14. 清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为 3、4、5 的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法. 用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍，设其面积为 $ S $，第一步：$ m=\frac{S}{6} $；第二步：$ k=\sqrt{m} $；第三步：分别用 3、4、5 乘 $ k $，得三边长.”
(1)若直角三角形的三边长分别为 3、4、5 的整数倍. 当面积等于 150 时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长.
(2)若直角三角形的三边长分别为 $ a、b、c(a＜b＜c) $ 的 $ k $ 倍. 若面积为 $ S $，则 $ k=$ .

14. (1)当面积$S=150$时,第一步:$m=\frac{150}{6}=25$,第二步:$k=\sqrt{25}=5$,第三步:直角三角形的三边长分别为$3k=3×5=15$,$4k=4×5=20$,$5k=5×5=25$.
(2)$\sqrt{\frac{2S}{ab}}$ 解析:由题意可知,直角三角形的三边长分别为$ka、kb、kc(ka＜kb＜kc)$,则$S=\frac{1}{2} ka · kb$,$∴abk^2=2S$,$∴k^2=\frac{2S}{ab}$,$∴k=\sqrt{\frac{2S}{ab}}$.

【分析】
（1）第一问属于给定规则的直接应用类问题，解题时严格对照题目给出的“积求勾股法”三步操作即可：先将已知面积代入求出m，再计算m的算术平方根得到k，最后用3、4、5分别乘k就能得到三边长。
（2）第二问是规则的推广应用，首先明确直角三角形的两条直角边为ka、kb（直角三角形中斜边最长，由a＜b＜c可知a、b为直角边），再结合直角三角形面积公式建立关于k的方程，结合k为正数的隐含条件开平方即可求出k的表达式。
【解析】
(1) 已知直角三角形面积$S=150$，按照“积求勾股法”计算：
第一步：$m=\frac{S}{6}=\frac{150}{6}=25$
第二步：$k=\sqrt{m}=\sqrt{25}=5$
第三步：三边长分别为$3k=3×5=15$，$4k=4×5=20$，$5k=5×5=25$
(2) 由题意可知，该直角三角形的两条直角边长为$ka$、$kb$，根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2} · ka · kb$
整理得：$abk^2=2S$
$∴k^2=\frac{2S}{ab}$
$∵k$为正数，$∴k=\sqrt{\frac{2S}{ab}}$
【答案】
(1) 15，20，25
(2) $\sqrt{\frac{2S}{ab}}$
【知识点】
直角三角形面积计算，二次根式应用，代数式变形
【点评】
本题结合古代数学研究成果创设情境，考查新定义信息提取和应用能力，解题核心是准确理解给定规则，结合直角三角形基础性质列式计算，侧重考查基础运算能力和信息迁移能力。
【难度系数】
0.8

15. 如图,一次函数的图象与$x$轴正半轴交于点$A$,与$y$轴正半轴交于点$B$,点$D$在$x$轴上.将直线$AB$沿直线$BD$翻折,使得点$A$的对应点$C$落在$y$轴上.已知点$B$的坐标为$(0,6)$,$BC=10$.
(1)若点$C$在$y$轴负半轴上,求直线$BD$的函数表达式.
(2)直线$BD$上是否存在点$F$(异于点$D$),使得$S_{△ ABD}=S_{△ ABF}$? 若存在,直接写出点$F$的坐标;若不存在,请说明理由.

