登录
14. 小明根据学习一次函数时的经验，对函数$y=-2|x-3|+4$的图象与性质进行了探究，并尝试解决相关问题.下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)当$x=3$时，$y=-2|x-3|+4=4$；当$x＜3$时，$y=-2|x-3|+4=\_\_\_\_\_\_$；当$x＞3$时，$y=-2|x-3|+4=\_\_\_\_\_\_$.
(2)在平面直角坐标系中画出$y=-2|x-3|+4$的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质.
(3)直接写出关于$x$的方程$-2|x-3|+4=kx+6$($k$为常数，$k≠0$)的解的个数及对应$k$的取值范围.
(1)当$x=3$时，$y=-2|x-3|+4=4$；当$x＜3$时，$y=-2|x-3|+4=\_\_\_\_\_\_$；当$x＞3$时，$y=-2|x-3|+4=\_\_\_\_\_\_$.
(2)在平面直角坐标系中画出$y=-2|x-3|+4$的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质.
(3)直接写出关于$x$的方程$-2|x-3|+4=kx+6$($k$为常数，$k≠0$)的解的个数及对应$k$的取值范围.
答案
(1)$2x-2$ $-2x+10$ 解析:当$x＜3$时,$y=-2|x-3|+4=-2(3-x)+4=2x-2$;当$x＞3$时,$y=-2|x-3|+4=-2(x-3)+4=-2x+10$.
(2)当$x＜3$时,$y=2x-2$过点$(2,2)$、$(0,-2)$;当$x＞3$时,$y=-2x+10$过点$(4,2)$、$(6,-2)$,函数$y=-2|x-3|+4$的图象如图1所示.性质:当$x＞3$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而增大;函数图象关于直线$x=3$对称.
(3)如图2,令$l:y=kx+6$,则图象过点$(0,6)$.当$y=kx+6$过点$(3,4)$时,$3k+6=4$,解得$k=-\frac{2}{3}$,此时,关于$x$的方程$-2|x-3|+4=kx+6$($k$为常数,$k≠0$)有一个解;当直线$y=kx+6$平行于$y=2x-2$时,$k=2$,
∴当$k＞2$时,关于$x$的方程$-2|x-3|+4=kx+6$($k$为常数,$k≠0$)有一个解;当直线$y=kx+6$平行于$y=-2x+10$时,$k=-2$,
∴当$k≤-2$时,关于$x$的方程$-2|x-3|+4=kx+6$($k$为常数,$k≠0$)有一个解.综上所述,当$-2＜k＜-\frac{2}{3}$时,方程有两个解;当$k＞2$或$k≤-2$或$k=-\frac{2}{3}$时,方程有一个解;当$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k≤2$时,方程无解.
解析
【分析】
(1) 第一问核心是利用绝对值的性质化简：当绝对值内的式子为负时，去掉绝对值要变号，为正时直接去掉绝对值。分别判断x＜3和x＞3时x-3的正负，代入原式合并同类项即可得到对应解析式。
(2) 第二问画分段函数图象，只需对两段一次函数分别取两个点，两点确定一条直线描点连线即可；分析函数性质可以从增减性、对称性、最值等不同角度入手。
(3) 第三问方程解的个数等价于函数$y=-2|x-3|+4$和$y=kx+6$的图象交点个数，首先明确$y=kx+6$是恒过定点$(0,6)$的直线，先找到直线过函数顶点、和两段一次函数平行这几个临界情况的k值，再结合直线旋转的趋势分类讨论不同k范围对应的交点个数即可。
【解析】
(1) 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=3-x$，代入得：
$y=-2(3-x)+4=-6+2x+4=2x-2$；
当$x＞3$时，$x-3＞0$，因此$|x-3|=x-3$，代入得：
$y=-2(x-3)+4=-2x+6+4=-2x+10$。
(2) 画图象：当$x＜3$时，对$y=2x-2$取点$(0,-2)$、$(2,2)$，连接两点向左延伸；当$x＞3$时，对$y=-2x+10$取点$(4,2)$、$(6,-2)$，连接两点向右延伸，再标出顶点$(3,4)$即可得到完整图象。
函数性质可从不同角度描述，例如增减性：当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小；对称性：函数图象关于直线$x=3$对称。
(3) 直线$y=kx+6$（$k≠0$）恒过定点$(0,6)$，先计算临界k值：
①直线过顶点$(3,4)$时，代入得$3k+6=4$，解得$k=-\frac{2}{3}$，此时两图象只有1个交点；
②直线与$y=2x-2$平行时，斜率相等即$k=2$，此时无交点，当$k＞2$时，直线仅与$y=-2x+10$段有1个交点；
