10. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是$(4,0)$,点 B 在坐标轴上,点 B 绕点 A 顺时针旋转$90°$落在直线 $y=\frac{1}{2}x+3$ 上,则点 B 的坐标是$\underline{\hspace{5em}}$.

$(-1,0)$或$(0,-2)$ 解析:令点$B$旋转后的对应点为$M$.如图1,当点$B$在$x$轴上时,令点$B$的坐标为$(m,0)$,则$AB=4-m$,由旋转可知,$AM=AB=4-m,∠BAM=90°$,
∴点$M$的坐标可表示为$(4,4-m)$,将点$M(4,4-m)$代入$y=\frac{1}{2}x+3$,得$4-m=\frac{1}{2}×4+3$,解得$m=-1$,
∴点$B$的坐标为$(-1,0)$;如图2,当点$B$在$y$轴上时,过点$M$作$x$轴的垂线,垂足为$N$,令点$B$的坐标为$(0,n)$,由旋转可知,$∠BAM=90°,AB=AM$,
∴$∠BAO+∠MAN=∠MAN+∠M=90°$,
∴$∠BAO=∠M$,在$△BAO$和$△AMN$中,$\begin{cases}∠BAO=∠ANM,\\∠BAO=∠M,\\AB=MA,\end{cases}$
∴$△BAO≌△AMN(\mathrm{AAS})$,
∴$MN=AO,AN=OB$,
∵点$A$的坐标为$(4,0)$,点$B$的坐标为$(0,n)$,
∴$MN=AO=4,AN=OB=-n$,
∴$ON=4-(-n)=n+4$,则点$M$的坐标为$(n+4,4)$,将点$M(n+4,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+3$,得$\frac{1}{2}(n+4)+3=4$,解得$n=-2$,
∴点$B$的坐标为$(0,-2)$.综上所述,点$B$的坐标为$(-1,0)$或$(0,-2)$.

【分析】
点B在坐标轴上，需分点B在x轴上、点B在y轴上两种情况讨论。先设出点B的坐标，根据旋转的性质：旋转前后对应线段长度相等、对应线段夹角为旋转角90°，推导旋转后对应点M的坐标；当点B在y轴上时，可通过作x轴的垂线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等推导点M的坐标，最后将点M坐标代入直线$y=\frac{1}{2}x+3$解方程，即可得到点B的坐标。
【解析】
设点B旋转后的对应点为M。
1. 当点B在x轴上时，，设点B的坐标为$(m,0)$，则$AB=4-m$。
由旋转的性质可得：$AM=AB=4-m$，$∠ BAM=90°$，因此$AM⊥ x$轴，点M的坐标为$(4,4-m)$。
将$M(4,4-m)$代入$y=\frac{1}{2}x+3$得：
$4-m=\frac{1}{2}×4+3$
解得$m=-1$，即点B坐标为$(-1,0)$。
2. 当点B在y轴上时，，过点M作$MN⊥ x$轴，垂足为N，设点B的坐标为$(0,n)$。
由旋转的性质可得：$∠ BAM=90°$，$AB=AM$。
$\because ∠ BAO+∠ MAN=∠ MAN+∠ AMN=90°$，$\therefore ∠ BAO=∠ AMN$。
在$△ BAO$和$△ AMN$中：
$\begin{cases}∠ AOB=∠ MNA=90° \\∠ BAO=∠ AMN \\AB=MA\end{cases}$
$\therefore △ BAO≌△ AMN(\mathrm{AAS})$
$\therefore MN=AO=4$，$AN=OB=-n$
$\therefore ON=OA-AN=4-(-n)=4+n$，即点M的坐标为$(n+4,4)$。
将$M(n+4,4)$代入$y=\frac{1}{2}x+3$得：
$\frac{1}{2}(n+4)+3=4$
解得$n=-2$，即点B坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(-1,0)$或$(0,-2)$

【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时需要对点B的位置进行分类，结合旋转性质、全等三角形的知识推导点的坐标，再代入一次函数解析式求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6

11. 在平面直角坐标系中,点 $ P $ 的坐标为$(2m+1, 3m+2)$.
(1)若点 $ P $ 在过点 $ A(-3,1) $ 且与 $ y $ 轴平行的直线上,求点 $ P $ 的坐标.
(2)将点 $ P $ 向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度后得到点 $ M $,若点 $ M $ 在第三象限,且点 $ M $ 到 $ y $ 轴的距离为 7,求点 $ M $ 的坐标.

(1)
∵点$P$在过点$A(-3,1)$且与$y$轴平行的直线上,
∴点$P$的横坐标为$-3$,
∴$2m+1=-3$,解得$m=-2$,
∴$3m+2=-4$,
∴点$P$的坐标为$(-3,-4)$.
(2)根据题意,得点$M$的坐标为$(2m+1+2,3m+2+3)$.
∵点$M$在第三象限,且点$M$到$y$轴的距离为$7$,
∴点$M$的横坐标为$-7$,
∴$2m+1+2=-7$,解得$m=-5$,
∴$3m+2+3=-10$,
∴点$M$的坐标为$(-7,-10)$.