15. (1)如图1,连接 AC、CD.
∵点$B(0,6)$,$BC=10$,$∴OB=6$,$OC=4$,$∴$点$C(0,-4)$.
∵直线 AB 沿直线 BD 翻折,$∴BD$垂直平分 AC,$AB=BC=10$,$CD=AD$.
∵$∠AOB=90°$,$∴OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$. 设$OD=x$,则$CD=AD=8-x$.
∵$∠COD=90°$,$∴x^2+4^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,$∴OD=3$,$∴$点$D(3,0)$. 设直线 BD 的函数表达式为$y=kx+b$,把点$B(0,6)$、$D(3,0)$代入,得$\begin{cases} b=6,\\ 3k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-2,\\ b=6, \end{cases}$$∴$直线 BD 的函数表达式为$y=-2x+6$.
(2)存在. 如图2,当 C 在 y 轴负半轴上,点 F 与点 D 关于点 B 对称时,$BF=BD$,$∴S_{△ABD}=S_{△ABF}$,
∵点 F 在直线 BD 上,$∴$可设点$F(n,-2n+6)$,
∵$BD=3\sqrt{5}$,$∴BF=3\sqrt{5}=\sqrt{n^2+(-2n)^2}$,$∴n=±3$,$∴$点 F 的坐标为$(3,0)$(舍去)或$(-3,12)$;如图3,当点 C 在 y 轴正半轴上时,
∵$B(0,6)$,$BC=10$,$∴$点$C(0,16)$,$OC=16$,$OB=6$,由对称性可知,$AB=BC=10$,$∴OA=8$,$∴$点$A(8,0)$,设点$D(y,0)$,
∵$CD=AD$,$∴y^2+16^2=(8-y)^2$,解得$y=-12$,$∴$点 D 的坐标为$(-12,0)$,
∵$S_{△ABD}=S_{△ABF}$,$∴$点 D 与点 F 关于点 B 对称,$∴$点 F 的坐标为$(12,12)$. 综上所述,点 F 的坐标为$(-3,12)$或$(12,12)$.

【分析】
（1）求解第一问时，首先根据点B的坐标和BC的长度确定点C的坐标；再利用翻折的性质得到AB=BC，在Rt△AOB中用勾股定理求出OA的长度，得到点A的坐标；接着结合翻折后CD=AD的性质，设OD的长为未知数，在Rt△COD中列勾股定理方程求解得到点D的坐标；最后用待定系数法代入B、D两点坐标，即可求出直线BD的函数表达式。
（2）求解第二问时，△ABD和△ABF共底AB，若面积相等则点F和点D到直线AB的距离相等，结合F在直线BD上可知，F与D关于点B对称，需分两种情况讨论：一是点C在y轴负半轴，二是点C在y轴正半轴，分别求出对应D点坐标后，即可求出对应的F点坐标，注意舍去与D重合的点。
【解析】
(1) 连接AC、CD。
∵点$B(0,6)$，$BC=10$，
∴$OB=6$，$OC=BC-OB=10-6=4$，又
∵C在y轴负半轴，
∴点$C(0,-4)$。
∵直线AB沿直线BD翻折，
∴BD垂直平分AC，$AB=BC=10$，$CD=AD$。
∵$∠AOB=90°$，
∴$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$OD=x$，则$CD=AD=OA-OD=8-x$。
∵$∠COD=90°$，由勾股定理得：$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得$x=3$，
∴$OD=3$，即点$D(3,0)$。
设直线BD的函数表达式为$y=kx+b$，把点$B(0,6)$、$D(3,0)$代入得：
$\begin{cases} b=6\\3k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-2\\b=6 \end{cases}$，
∴直线BD的函数表达式为$y=-2x+6$。
(2) 存在，分两种情况讨论：
① 当C在y轴负半轴上时，若$S_{△ABD}=S_{△ABF}$，则BF=BD，即点F与点D关于点B对称。
设点$F(n,-2n+6)$，由$BD=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}$，得$BF=3\sqrt{5}=\sqrt{n^2+(-2n)^2}$，
解得$n=±3$，$n=3$对应点D，舍去，故$n=-3$，即$F(-3,12)$。
② 当点C在y轴正半轴上时，
∵$B(0,6)$，$BC=10$，
∴点$C(0,16)$。
由翻折性质得$AB=BC=10$，同理可得$OA=8$，即点$A(8,0)$。
设点$D(y,0)$，由$CD=AD$得：$y^2+16^2=(8-y)^2$，解得$y=-12$，即点$D(-12,0)$。
此时点F与D关于点B对称，故F坐标为$(12,12)$。
综上，点F的坐标为$(-3,12)$或$(12,12)$。
【答案】
(1) 直线BD的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x+6}$；
(2) 存在，点F的坐标为$\boldsymbol{(-3,12)}$或$\boldsymbol{(12,12)}$。

【知识点】
一次函数解析式求解，翻折的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是一次函数与几何变换的综合题，解题核心是利用翻折前后对应边相等、对应点连线被折痕垂直平分的性质，结合勾股定理求解未知点坐标，第二问需要注意分类讨论点C的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6