③直线与$y=-2x+10$平行时，斜率相等即$k=-2$，此时无交点，当$k≤-2$时，直线仅与$y=2x-2$段有1个交点。
结合图象分类：
当$-2＜k＜-\frac{2}{3}$时，直线与两段函数各有1个交点，方程有2个解；
当$k＞2$或$k≤-2$或$k=-\frac{2}{3}$时，直线与函数图象有1个交点，方程有1个解；
当$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k≤2$时，直线与函数图象无交点，方程无解。
【答案】
(1) $2x-2$；$-2x+10$
(2) 函数图象如下：
性质：①当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；②函数图象关于直线$x=3$对称（答案合理即可）
(3) 当$-2＜k＜-\frac{2}{3}$时，方程有两个解；当$k＞2$或$k≤-2$或$k=-\frac{2}{3}$时，方程有一个解；当$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k≤2$时，方程无解。参考图象如下：
【知识点】
绝对值化简；一次函数图象与性质；一次函数与方程的关系
【点评】
本题是分段绝对值函数的综合探究题，结合了一次函数的作图、性质应用，重点考察数形结合和分类讨论的数学思想，解题时要明确方程解的个数和对应函数图象交点个数的等价关系，掌握临界情况的分析方法。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问核心是利用绝对值的性质化简：当绝对值内的式子为负时，去掉绝对值要变号，为正时直接去掉绝对值。分别判断x＜3和x＞3时x-3的正负，代入原式合并同类项即可得到对应解析式。
(2) 第二问画分段函数图象，只需对两段一次函数分别取两个点，两点确定一条直线描点连线即可；分析函数性质可以从增减性、对称性、最值等不同角度入手。
(3) 第三问方程解的个数等价于函数$y=-2|x-3|+4$和$y=kx+6$的图象交点个数，首先明确$y=kx+6$是恒过定点$(0,6)$的直线，先找到直线过函数顶点、和两段一次函数平行这几个临界情况的k值，再结合直线旋转的趋势分类讨论不同k范围对应的交点个数即可。
【解析】
(1) 当$x＜3$时，$x-3＜0$，因此$|x-3|=3-x$，代入得：
$y=-2(3-x)+4=-6+2x+4=2x-2$；
当$x＞3$时，$x-3＞0$，因此$|x-3|=x-3$，代入得：
$y=-2(x-3)+4=-2x+6+4=-2x+10$。
(2) 画图象：当$x＜3$时，对$y=2x-2$取点$(0,-2)$、$(2,2)$，连接两点向左延伸；当$x＞3$时，对$y=-2x+10$取点$(4,2)$、$(6,-2)$，连接两点向右延伸，再标出顶点$(3,4)$即可得到完整图象。
函数性质可从不同角度描述，例如增减性：当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小；对称性：函数图象关于直线$x=3$对称。
(3) 直线$y=kx+6$（$k≠0$）恒过定点$(0,6)$，先计算临界k值：
①直线过顶点$(3,4)$时，代入得$3k+6=4$，解得$k=-\frac{2}{3}$，此时两图象只有1个交点；
②直线与$y=2x-2$平行时，斜率相等即$k=2$，此时无交点，当$k＞2$时，直线仅与$y=-2x+10$段有1个交点；
③直线与$y=-2x+10$平行时，斜率相等即$k=-2$，此时无交点，当$k≤-2$时，直线仅与$y=2x-2$段有1个交点。
结合图象分类：
当$-2＜k＜-\frac{2}{3}$时，直线与两段函数各有1个交点，方程有2个解；
当$k＞2$或$k≤-2$或$k=-\frac{2}{3}$时，直线与函数图象有1个交点，方程有1个解；
当$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k≤2$时，直线与函数图象无交点，方程无解。
【答案】
(1) $2x-2$；$-2x+10$
(2) 函数图象如下：
性质：①当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大；②函数图象关于直线$x=3$对称（答案合理即可）
(3) 当$-2＜k＜-\frac{2}{3}$时，方程有两个解；当$k＞2$或$k≤-2$或$k=-\frac{2}{3}$时，方程有一个解；当$-\frac{2}{3}＜k＜0$或$0＜k≤2$时，方程无解。参考图象如下：
【知识点】
绝对值化简；一次函数图象与性质；一次函数与方程的关系
【点评】
本题是分段绝对值函数的综合探究题，结合了一次函数的作图、性质应用，重点考察数形结合和分类讨论的数学思想，解题时要明确方程解的个数和对应函数图象交点个数的等价关系，掌握临界情况的分析方法。
【难度系数】
0.6
15.【问题情境】
在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，$AC=BC$，$DC=EC$.