【分析】
(1) 首先明确与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等的性质，已知直线过点A(-3,1)，所以该直线上所有点横坐标均为-3，因此点P的横坐标2m+1等于-3，先求解m的值，再代入纵坐标表达式即可得到点P的坐标。
(2) 先根据坐标平移“右加左减、上加下减”的规律，写出平移后点M的坐标表达式；第三象限内的点横、纵坐标均为负数，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合题意可知M的横坐标为-7，列方程求解m后，代入纵坐标表达式验证结果符合第三象限特征即可得到点M的坐标。
【解析】
(1)
∵点$P$在过点$A(-3,1)$且与$y$轴平行的直线上,
∴点$P$的横坐标为$-3$,
∴$2m+1=-3$,解得$m=-2$,
∴$3m+2=3×(-2)+2=-4$,
∴点$P$的坐标为$(-3,-4)$.
(2)根据平移规律可得，点$M$的坐标为$(2m+1+2,3m+2+3)$.
∵点$M$在第三象限，且点$M$到$y$轴的距离为$7$,
∴点$M$的横坐标为$-7$,
∴$2m+1+2=-7$,解得$m=-5$,
∴$3m+2+3=3×(-5)+5=-10$,
∴点$M$的坐标为$(-7,-10)$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-3,-4)}$；(2) $\boldsymbol{(-7,-10)}$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 坐标平移规律
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，核心是结合坐标相关性质列方程求解参数，需要熟练掌握各类点的坐标特征和平移规则，计算时注意符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

12. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，点$B$、$D$、$E$在同一条直线上，$BD=CE$，且$∠ BAC=68°$.
(1)求证：$△ ABD≌△ ACE$.
(2)求$∠ BEC$的度数.

(1)证明:在$△ABD$和$△ACE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AE,\\BD=CE,\end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE(\mathrm{SSS})$.
(2)如图,设$AC$交$BE$于点$O$.
∵$△ABD≌△ACE$,
∴$∠ABD=∠ACE$.又
∵$∠AOB=∠COE$,$∠ABD+∠BAC+∠AOB=180°=∠ACE+∠COE+∠BEC$,
∴$∠BAC=∠BEC$.
∵$∠BAC=68°$,
∴$∠BEC=68°$.

【分析】
（1）要证明$△ ABD≌△ ACE$，观察已知条件，题目已直接给出两组边$AB=AC$、$AD=AE$相等，同时给出边$BD=CE$，三组对应边全部相等，符合全等三角形的SSS判定条件，直接套用判定定理即可完成证明。
（2）要求$∠ BEC$的度数，首先利用第一问的全等结论，得到对应角$∠ ABD=∠ ACE$；再观察图形中$AC$与$BE$的交点，存在一组对顶角相等，结合三角形内角和为$180°$，即可推导出$∠ BEC$和已知的$∠ BAC$相等，代入度数即可求得结果。
【解析】
(1) 证明：在$△ABD$和$△ACE$中，
$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AE,\\BD=CE,\end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE(\mathrm{SSS})$。
(2) 设$AC$交$BE$于点$O$。
∵$△ABD≌△ACE$，
∴$∠ABD=∠ACE$。
又
∵$∠AOB=∠COE$，且三角形内角和为$180°$，即$∠ABD+∠BAC+∠AOB=180°$，$∠ACE+∠COE+∠BEC=180°$，
∴$∠BAC=∠BEC$。
∵$∠BAC=68°$，
∴$∠BEC=68°$。
【答案】
(1)证明:在$△ABD$和$△ACE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AE,\\BD=CE,\end{cases}$
∴$△ABD≌△ACE(\mathrm{SSS})$.
(2)如图,设$AC$交$BE$于点$O$.
∵$△ABD≌△ACE$,
∴$∠ABD=∠ACE$.又
∵$∠AOB=∠COE$,$∠ABD+∠BAC+∠AOB=180°=∠ACE+∠COE+∠BEC$,
∴$∠BAC=∠BEC$.
∵$∠BAC=68°$,
∴$∠BEC=68°$.

【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，第一问直接考查全等三角形的判定，结合已知条件即可快速求证；第二问需要利用全等的性质转化角的等量关系，结合图形隐含的对顶角相等、三角形内角和的性质推导所求角的度数，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件，快速建立角之间的关联。
【难度系数】
0.75

13. 小明从A地匀速前往B地，同时小亮从B地匀速前往A地，两人离B地的路程y(单位:m)与行驶时间x(单位:min)之间的函数图象如图1所示。


(1)A地与B地之间的距离为m；小明的速度是m/min.
(2)求出点P的坐标，并解释其实际意义.
(3)设两人之间的距离为s(单位:m)，在图2中画出s与x之间的函数图象.(请标出必要的数据)
(4)当两人之间的距离小于3000 m时，x的取值范围是.

