舍五入的取数方法是解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确“精确到0.1”的含义，即需要将数值保留到十分位（小数点后第一位）。取近似值采用四舍五入法，需要观察十分位的下一位也就是百分位上的数字：若百分位数字≥5，则向十分位进1后舍去后面的数；若百分位数字＜5，则直接舍去十分位后面的所有数，按这个规则计算即可得到结果。
【解析】
精确到0.1即保留到十分位，需根据百分位的数字进行四舍五入：
3.142的十分位是1，百分位是4，因为4＜5，所以直接舍去十分位之后的所有数字，最终结果为3.1。
【答案】
3.1
【知识点】
近似数；四舍五入法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查近似数的精确度取值规则，掌握四舍五入的取数方法是解题的核心。
【难度系数】
0.9
7. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$,将直线$AB$绕点$A$顺时针旋转$90°$后得到的直线的函数表达式为________.
答案
$y=\frac{1}{2}x-1 $解析:
∵一次函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,
∴点A(2,0)、B(0,4),
∴AO=2,BO=4.如图,将直线AB绕点A顺时针旋转90°,设点B的对应点为B',过点B'作B'C⊥x轴于点C,易证△BOA≌△ACB',
∴AC=BO=4,B'C=AO=2,
∴点B'(6,2).设直线AB'的函数表达式为y=k(x-2),将B'(6,2)代入,得2=k·(6-2),解得$k=\frac{1}{2},$
∴旋转后得到的直线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)=\frac{1}{2}x-1.$
解析
【分析】
解题时首先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标；要得到旋转后直线的解析式，核心是求出原直线上点B旋转后的对应点B'的坐标：由于直线旋转了90°，可过B'作x轴的垂线构造全等三角形，利用旋转前后线段长度不变、夹角为90°的性质证明三角形全等，即可得到B'的坐标；最后用待定系数法代入点A和点B'的坐标，就能求出旋转后直线的函数表达式。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于一次函数$y=-2x+4$：
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即点$A(2,0)$，$OA=2$；
令$x=0$，得$y=4$，即点$B(0,4)$，$OB=4$。
第二步：求点B旋转后的对应点$B'$的坐标
将直线AB绕点A顺时针旋转90°，设B的对应点为$B'$，过$B'$作$B'C⊥x$轴于点C。
由旋转性质得：$∠ BAB'=90°$，$AB=AB'$，
$\therefore ∠ OAB+∠ CAB'=90°$，
又$\because ∠ OAB+∠ OBA=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ CAB'$，
在$△ BOA$和$△ ACB'$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ ACB'=90°\\∠ OBA=∠ CAB'\\AB=AB'\end{cases}$
$\therefore △ BOA≌△ ACB'(AAS)$，
$\therefore AC=OB=4$，$B'C=OA=2$，
$\therefore OC=OA+AC=2+4=6$，即点$B'(6,2)$。
第三步：用待定系数法求直线解析式
设旋转后直线的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,0)$、$B'(6,2)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\6k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$，
即旋转后直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x-1$
【知识点】
一次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与几何变换的综合题，解题关键是结合旋转的性质，通过构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，考察了数形结合思想和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据一次函数解析式求出它与x轴、y轴的交点A、B的坐标；要得到旋转后直线的解析式，核心是求出原直线上点B旋转后的对应点B'的坐标：由于直线旋转了90°，可过B'作x轴的垂线构造全等三角形，利用旋转前后线段长度不变、夹角为90°的性质证明三角形全等，即可得到B'的坐标；最后用待定系数法代入点A和点B'的坐标，就能求出旋转后直线的函数表达式。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于一次函数$y=-2x+4$：
令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，即点$A(2,0)$，$OA=2$；
令$x=0$，得$y=4$，即点$B(0,4)$，$OB=4$。
第二步：求点B旋转后的对应点$B'$的坐标
将直线AB绕点A顺时针旋转90°，设B的对应点为$B'$，过$B'$作$B'C⊥x$轴于点C。
由旋转性质得：$∠ BAB'=90°$，$AB=AB'$，
$\therefore ∠ OAB+∠ CAB'=90°$，
又$\because ∠ OAB+∠ OBA=90°$，$\therefore ∠ OBA=∠ CAB'$，
在$△ BOA$和$△ ACB'$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ ACB'=90°\\∠ OBA=∠ CAB'\\AB=AB'\end{cases}$
$\therefore △ BOA≌△ ACB'(AAS)$，
$\therefore AC=OB=4$，$B'C=OA=2$，
$\therefore OC=OA+AC=2+4=6$，即点$B'(6,2)$。
第三步：用待定系数法求直线解析式
设旋转后直线的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,0)$、$B'(6,2)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\6k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$，
即旋转后直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}x-1$
【知识点】
一次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与几何变换的综合题，解题关键是结合旋转的性质，通过构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，考察了数形结合思想和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$F$,过点$F$作$DE // BC$,交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$.若$BD=4$,$DE=7$,则线段$EC$的长为________.