【初步探究】
(1)如图1，当点$A$、$C$、$D$在同一条直线上时，连接$BD$、$AE$，延长$AE$交$BD$于点$F$，则$AE$与$BD$的数量关系是________，位置关系是________.
【类比探究】
(2)如图2，当点$A$、$C$、$D$不在同一条直线上时，连接$AE$、$BD$交于点$F$，则(1)中结论是否仍然成立？请说明理由.
【拓展思考】
(3)如图3，在(2)的条件下，连接$CF$并延长$CF$交$AD$于点$G$，若改变$AC$、$DC$的长度，$∠ AFG$的度数会改变吗？若不改变，求出$∠ AFG$的度数；若改变，请说明理由.
在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ ACB=∠ DCE=90°$，$AC=BC$，$DC=EC$.
【初步探究】
(1)如图1，当点$A$、$C$、$D$在同一条直线上时，连接$BD$、$AE$，延长$AE$交$BD$于点$F$，则$AE$与$BD$的数量关系是________，位置关系是________.
【类比探究】
(2)如图2，当点$A$、$C$、$D$不在同一条直线上时，连接$AE$、$BD$交于点$F$，则(1)中结论是否仍然成立？请说明理由.
【拓展思考】
(3)如图3，在(2)的条件下，连接$CF$并延长$CF$交$AD$于点$G$，若改变$AC$、$DC$的长度，$∠ AFG$的度数会改变吗？若不改变，求出$∠ AFG$的度数；若改变，请说明理由.
答案
(1)$AE=BD$ $AE⊥BD$ 解析:如图1,在$△ACE$和$△BCD$中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD=90°,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$,
∴$∠1=∠2$,$AE=BD$.
∵$∠3=∠4$,
∴$∠BFE=∠ACE=90°$,
∴$AE⊥BD$.
(2)仍然成立.理由如下:如图2,
∵$∠ACB=∠ECD$,
∴$∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD$,即$∠BCD=∠ACE$.在$△ACE$和$△BCD$中,$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$,
∴$∠1=∠2$,$AE=BD$.
∵$∠3=∠4$,
∴$∠BFA=∠BCA=90°$,
∴$AE⊥BD$.
(3)$∠AFG$的度数不变.理由如下:如图3,过点$C$作$CM⊥BD$,$CN⊥AE$,垂足分别为$M$、$N$.
∵$△ACE≌△BCD$,
∴$S_{△ACE}=S_{△BCD}$,$AE=BD$.
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CN=S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CM$,
∴$CM=CN$.
∵$CM⊥BD$,$CN⊥AE$,
∴FC平分$∠BFE$,
∵$AF⊥BD$,
∴$∠BFE=90°$,
∴$∠EFC=45°$,
∴$∠AFG=45°$.