(1)3 600 120
(2)如图1,设OC所在直线的函数表达式为$y=kx$,把$(60,3600)$代入,得$3600=60k$,解得$k=60$,
∴OC所在直线的函数表达式为$y=60x$.设DE所在直线的函数表达式为$y=mx+n$,把$(0,3600)$、$(30,0)$代入,得$\begin{cases}n=3600,\\30m+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-120,\\n=3600,\end{cases}$
∴DE所在直线的函数表达式为$y=-120x+3600$.联立方程组$\begin{cases}y=60x,\\y=-120x+3600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=1200,\end{cases}$
∴点$P$的坐标为$(20,1200)$.点$P$的坐标的实际意义:出发20 min时,两人在离B地1 200 m处相遇.
(3)由(2)知,当$x=20$时,两人相距$s=0$;当$x=30$时,小明到达B地,此时两人相距$(60+120)×10=1800(\mathrm{m})$;当$x=60$时,小亮到达A地,此时两人相距3 600 m.两人之间的距离$s$与$x$之间的函数图象如图2所示.
(4)$\frac{10}{3}＜x＜50$ 解析:当$x=30$时,小明已到B地,小亮走3 000 m需要$3000÷60=50(\mathrm{min})$;相遇前当两人之间的距离小于3 000 m时,则$-120x+3600-60x＜3000$,解得$x＞\frac{10}{3}$.综上所述,当两人之间的距离小于3 000 m时,$x$的取值范围是$\frac{10}{3}＜x＜50$.

【分析】
(1) 观察图1的纵轴截距，x=0时小明离B地的路程就是A、B两地的距离；小明30min走完全程，用总路程除以行驶时间即可求出小明的速度。
(2) 点P是两条直线的交点，代表两人相遇的位置。先利用待定系数法分别求出小亮、小明离B地的路程与行驶时间的函数解析式，联立两个解析式组成方程组，求解即可得到P点坐标，坐标的实际意义对应相遇的时间和相遇点离B地的距离。
(3) 分阶段分析两人距离s的变化：0~20min两人相向而行，距离从3600m减小到0；20~30min两人相遇后背向而行，距离逐渐增大，30min时小明到达B地，此时两人距离为两人10min行驶的路程和；30~60min小明停在B地，小亮继续向A地行驶，距离持续增大到60min时的3600m，描出四个关键点后分段连线即可画出函数图象。
(4) 分相遇前和相遇后两种情况列不等式求解：相遇前两人距离小于3000m，可列总路程减去两人路程和小于3000的不等式；相遇后小明到达B地后，小亮行驶的总路程小于3000m，综合两个不等式的解即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由图1可知，x=0时小明离B地3600m，即A、B两地距离为3600m；小明30min走完全程，速度为$3600÷30=120(\mathrm{m/min})$。
(2) 设OC所在直线的函数表达式为$y=kx$，把$(60,3600)$代入得$3600=60k$，解得$k=60$，因此OC的解析式为$y=60x$。
设DE所在直线的函数表达式为$y=mx+n$，把$(0,3600)$、$(30,0)$代入得$\begin{cases}n=3600\\30m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-120\\n=3600\end{cases}$，因此DE的解析式为$y=-120x+3600$。
联立两个解析式得$\begin{cases}y=60x\\y=-120x+3600\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=20\\y=1200\end{cases}$，即P点坐标为$(20,1200)$。
实际意义：出发20min时，两人在离B地1200m处相遇。
(3) 当$x=0$时，两人相距3600m；当$x=20$时，两人相遇，相距0m；当$x=30$时，小明到达B地，两人相距$(120+60)×(30-20)=1800(\mathrm{m})$；当$x=60$时，小亮到达A地，两人相距3600m。依次连接$(0,3600)$、$(20,0)$、$(30,1800)$、$(60,3600)$四个点，即可得到s与x的函数图象。
(4) ①相遇前，两人距离小于3000m：$3600-(120+60)x＜3000$，解得$x＞\frac{10}{3}$；
②相遇后，小明到达B地后，两人距离小于3000m即小亮行驶的总路程小于3000m：$60x＜3000$，解得$x＜50$。
综上，x的取值范围是$\frac{10}{3}＜x＜50$。
【答案】
(1) $\boxed{3600}$；$\boxed{120}$
(2) 点P的坐标为$\boxed{(20,1200)}$，实际意义：出发20 min时，两人在离B地1 200 m处相遇。
(3)
(4) $\boxed{\frac{10}{3}＜x＜50}$
【知识点】
一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合行程问题考查函数图象的实际应用，需要准确理解函数图象横纵坐标的含义，分阶段分析运动过程，建立对应的函数、方程和不等式关系求解，对读图能力和分类讨论思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6