答案
3 解析:
∵$∠ABC$和$∠ACB$的平分线相交于点$F$,
∴$∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠BCF$.
∵$DE// BC,∴∠DFB=∠FBC,∠CFE=∠BCF,∴∠DFB=∠DBF,∠CFE=∠ECF$,
∴$BD=DF=4,FE=CE,∴CE=FE=DE-DF=7-4=3$.
∵$∠ABC$和$∠ACB$的平分线相交于点$F$,
∴$∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠BCF$.
∵$DE// BC,∴∠DFB=∠FBC,∠CFE=∠BCF,∴∠DFB=∠DBF,∠CFE=∠ECF$,
∴$BD=DF=4,FE=CE,∴CE=FE=DE-DF=7-4=3$.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理线索：已知BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可得两组等角；又有DE//BC，根据平行线的内错角相等性质，可再得到两组等角，通过等量代换就能推出△DFB和△EFC都是等腰三角形，从而得到BD=DF、EC=EF的等线段关系，最后结合DE的长度，用DE减去DF的长度就能求出EC的长。
【解析】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF。
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠CFE=∠BCF，
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=4，FE=CE，
∴CE=FE=DE-DF=7-4=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的经典模型，熟练掌握该模型可以快速找到等线段关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件梳理线索：已知BF、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，可得两组等角；又有DE//BC，根据平行线的内错角相等性质，可再得到两组等角，通过等量代换就能推出△DFB和△EFC都是等腰三角形，从而得到BD=DF、EC=EF的等线段关系，最后结合DE的长度，用DE减去DF的长度就能求出EC的长。
【解析】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF。
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠CFE=∠BCF，
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=4，FE=CE，
∴CE=FE=DE-DF=7-4=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的经典模型，熟练掌握该模型可以快速找到等线段关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
9. 若过点$(2,2)$的一次函数$y=kx+b(k、b$为常数，$k≠0)$的图象与一次函数$y=-x+3(0≤x≤3)$的图象有交点，则$k$的取值范围是________.
答案
$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$且$k≠0$ 解析:①当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$、$(0,3)$时,得$\begin{cases}2k+b=2,\\b=3,\end{cases}$解得$k=-\frac{1}{2}$;②当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$、$(3,0)$时,得$\begin{cases}2k+b=2,\\3k+b=0,\end{cases}$解得$k=-2$.
∴$k$的取值范围为$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$且$k≠0$.
∴$k$的取值范围为$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$且$k≠0$.
解析
【分析】
首先，一次函数$y=-x+3$在$0≤x≤3$范围内的图象是连接两个端点$(0,3)$和$(3,0)$的线段。过定点$(2,2)$的一次函数要与这条线段有交点，临界情况为该一次函数恰好经过线段的两个端点，我们先通过待定系数法计算出这两种临界情况对应的$k$值，再结合一次函数图象的走势确定$k$的取值范围，同时注意一次函数$k≠0$的隐含条件。
【解析】
①当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$和$(0,3)$时，代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2\\b=3\end{cases}$
将$b=3$代入第一个方程，解得$k=-\frac{1}{2}$；
②当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$和$(3,0)$时，代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，解得$k=-2$；
结合一次函数图象走势，要使两图象有交点，$k$的取值范围为$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$，又因为$y=kx+b$是一次函数，所以$k≠0$。
【答案】
$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$且$k≠0$
【知识点】
一次函数图象性质；待定系数法求解析式；函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数的区间交点问题，解题核心是找到线段端点对应的临界$k$值，再结合图象确定取值范围，解题时要注意一次函数$k≠0$的隐含条件，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
首先，一次函数$y=-x+3$在$0≤x≤3$范围内的图象是连接两个端点$(0,3)$和$(3,0)$的线段。过定点$(2,2)$的一次函数要与这条线段有交点，临界情况为该一次函数恰好经过线段的两个端点，我们先通过待定系数法计算出这两种临界情况对应的$k$值，再结合一次函数图象的走势确定$k$的取值范围，同时注意一次函数$k≠0$的隐含条件。
【解析】
①当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$和$(0,3)$时，代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2\\b=3\end{cases}$
将$b=3$代入第一个方程，解得$k=-\frac{1}{2}$；
②当一次函数$y=kx+b$过点$(2,2)$和$(3,0)$时，代入得方程组：
$\begin{cases}2k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，解得$k=-2$；
结合一次函数图象走势，要使两图象有交点，$k$的取值范围为$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$，又因为$y=kx+b$是一次函数，所以$k≠0$。
【答案】
$k≤ -2$或$k≥ -\frac{1}{2}$且$k≠0$
【知识点】
一次函数图象性质；待定系数法求解析式；函数交点问题
【点评】
本题考查一次函数的区间交点问题，解题核心是找到线段端点对应的临界$k$值，再结合图象确定取值范围，解题时要注意一次函数$k≠0$的隐含条件，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