解析
【分析】
(1) 已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形且共直角顶点C，当A、C、D共线时，可先通过SAS证明△ACE≌△BCD，直接得到AE与BD的数量关系；再利用全等三角形对应角相等，结合对顶角相等推导夹角为90°，得到二者的位置关系。
(2) 当A、C、D不共线时，先利用两个直角加公共角∠ACD推导∠ACE=∠BCD，仍用SAS证明△ACE≌△BCD，再通过角的等量代换证明垂直，和(1)的推导思路一致。
(3) 要判断∠AFG的度数是否为定值，可通过角平分线的判定推导：过C向AE、BD作两条垂线段，利用全等三角形面积相等、AE=BD得到两条垂线段长度相等，即可证明CF平分∠BFE，结合(2)中∠BFE=90°就能求出∠AFG的度数。
【解析】
(1) 如图1，在$△ACE$和$△BCD$中，$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD=90°,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠1=∠2$，$AE=BD$。
∵$∠3=∠4$，
∴$∠BFE=∠ACE=90°$，
∴$AE⊥BD$。
(2) 仍然成立，理由如下：如图2，
∵$∠ACB=∠ECD$，
∴$∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ACE$和$△BCD$中，$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠1=∠2$，$AE=BD$。
∵$∠3=∠4$，
∴$∠BFA=∠BCA=90°$，
∴$AE⊥BD$。
(3) $∠AFG$的度数不变，理由如下：如图3，过点$C$作$CM⊥BD$，$CN⊥AE$，垂足分别为$M$、$N$。
∵$△ACE≌△BCD$，
∴$S_{△ACE}=S_{△BCD}$，$AE=BD$。
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CN=S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CM$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥BD$，$CN⊥AE$，
∴FC平分$∠BFE$，
∵$AF⊥BD$，
∴$∠BFE=90°$，
∴$∠EFC=45°$，
∴$∠AFG=45°$。
【答案】
(1) $AE=BD$，$AE⊥BD$
(2) (1)中结论仍然成立，理由见解析
(3) $∠AFG$的度数不改变，$\boldsymbol{∠AFG=45°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型探究题，从特殊位置到一般位置逐步设问，既考查了全等三角形的基础证明和性质应用，也涉及面积法、角平分线判定的灵活运用，能有效锻炼几何逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知△ACB和△DCE都是等腰直角三角形且共直角顶点C，当A、C、D共线时，可先通过SAS证明△ACE≌△BCD，直接得到AE与BD的数量关系；再利用全等三角形对应角相等，结合对顶角相等推导夹角为90°，得到二者的位置关系。
(2) 当A、C、D不共线时，先利用两个直角加公共角∠ACD推导∠ACE=∠BCD，仍用SAS证明△ACE≌△BCD，再通过角的等量代换证明垂直，和(1)的推导思路一致。
(3) 要判断∠AFG的度数是否为定值，可通过角平分线的判定推导：过C向AE、BD作两条垂线段，利用全等三角形面积相等、AE=BD得到两条垂线段长度相等，即可证明CF平分∠BFE，结合(2)中∠BFE=90°就能求出∠AFG的度数。
【解析】
(1) 如图1，在$△ACE$和$△BCD$中，$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD=90°,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠1=∠2$，$AE=BD$。
∵$∠3=∠4$，
∴$∠BFE=∠ACE=90°$，
∴$AE⊥BD$。
(2) 仍然成立，理由如下：如图2，
∵$∠ACB=∠ECD$，
∴$∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD$，即$∠BCD=∠ACE$。
在$△ACE$和$△BCD$中，$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
∴$△ACE≌△BCD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠1=∠2$，$AE=BD$。
∵$∠3=∠4$，
∴$∠BFA=∠BCA=90°$，
∴$AE⊥BD$。
(3) $∠AFG$的度数不变，理由如下：如图3，过点$C$作$CM⊥BD$，$CN⊥AE$，垂足分别为$M$、$N$。
∵$△ACE≌△BCD$，
∴$S_{△ACE}=S_{△BCD}$，$AE=BD$。
∵$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CN=S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CM$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥BD$，$CN⊥AE$，
∴FC平分$∠BFE$，
∵$AF⊥BD$，
∴$∠BFE=90°$，
∴$∠EFC=45°$，
∴$∠AFG=45°$。
【答案】
(1) $AE=BD$，$AE⊥BD$
(2) (1)中结论仍然成立，理由见解析
(3) $∠AFG$的度数不改变，$\boldsymbol{∠AFG=45°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型探究题，从特殊位置到一般位置逐步设问，既考查了全等三角形的基础证明和性质应用，也涉及面积法、角平分线判定的灵活运用，能有效锻炼几何逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
